高三小专题复习平面向量教师版_2012.5.doc

平面向量复习教师版 2012.5
一、基础训练：
1. 设是单位向量，且，则的值为 ▲ ．
2. 在中，在线段上，，则 .
3. 已知向量= ▲ ．
4. 在平行四边形中，已知，，，为的中点，则 ▲ ．
5. 已知向量，则向量与向量的夹角的取值范围是．
二、例题探析：
例题1：在△ABC中，已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是 .
⑵设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是 ▲ ．
⑶如图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 .
⑷如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是 .

⑸已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 ▲ ．
例题2：⑴已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则（ⅰ） （ⅱ）的取值范围是 .
【解析】设，，，，因为是△的重心，故
，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.
（ⅰ），故；
（ⅱ），那么
，当与重合时，，当位于中点时，
，故，故但因为与不能重合，故
⑵已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。（用表示）

例题3：已知的坐标分别为，.
（1）若，求角的值；（2）若，求．
【点拨】向量与三角的综合问题，一般先用向量知识转化为三角问题，转化成三角函数的求值问题来解决.
解：（1）
，

（2）由 ①
又
由①式两边平方得
【点评】向量与三角的综合问题往往是利用两向量的数量积、两向量平行或垂直的充要条件、向量的模等知识，列出方程解出三角函数值，化为三角问题来解决.

例题4：已知向量，，其中O为坐标原点．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若≥对任意实数都成立，求实数的取值范围．
解：（1）设向量与的夹角为，
则， 　
当时，，；当时，，．
故当时，向量与的夹角为；
当时，向量与的夹角为．　　
（2）对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，或，解得或．
故所求实数的取值范围是∪．　　　 　
另法一：由对任意的恒成立，可得，解得或，由此求得实数的取值范围；
另法二：由，可得的最小值为，然后将已知条件转化为，由此解得实数的取值范围）
反思：１．三角恒等变换包括：化简、求值、证明，而求值又分直接求值和条件求值,它在三角函数中占有相当重要的地位，是研究三角函数性质及其应用的重要工具．其中“变”是主线，变换主要体现在角的变换、三角函数名的变换以及三角函数结构的变换．
2．在三角变换时要注意变换的等价性，特别注意角的范围及符号问题，避免出错．三角与平面向量结合,成为高考命题的热点，应引起充分重视．

三、巩固提高
1. 已知向量，，且，则 。4
2. 过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为 ▲ ．3
3. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 ▲ ．
4. | |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 ▲ ．120°
5. 已知向量与的夹角为，则等于 ▲ ．4
6. 平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 ▲ ．2
7. 设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 ▲ .
8. 已知向量，．若向量满足，，则 ▲ ．
9. P为ΔABC所在平面上的点，且满足=+，则ΔABP与ΔABC的面积之比是_______．1∶2
10. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 1
11. 已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解 （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，
则，
12. 已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
（1） 求关于θ的表达式;求的值域。
解：（1）由正弦定理，得

（2）由，得

∴，即的值域为.
13. 已知,,,。
（1）求；
（2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx
解：（1）由已知
∴
∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分
所以 ……6分
（2）在△ABC中， ∴ ……8分

而 如果，
则 ∴ ……10分

14. 已知，其中。
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与（）的长度相等，求。
解析：（1）因为

所以与互相垂直。
（2），
，
所以，
，
因为，
所以，
有，
因为，故，
又因为，
所以。

1若非零向量满足，则与的夹角为 ．　

2 已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.1
3已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝______ .
4.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为____．(－4，－2)．
5 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是________D
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
6.已知，，与的夹角为，，则与的夹角为______
7 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．5
8 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
9 已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
10 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝______
11 已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是______[0,2]

12 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.－
13 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为______1
14.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2, 若a·b＝0，则实数k的值为________．
15 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于_______2
16 已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为______ λμ＝1
17 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0 ≤· ≤1,0≤· ≤1，则z＝·的最大值为____________．3
18 已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝__________.

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