结构力学图乘法.doc

§4－6 图乘法

我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分

的数值。这里，、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若EI是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。
下面说明图乘法的内容和应用

图4－20所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线。如果该杆截面抗弯刚度EI为一常数，则
(a)
以O为原点，以α表示图直线的倾角，则图上任一点标距（纵坐标）可表示为

因此， （b）
式中，可看作图的微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；是这个微分面积对y轴的面积矩。于是就是图的面积ω对y轴的面积矩。以表示图的形心C到y轴的距离，则

将上式代人式（b），得到
(c)
其中，是在图形心C对应处的图标距。利用式（c），式（a）可写成
（4－ 29）
这就是图乘法所使用的公式。它将式（a）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时要注意两点：
（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距应取自直线图中。
（2）正负号规则：面积ω与标距在杆的同一边时，乘积取正号；ω与在杆的不同边时取负号。

图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。
下面指出应用图乘法时的几个具体问题。
（1）如果两个图形都是直线图形，则标距可取自其中任一个图形。
（2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 4－22所示的情形，则有

（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。

例如，图4－23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法。因此
（a）
其中，

所以:

又如，图 4－24中的图可以分解为两个三角形：三角形 ADB在坐标轴以上，三角形ABC在坐标轴以下。这时

所以:

图4－25a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的图。由第二章可知，图是由两端弯矩、组成的直线图（图4－25b中的图）和简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图(图4－25c中的图）叠加而成的。因此，可将图分解为直线的图和抛物线的图，然后再应用图乘法。
还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图4－25a中的M图与图4－25C中的M图形状并不相似，但在同一横坐标C处，二者的纵坐标是相同的，微段的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。
例4－8 用图乘法计算图4－26a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角Δ。

例4－9 图4－27a所示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载P，求中点C的挠度。

例4－10 图4－28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。已知板宽1m，厚2.5 cm，混凝土容重为。板的起吊点为 A、B。求 C点挠度。