高三小专题复习平面向量教师版_2012.5.doc

平面向量复习教师版 2012.5
一、基础训练：
1. 设是单位向量，且，则的值为 ▲ ．
2. 在中，在线段上，，则 .
3. 已知向量= ▲ ．
4. 在平行四边形中，已知，，，为的中点，则 ▲ ．
5. 已知向量，则向量与向量的夹角的取值范围是．
二、例题探析：
例题1：在△ABC中，已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是 .
⑵设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是 ▲ ．
⑶如图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 .
⑷如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是 .

⑸已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 ▲ ．
例题2：⑴已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则（ⅰ） （ⅱ）的取值范围是 .
【解析】设，，，，因为是△的重心，故
，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.
（ⅰ），故；
（ⅱ），那么
，当与重合时，，当位于中点时，
，故，故但因为与不能重合，故
⑵已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。（用表示）

例题3：已知的坐标分别为，.
（1）若，求角的值；（2）若，求．
【点拨】向量与三角的综合问题，一般先用向量知识转化为三角问题，转化成三角函数的求值问题来解决.
解：（1）
，

（2）由 ①
又
由①式两边平方得
【点评】向量与三角的综合问题往往是利用两向量的数量积、两向量平行或垂直的充要条件、向量的模等知识，列出方程解出三角函数值，化为三角问题来解决.

例题4：已知向量，，其中O为坐标原点．
（1）若求向量与的夹角；
（2）若≥对任意实数都成立，求实数的取值范围．
解：（1）设向量与的夹角为，
则， 　
当时，，；当时，，．
故当时，向量与的夹角为；
当时，向量与的夹角为．　　
（2）对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，或，解得或．
故所求实数的取值范围是∪．　　　 　
另法一：由对任意的恒成立，可得，解得或，由此求得实数的取值范围；
另法二：由，可得的最小值为，然后将已知条件转化为，由此解得实数的取值范围）
反思：１．三角恒等变换包括：化简、求值、证明，而求值又分直接求值和条件求值,它在三角函数中占有相当重要的地位是研究三角函数性质及其应用的重要工具．其中“变”是主线，变换主要体现在角的变换、三角函数名的变换以及三角函数结构的变换．
2．在三角变换时要注意变换的等价性，特别注意角的范围及符号问题，避免出错．三角与平面向量结合,成为高考命题的热点，应引起充分重视．

三、巩固提高
1. 已知向量，，且，则 。4
2. 过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为 ▲ ．3
3. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 ▲ ．
4. | |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 ▲ ．120°
5. 已知向量与的夹角为，则等于 ▲ ．4
6. 平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 ▲ ．2
7. 设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 ▲ .
8. 已知向量，．若向量满足，，则 ▲ ．
9. P为ΔABC所在平面上的点，且满足=+，则ΔABP与ΔABC的面积之比是_______．1∶2
10. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 1
11. 已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解 （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，
则，
12. 已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
（1） 求关于θ的表达式;求的值域。
解：（1）由正弦定理，得

（2）由，得

∴，即的值域为.
13. 已知,,,。
（1）求；
（2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx
解：（1）由已知
∴
∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分
所以 ……6分
（2）在△ABC中， ∴ ……8分

而 如果，
则 ∴ ……10分

14. 已知，其中。
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与（）的长度相等，求。
解析：（1）因为

所以与互相垂直。
（2），
，
所以，
，
因为，
所以，
有，
因为，故，
又因为，
所以。

1若非零向量满足，则与的夹角为 ．　

2 已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.1
3已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝______ .
4.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为____．(－4，－2)．
5 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是________D
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
6.已知，，与的夹角为，，则与的夹角为______
7 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．5
8 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
9 已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
10 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝______
11 已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是______[0,2]

12 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.－
13 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为______1
14.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2, 若a·b＝0，则实数k的值为________．
15 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于_______2
16 已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为______ λμ＝1
17 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0 ≤· ≤1,0≤· ≤1，则z＝·的最大值为____________．3
18 已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝__________.

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