排列组合的概率.doc

第二讲：排列、组合、概率及分布列问题
一．两个原理：
例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个？

变式1：汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种？

变式2：（2006浙江高考理 10）函数满足，这样的函数个数共有 种.

A
B
D
C

例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选择，则不同的涂色方案有多少种？

变式：若分成个区域（）则不同的涂色方案有多少种呢？

例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法？

二．排列组合问题：
例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种？

变式：把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种？

例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种？

变式1：（2006重庆高考理 8）将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有（ ）.
A.30 B.90 C.180 D.270
变式2：（2009浙江高考理 16）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少？

例7．7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种？

变式：7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

例8.（2005浙江高考理 14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 .

练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含
有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( )
A．33组 B．29组 C．16组 D．7组

例9．（2008浙江高考理 16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）

变式：由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个.

附加题：
1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发？
变式：
（1）10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法？
（2）.方程（）的解共有多少组？
2. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法？
变式：9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种？

三.概率、分布列问题：
例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ）
A． B． C． D．
例11. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？

例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为多少？

变式： 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少？

例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为多少？

变式：一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。（1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率
（2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。

例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性
相同。（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。

例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.（I）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（II）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为，求的概率分布列与期望.

例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．
（Ⅰ）求依次成公差大于0的等差数列的概率；
（Ⅱ）记，求随机变量的概率分布列和数学期望．

练习：口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则：若一方摸出红球，则此人继续摸球；若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球.
（1）求第三次由甲摸球的概率；ks5u
（2）写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望.

例18..（2010浙江样卷理 19）在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.
(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;
(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则
). 求随机变量的分布列及其数学期望E.

例19. （2009浙江理 19） 在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中
。从集合中无放回地随机抽取3个数，这3个数所成集合的宽度为X。求：
（1）的概率
（2）X的分布列和期望

第二讲：排列、组合、概率及分布列问题（参考答案）
一．两个原理：
例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个：
错解1.加法原理：4+4+4=43=12.错误原因：分步分类混淆不清
错解2.乘法原理：。错误原因：完成一件事情的步骤不清
正解：A中每个元素在B中有唯一元素与之对应（4种可能），A中元素有三个，建立好映射需分三步完成，由乘法原理得：

变式1：汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种？
解：
变式2：（2006浙江高考理 10）函数满足，这样的函数个数共有 （ ）
A．1个 B．4个 C．8个 D．10个
解：D

A
B
D
C
例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选择，则不同的涂色方案有多少种？
错解：
正解：

变式：若分成个区域（）则不同的涂色方案有多少种呢？
解1：考虑第n块区域与第n-1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系：
，，然后两边同除以.
解2：考虑第n块区域与第1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系：
，，然后利用特征根方程求解
例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法？
错解：
正解：

二．排列组合问题：
例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种？
错解1： 。错因：该式表达的是指定了三个人的顺序，如甲得一本，乙得两本，丙也得两本。实际上是没有指定的
错解2： 。错因：平均分组问题有重复出现，应除去。举例：……
正解：

变式：把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种？
解：

例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种？
错解：先每人分一本，再把余下的两本任意分，故。错因：大量重复，比如….
正解：（先组后排）=240

变式1：（2006重庆高考理 8）将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有（ ）
A.30 B.90 C.180 D.270

变式2：（2009浙江高考理 16）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
解1：P==336
解2：P==336
例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少？
错解：先取出一双，其余随便取：，错因：当四只都成对时，该式有重复
正解：（1）恰有两只成对时：先取出一双，再选出两双，从两双中各取一只，故
（2）取出的鞋全部成对：，故130

例7．7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种？
错解：间接法
正解：由容斥原理知：上式有多减去的部分，应加回来：=3720
（注：也可用直接法）
变式：7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解：

例8.（2005浙江高考理 14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．8424

练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 132

练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含
有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( )B
A．33组 B．29组 C．16组 D．7组

例9．（2008浙江高考理 16用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）40

变式：由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个. 36

附加题：
1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发？
解：（隔板法）=36
同类题：
（1）10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法？
解：=126
（2）.方程（）的解共有多少组？
解36

2. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法？

变式：9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种？
解：=35

三.概率、分布列问题：
例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ▲ ）B
A． B． C． D．
错解：

正解：P=

例11.10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？
错解：，错误原因：分子基本事件个数有误！
正解：或（此题中分四次取出四件等效于一次性从中取出四件，故可看成是超几何分布问题）

变式：10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？
解：与例1等同

例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为？
错解：，错误原因：分子基本事件个数有误！
正解：
变式： 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少？
解：与例2等同
例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为？
正解:

变式：一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。（1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。

解: (1)
(2)

例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解：（1）=
（2）

例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。
（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。
解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为
所以恰2次为红色球的概率为 …………4分
抽全三种颜色的概率 …………8分
（2）的分布列为

2
3
4
5
P

即

2
3
4
5
P

…………12分
…………14分
例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.
（I）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（II）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为，求的概率分布列与期望.
解：（I）当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4
得： ……4分
（II）的可能取值为1，2，3，4

… …12分
的分布列为

1

2

3

4
P

所以， ……14分
例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．
（Ⅰ）求依次成公差大于0的等差数列的概率；
（Ⅱ）记，求随机变量的概率分布列和数学期望．
解：（Ι）依次成大于0的等差数列，即甲、乙、丙3个盒子中的球数分别为0，1，2，
此时的概率为．
（Ⅱ）的取值有0，1，2，3，且，，，
所以，随机变量的分布列是

0
1
2
3

数学期望为．
练习1.口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则：若一方摸出红球，则此人继续摸球；若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球.
（1）求第三次由甲摸球的概率；ks5u
（2）写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望.
解：（1） ……………5分
（2）
X
0
1
2
3

P

……………14分
练习2.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, 如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列．
例18..（2010浙江样卷理 19）在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.
(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;
(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则
). 求随机变量的分布列及其数学期望E.
解：(Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则
P(B)＝ . …………………(5分)
(Ⅱ) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

0
1
2
P

…………………(11分)
所以的数学期望
E＝0×+1×+2×= . …………………(14分)

例19. （2009浙江理 19） 在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）随机变量的取值为的分布列为

0
1
2
P

所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中
。从集合中无放回地随机抽取3个数，这3个数所成集合的宽度为X。求：
（1）的概率
（2）X的分布列和期望
解：（1）法一：（间接法），
法二：（直接法/插空法）
（2）
X
1
2
3
P

EX=

历年高考真题：
（2004浙江高考理 18）

（2005浙江高考理 19）
19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

（2006浙江高考理 18）
18．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。
（Ⅰ）若，求取到的4个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求。

（2008浙江高考理 19）
19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（ⅰ）求白球的个数；
（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．