一道中考试题的解法探究与推广.pdf

2023年第7 期7-33数学教学一道中考试题的解法探究与推广孙志东（杭州英特外国语学校，浙江杭州311121)义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）（以下简称“课程标准”）明确指出：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识和习惯.建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.”课程标准还具体指出：“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形，图形与坐标 强调数形结合，用代数方法研究几何图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题.”几何不仅培养学生的逻辑推理能力，也能培养学生几何直观能力.部分教师往往重视培养学生的逻辑推理能力，而忽视对学生几何直观能力的培养.鉴于课程标准的明示，本文试图通过2 0 2 1年的一道具有几何直观背景的中考题，来说明如何引导学生先进行几何直观猜测，再寻求一般证明的思维方式，把学生的几何直观和逻辑思维两种能力联系起来1中考真题呈现（2 0 2 1年连云港数学中考选择题压轴题）如图1，正方形ABCD内接于OO，线段MN在DCN0MBA图1对角线BD上运动，若O的面积为2，MN=1，则AMN周长的最小值是）.则AMN周长的最小值是(A)3;(B)4;(C)5;(D)6.2解法探索2.1几何直观探索最小值考虑到AMN的一边MN为定值1,所以要求其周长的最小值，只需求另两边AM、A N的和最小即可.不妨考虑点M从点B开始运动.由0 的面积为2 知0 0 的半径为/2，所以MNOB，所以刚开始时，即线段MN在线段BO上运动过程中，AM、A N 都大于半径，两者都减小,所以AM+AN也减小.等点N与点0重合时,AN最小,此时AM+AN=/3+/2，A M N 的周长显然与答案不符,所以此时不是最小值的状态.等点N过点O后，AN增大，AM减小；等点M过点O后，AN增大，AM也增大，所以可以断定当AM+AN最小时，点O一定在线段MN上.那什么时候AM+AN最小呢？借助于对称思想，可以猜测，当O为线段MN的中点,即AM=AN时,AM+AN最小.如图2,可2知AMN周长的最小值为2/（/2）+（+1=4.选(B).DN1212MAB图2上述解法借助几何直观，大胆猜想，很快求出结果.但猜想是否正确，还需要小心求证。342023年第7 期数学教学2.2利用平移思想，借助“两点之间线段最短”求最小值如图3，平移线段MN至CA，连结线段NA、M C、A A 、A C,则可知四边形MCAN为平行四边形,所以NA=MC.由正方形的对称性知AM=MC,所以NA=AM,从而AM+AN=NA+ANAA.因为ACIBD,AC/BD,所以AC工AC.又O的面积为2，所以OO的半径为/2，AC=2/2，从而ADC山NMAB图3(AM+AN)min=AA=/(2/2)+1?=3,所以(AM+AN+MN)=3+1=4.min评注：由上述解题过程可知，当A、N、A 三点共线时，AMN周长取得最小值.因为OA=OC,CA/BD,所以AN=AN.此时AN=AN=CM=AM，A M N 恰好是等腰三角形.由此可见，利用几何直观所探求的AMN周长的最小值是正确的.2.3利用形数结合思想，转化为函数求最小值如图4,连结OA.设线段OM=x，则AM+AN=+(/2)+/(1-x)+(/2)2=/(x-0)2+(0-/2)2+/(x-1)+(0-/2),CNMAB图4它可以看成平面直角坐标系（如图5）中x轴上一点P(,0)到点E(0，V 2)和点F(1，V 2)距离的和.作点E关于x轴的对称点E，则E(O，-/2),所以直线EF的解析式为y=12/2x-/2,令y=0,则x=得P(,0)所211以当x=即OM=时，22(AM+AN)min=(PE+PF)min=EF=/(1-0)+V2-(-/2)2=3,所以(AM+AN+MN)min=3+1=4.EF0PE图5评注：本解法利用形数结合思想把一道几何问题的解法转化为代数解法，然后再利用数形结合思想，转化为“将军饮马”这一大家比较熟悉的几何模型，问题便迎刃而解。11另外,当OM=一时,知ON=得OM=22ON,又OAIMN,所以AM=AN,即AMN为等腰三角形时，AMN的周长最小.从以上两种解法中，我们可以猜测：在一边及这边上的高为定值的三角形中，等腰三角形的周长最小.笔者经过探究，发现这个结论是正确的，于是得到了试题中所蕴含的一般结论：3推广结论：在一边及这边上的高为定值的三角形中，等腰三角形的周长最小。（下转封底）题型和考查内容灵活多变，没有规律可寻，这对考生更是不小的考验.比如说卷I的第12/2元32题，求arccos2V2+TV2arctan的值，估计会难倒不少考生，又比如第T8、9、10、11题，若用常规的方法，则不仅难算,还容易算错,要注意观察代数式的结构，利用简便方法得出结果.由此可见，有志于在科学技术、工程建筑等方面有所作为、学有余力的青年，必须在高中阶段打下良好的数学基础，培养数学兴趣，尽可能地拓宽知识视野，并+：-arcsin42+T+将这些知识内容进行有机地联系.参考文献1 https:/www.jeeadv.ac.in/.2 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）S.北京：人民教育出版社,2 0 18:5 0-5 6.（上接第7-34页）已知：如图6，在ABC中，边BC及BC上的高均为定值。因为BC/MN,所以ZNAC=ZACB.因为ZNAC=ZNAC,所以ZACB=ZNAC.因为AB=AC,所以ZABC=ZACB,从而ZABC=ZNAC,所以 ZABC+ZBAN=180,ZCAN+ZBAN=180，即B、A、C 三点共线.所以AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC AB+AC+BC=AB+AC+BC,即等腰ABC的周长小于同底等高的ABC的周长.AMB求证：当ABC为等腰三角形时，其周长最小.证明：过点A作BC的平行线MN，作点C关于MN的对称点C,在MN上任取一点A,连结AB、A C、A C 、A C ,则AC=AC,AC=AC.AC图6参考文献1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）S.北京：北京师范大学出版社,2 0 2 2：8,6 3.2刘培杰.40 0 个最新世界著名数学最值问题M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008:66.ISSN 0488-7387刊号CN31-1024/G4定价：7.0 0 元每月12 日出版代号：4-35 7