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1、二、第二、第二类换二类换元法元法第二节一、第一、第一类换一类换元法元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四四章第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称也称即凑微分法凑微分法)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）令原式机动目录上页下页返回结束解解（三）（三）令原式机动目录上页下页返回结束例例2 2 求求解解一般地一般地机动目录上页下

2、页返回结束例例3 3 求求解解例例.求求解解:想到公式想到公式机动目录上页下页返回结束说明：说明：熟悉熟悉第一第一类换类换元法元法之后，之后，就没就没有必有必要写要写出中出中间变间变量的量的代换代换过程过程P160,公式公式(18)SCU例例3.求想到解解:机动目录上页下页返回结束 P160,公式公式(21)SCU例例4.求解解:机动目录上页下页返回结束类似P160,公式公式(14,15)SCU例例5.求求解解:原式原式=机动目录上页下页返回结束 P160,公式公式(19,20)SCU常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式:万万能能凑凑幂幂法

3、法机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例例7.求求解解:原式原式例例8.求求解解:原式原式=机动目录上页下页返回结束例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样机动目录上页下页返回结束例例10.求求解法解法1 机动目录上页下页返回结束解法解法 2 同样可证或(P199 例例18)机动目录上页下页返回结束 P160,公式公式(16,17)SCU例例11.求求解解:原式原式=机动目录上页下页返回结束例例12.求求解解:机动目录上页下页返回结束例例13.求解解:原式=机动目录上

4、页下页返回结束思考：思考：例例14.求求解解:原式原式=机动目录上页下页返回结束分析分析:机动目录上页下页返回结束例例1515 求求解解机动目录上页下页返回结束解解例例14 设设求求令例例15.求解解:原原式式机动目录上页下页返回结束小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如ex13,P164,SCU思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结

5、束 2.求求提示提示:法法1法法2法法3作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理定理2.设设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例例16.求解解:令令则原式机动目录上页下页返回结束例例17.求解解:令令则原式机动目录上页下页返回结束 P160,公式公式(22)SCU例例18.求解解:令则原式机动目录上页下页返回结束可可以以不不管管具具体体形形式式P160,公式公式

6、22)SCU令于是机动目录上页下页返回结束可以不管具体形式原式例例19.求求解解:令令则则原式机动目录上页下页返回结束解法一：解法一：三角代三角代换换解法二：解法二：倒代换倒代换小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令机动目录上页下页返回结束第第四四节节讲讲根根式式代代换换Ex21,P167,SCU机动目录上页下页返回结束 2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(P205,P160(SCU)(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换令机动目录上页下页返回结束机动目

7、录上页下页返回结束川大教材没有川大教材没有公式公式(24)解解:原式原式(P205 公式(20)机动目录上页下页返回结束例例20.求求例例21.求求解解:(P206 公式(23)例例22.求求解解:原式原式=(P206 公式(22)机动目录上页下页返回结束例例23.求求解解:原式原式(P206 公式(22)根式代换；三角代换例例24.求解解:令得原式机动目录上页下页返回结束三角代换例例25.求求解解:原式原式令例16 目录上页下页返回结束三角代换1.已知求解解:两边求导两边求导,得得则(代回原变量代回原变量)机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习练习作业作业P2072 (5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三节目录上页下页返回结束备用题备用题 1.求下列积分:机动目录上页下页返回结束 2.求不定积分求不定积分解：解：利用利用凑微分法凑微分法,原式=令得得机动目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解解:令原式机动目录上页下页返回结束

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