排列组合的概率.doc

第二讲：排列、组合、概率及分布列问题
一．两个原理：
例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个？

变式1：汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种？

变式2：（2006浙江高考理 10）函数满足，这样的函数个数共有 种.

A
B
D
C

例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选择，则不同的涂色方案有多少种？

变式：若分成个区域（）则不同的涂色方案有多少种呢？

例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法？

二．排列组合问题：
例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种？

变式：把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种？

例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种？

变式1：（2006重庆高考理 8）将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有（ ）.
A.30 B.90 C.180 D.270
变式2：（2009浙江高考理 16）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少？

例7．7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种？

变式：7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

例8.（2005浙江高考理 14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 .

练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含
有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( )
A．33组 B．29组 C．16组 D．7组

例9．（2008浙江高考理 16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）

变式：由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个.

附加题：
1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发？
变式：
（1）10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法？
（2）.方程（）的解共有多少组？
2. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法？
变式：9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种？

三.概率、分布列问题：
例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ）
A． B． C． D．
例11. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？

例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为多少？

变式： 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少？

例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为多少？

变式：一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。（1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。

例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性
相同。（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。

例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.（I）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（II）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为，求的概率分布列与期望.

例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．
（Ⅰ）求依次成公差大于0的等差数列的概率；
（Ⅱ）记，求随机变量的概率分布列和数学期望．

练习：口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则：若一方摸出红球，则此人继续摸球；若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球.
（1）求第三次由甲摸球的概率；ks5u
（2）写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望.

例18..（2010浙江样卷理 19）在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.
(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;
(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则
). 求随机变量的分布列及其数学期望E.

例19. （2009浙江理 19） 在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中
。从集合中无放回地随机抽取3个数，这3个数所成集合的宽度为X。求：
（1）的概率
（2）X的分布列和期望

第二讲：排列、组合、概率及分布列问题（参考答案）
一．两个原理：
例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个：
错解1.加法原理：4+4+4=43=12.错误原因：分步分类混淆不清
错解2.乘法原理：。错误原因：完成一件事情的步骤不清
正解：A中每个元素在B中有唯一元素与之对应（4种可能），A中元素有三个，建立好映射需分三步完成，由乘法原理得：

变式1：汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种？
解：
变式2：（2006浙江高考理 10）函数满足，这样的函数个数共有 （ ）
A．1个 B．4个 C．8个 D．10个
解：D

A
B
D
C
例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选择，则不同的涂色方案有多少种？
错解：
正解：

变式：若分成个区域（）则不同的涂色方案有多少种呢？
解1：考虑第n块区域与第n-1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系：
，，然后两边同除以.
解2：考虑第n块区域与第1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系：
，，然后利用特征根方程求解
例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法？
错解：
正解：

二．排列组合问题：
例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种？
错解1： 。错因：该式表达的是指定了三个人的顺序，如甲得一本，乙得两本，丙也得两本。实际上是没有指定的
错解2： 。错因：平均分组问题有重复出现，应除去。举例：……
正解：

变式：把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种？
解：

例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种？
错解：先每人分一本，再把余下的两本任意分，故。错因：大量重复，比如….
正解：（先组后排）=240

变式1：（2006重庆高考理 8）将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有（ ）
A.30 B.90 C.180 D.270

变式2：（2009浙江高考理 16）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
解1：P==336
解2：P==336
例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少？
错解：先取出一双，其余随便取：，错因：当四只都成对时，该式有重复
正解：（1）恰有两只成对时：先取出一双，再选出两双，从两双中各取一只，故
（2）取出的鞋全部成对：，故130

例7．7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种？
错解：间接法
正解：由容斥原理知：上式有多减去的部分，应加回来：=3720
（注：也可用直接法）
变式：7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解：

例8.（2005浙江高考理 14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．8424

练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 132

练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含
有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( )B
A．33组 B．29组 C．16组 D．7组

例9．（2008浙江高考理 16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）40

变式：由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个. 36

附加题：
1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发？
解：（隔板法）=36
同类题：
（1）10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法？
解：=126
（2）.方程（）的解共有多少组？
解：=36

2. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法？

变式：9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种？
解：=35

三.概率、分布列问题：
例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ▲ ）B
A． B． C． D．
错解：
正解：P=

例11.10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？
错解：，错误原因：分子基本事件个数有误！
正解：或（此题中分四次取出四件等效于一次性从中取出四件，故可看成是超几何分布问题）

变式：10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？
解：与例1等同

例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为？
错解：，错误原因：分子基本事件个数有误！
正解：
变式： 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少？
解：与例2等同
例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为？
正解:

变式：一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。（1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。

解: (1)
(2)

例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解：（1）=
（2）

例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。
（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。
解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为
所以恰2次为红色球的概率为 …………4分
抽全三种颜色的概率 …………8分
（2）的分布列为

2
3
4
5
P

即

2
3
4
5
P

…………12分
…………14分
例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.
（I）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（II）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为，求的概率分布列与期望.
解：（I）当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4
得： ……4分
（II）的可能取值为1，2，3，4

… …12分
的分布列为

1

2

3

4
P

所以， ……14分
例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．
（Ⅰ）求依次成公差大于0的等差数列的概率；
（Ⅱ）记，求随机变量的概率分布列和数学期望．
解：（Ι）依次成大于0的等差数列，即甲、乙、丙3个盒子中的球数分别为0，1，2，
此时的概率为．
（Ⅱ）的取值有0，1，2，3，且，，，
所以，随机变量的分布列是

0
1
2
3

数学期望为．
练习1.口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则：若一方摸出红球，则此人继续摸球；若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球.
（1）求第三次由甲摸球的概率；ks5u
（2）写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望.
解：（1） ……………5分
（2）
X
0
1
2
3

P

……………14分
练习2.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, 如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列．
例18..（2010浙江样卷理 19）在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.
(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;
(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则
). 求随机变量的分布列及其数学期望E.
解：(Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则
P(B)＝ . …………………(5分)
(Ⅱ) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

0
1
2
P

…………………(11分)
所以的数学期望
E＝0×+1×+2×= . …………………(14分)

例19. （2009浙江理 19） 在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）随机变量的取值为的分布列为

0
1
2
P

所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中
。从集合中无放回地随机抽取3个数，这3个数所成集合的宽度为X。求：
（1）的概率
（2）X的分布列和期望
解：（1）法一：（间接法），
法二：（直接法/插空法）
（2）
X
1
2
3
P

EX=

历年高考真题：
（2004浙江高考理 18）

（2005浙江高考理 19）
19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

（2006浙江高考理 18）
18．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。
（Ⅰ）若，求取到的4个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求。

（2008浙江高考理 19）
19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（ⅰ）求白球的个数；
（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．