一种计算梁的挠度和转角的新方法.pdf

力2023年6 月与实第45 卷第3 期践学一种计算梁的挠度和转角的新方法1)吴泽艳田东方郑保敬彭辉叶永2)（三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌4430 0 2)摘要梁的挠曲线方程一般是分段多项式的形式，如果通过某种方法确定了多项式的系数，那么挠曲线方程完全确定。本文利用该思想提出了一种计算梁的挠度和转角的新方法。首先将梁划分为若干区间，然后将每一区间映射到标准区间，在标准区间上以若干点的挠度和转角为待定系数构造梁的挠曲线方程，用配点法得到若干代数方程，最后联合求解所有的代数方程即得到问题的解。新方法计算过程简单，可供教学参考。关键词材料力学，挠度，转角，Hermite插值中图分类号：0 341文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-434A NEW METHOD FOR CALCULATING THE DEFLECTION AND SLOPEROTATIONANGLEOFABEAMI)WUZeyanTIAN DongfangZHENG BaojingPENGHuiYE Yong2)(College of Hydraulic&Environmental Engineering,China Three Gorges University,Yichang 443002,Hubei,China)AbstractThe equation of deflection curve of a beam is generally in the form of a piecewise polynomial.If thecoefficients of the polynomial are determined by some method,the equation of deflection curve is completelydetermined.Using this idea,this paper proposes a new method to calculate the deflection and slope rotationangle of a beam.First,the beam is divided into several intervals,and then each interval is mapped to a standardinterval,and the equation of deflection curve is constructed with the deflection and slpoe rotation angle ofseveral points as the undetermined coefficients in the standard interval,and the matching point method is usedto obtain several algebraic equations,and finally jointly solve the algebraic equations in all intervals to get thesolution.The new method simplifies the calculation process and can be used as a teaching reference.Keywordsmechanics of materials,deflection,slope rotation angle,Hermite interpolation梁的挠度和转角的常用计算方法有积分法、叠加法和奇异函数法 1-3 等。教材中一般重点介绍积分法和叠加法。积分法虽然逻辑清晰，但需要多次积分并通过边界条件和连续性条件确定积分常数，计算过程稍显复杂。叠加法受限于手册，应用范围有限，且需要一定的技巧。奇异函数法简化了计算，但往往需要在梁上增减载荷，也需要一定的技巧。一些学者对梁的挠度的计算提出了新的计算方法 4-8 。实际上，梁的挠曲线方程一般是分段多项式，只要通过某种方法确定出多项式的系数，挠曲线方程的具体表达式就确定了。文献 9-1 0 正是利用该思想，通过边界条件确定多项式系数得到了梁、超静定钢架的挠曲线方程。本文在该思想的基础上，提出了新的计算方法。新方法使得计算过程规范化、一般化，是文献 9-1 0 的进一步发展。2022-07-28收到第1 稿，2 0 2 2-1 0-1 1 收到修改稿。1）三峡大学研究生课程建设培育项目资助（SDKC202201）。2)叶永，教授，研究方向为混凝土材料细观力学特性、疲劳损伤机理。E-mail：y y e e o n g a l i y u n.c o m引用格式：吴泽艳，由乐方，郑保敬等一种计算梁的挠度和转用的新方法：刀学与实践，2 0 2 3，45(3)：6 6 4-6 7 1Wu Zeyan,Tian Dongfang,Zheng Baojing,et al.A new method for calculating the deflection and slope rotation angle of abeam.Mechanics in Engineering,2023,45(3):664-671665种计算梁的挠度和转角的新方法吴泽艳等：第3 期1计算方法梁的挠曲线近似微分方程为EI w=M(a)(1)这里EI为梁的抗弯刚度，w为挠度，M为弯矩。