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反比例函数与图形面积

中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。
一. 反比例函数与矩形面积
例1. （01年山东荷泽）如图（1），P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ）

图1
A. B.
C. D.
解：设点P的坐标为（x，y），则
又点P在第四象限，
评析：如图（2），若A点是反比例函数图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC的垂直于y轴，垂足为C，则矩形面积。

图2

例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）略

图3
解：（1）依题意，得，B点的坐标为（3，3）
依题意易得，又点P在第一象限

（2）由题意易得
①

②
联立①②解，得
点P的坐标为（6，）或（，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再详解）

二. 反比例函数与三角形面积
1. 反比例函数与直角三角形面积
例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，若，那么这个反比例函数的解析式为_____________。

图4
解：设A点坐标为（x，y），则
点A在第二象限，

评析：如图（5），由上述例题可知，若点A是反比例函数图象上的任意一点，且AB垂直于x轴（或y轴），垂足为B，则

图5

例4. （02年青海）如图（6），过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A. B.
C. D. 大小关系不能确定

图6
解：依题意，得

即，选B

例5. 如图（7），A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（ ）
A. S＝1 B. C. S＝2 D.

图7
解：设AC交x轴于D点，易得，又，且
所以
故选取C

2. 反比例函数与斜三角形面积
例6. （03年重庆市）如图（8），函数与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为__________。

图8
解：由题意易知，而与以OC为底时等高

例7. （00年天津市）如图（9），正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若面积为S，则（ ）
A. S＝1 B. S＝2 C. S＝3 D. S的值不能确定

图9
解：此题的解法与例6类似，
选A

例8. （03年四川）如图（10），已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式
（2）的面积

图10
略解：（1）易得A、B的坐标分别为（－2，4），（4，－2）

解得
所求一次函数的解析式为
（2）易得直线与x轴的交点C的坐标为（2，0）

评析：反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角形面积类似，解题时要注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。

三. 反比例函数与平行四边形面积
例9. 如图（11），正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。

图11
解：由题意易得，四边形ABCD为平行四边形，而，所以四边形ABCD的面积

例10. 如图（12），A、C是双曲线上关于原点O对称的任意两点，AB垂直y轴于B，CD垂直y轴于D，且四边形ABCD的面积为6，则这个函数的解析式为________。

图12
解：略
评析：此类题的思路是要将平行四边形的问题转化为三角形来做。

练习题：
1. 如图1，乙知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P和Q，并且点P的纵坐标为6。
①求这个一次函数的解析式；
②求的面积

图1
2. 如图2，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，
①求点A、B、D的坐标；
②求这一次函数和反比例函数的解析式；
③求

图2

参考答案：
1. ①；②16
2. ①A（－1，0），B（0，1），D（1，0）
②；
③3：4

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