式(1)对求导并利用弯矩M(c)、剪力Fs()和载荷集度(）之间的微分关系dM()=Fs(c),dF,(a)=q(a)(2)dadc得到dwEIFs(c)(3)d.e3dwEIq()(4)da4dn+4WdEI(n=1,2,)(5)dan+4dn由式（4）可以看出，如果在梁的某一区间1，2 上载荷集度为0，则挠曲线方程为关于c的三次多项式；如果载荷集度q为非零常数，则挠曲线方程为关于的四次多项式；如果载荷集度q为关于的一次多项式，则挠曲线方程为关于的五次多项式，依此类推。既然挠曲线在区间上是次数确定的多项式，那么可以考虑通过区间上若干点处的挠度和转角构造出多项式，再将多项式代入微分方程(1)和(3)(5)，用配点法确定出挠度和转角，进而得到挠曲线方程。为了使得求解过程一般化，将区间 1，2 映射至标准区间-1，1 ，映射关系为1-1+5a=2a1+22,E 1,1(6)记l=C 2-1(7)则有微分关系dw2dwdw2dda2d2dnw2dnw(8)dendn从而微分方程(1)和(3)(5)可改写为(）2EIM(s)(9)d2(）d3w3EIF(s)(10)de3d4w(）44EI(s)(11)de4dn+4,(）dn+4WEI(n=1,2,.)(12)den+4dan可以看出，如果在区间 a1，2 上载荷集度为0，则在区间-1，1 上挠曲线方程为关于的三次多项式；如果载荷集度为非零常数，则挠曲线方程为关于的四次多项式；如果载荷集度q为关于的一次多项式，则挠曲线方程为关于的五次多项式，依此类推。下面分不同的情况，利用区间边界点以及若干内部点上的挠度和转角构造挠曲线的Hermite插值多项式，并用配点法得到以这些点上的挠度和转角为未知量的代数方程组。这里所谓配点法，就是要求方程（9）（1 2）在区间的若干个点上得到满足。为了计算的方便，本文取区间的中间点（=0）为配置点。值得说明的是，既然挠曲线方程在区间上是次数确定的多项式，那么由解的唯一性知道，通过配点法得到的、满足区间的边界条件的多项式就是问题的解。1.1q=0的情况梁在区间 a1，2 不受分布力作用，即q(a)=0。将区间#1，2映射到区间-1,1 ，如图1 所示。a1q=032W1W2102=-1=+1图1区间映射示意图（1）在区间 c1，2 ，挠度w是关于的三次多项式，在区间-1,1 ，挠度w是关于的三次多项式。记区间 1，2左右两端的挠度和转角分别为W1和1，W2和2，利用挠度和转角间的微分关系，构造挠度w的Hermite插值多项式为W=W110(s)+0111($)+W220()+0221(s)22(13)其中力666实践学2023年第45卷(S-1)($+2)P10411(S-1)($+1)(14)20(s+1)(s 2)($+1)(-1)2记区间 1,a2中点处的剪力为Fls=0，弯矩为Mlg=0，将式（1 3）代入式（9）和式（1 0）并令=0 得到1/32W1+01-2W2+02=F6EI=0(15)-01+02=MEI=01.2q=const 的情况梁在区间 1，2 受到均布载荷作用，即q()=const。将区间 c1，2 映射到区间-1,1 ，如图2 所示。q=constW1W2011W3202$=-1$=0$=+1图2区间映射示意图（2）在区间 1，2，挠度w是关于的四次多项式，在区间-1，1 ，挠度w是关于的四次多项式。记区间 c1，c 2 左右两边的挠度和转角分别为w1和1，W2和2，中间点的挠度为W3，利用挠度和转角间的微分关系，构造挠度w的Hermite插值多项式为w(s)=W110(s)+0111($)+W220(s)+20221(s)+W3 30(s)(16)2其中10=(1)(25+3)(17a)一4(-1)(+1)(17b)D4120($+1)(25 3)(17c)421=s(S+1)(-1)(17d)30=(-1)($+1)2(17e)记区间 1，a2中点处的剪力为Fl=0，弯矩为Ml=0，将式（1 6）代入式（9）式（1 1)并令=0 得到1/4-4w1-1 0 1+8 w 3-42+1 0 2 =48EI91/32W1+1 0 1-2 W 2+1 0 2=F6EI=0/28W1+1 0 1-1 6 W 3+8 W 2-1 0 2MEI=0(18)由式(1 8)的第一式可得到11111/4W3W1+A101+=W21 0 2(19)2828384EI将式（1 9）代入式（1 8）的后两式可得到1/32W1+1 0 1-2 W 2+1 0 266EI0(20)173-01+02MEI24EI1.3q=ac+b的情况梁在区间 1，2内受到线性分布的载荷作用，即q(a)=aa+b。将区间 1，2 映射到区间-1,1 ，如图3所示。q2q1W1W2011W303202$=-1=0=+1图3区间映射示意图（3）在区间 r1，2 ，挠度w是关于的五次多项式，在区间-1，1 ，挠度w是关于的五次多项式。记区间 1，2 左右两边的挠度和转角分别为W1和1，W2和2，中间点的挠度和转角分别为W3和3，利用挠度和转角间的微分关系，构造挠度w的Hermite插值多项式为667吴泽艳等：种计算梁的挠度和转角的新方法第3 期w(s)=W11o(s)+0111(s)+W220(s)+202 21()+W3 30(s)+0331(s)22(21)其中-(-1(3 4)10=01=s(-1)($+1)s(+1)(3-4)20=(22)-1s($+1)(-1)中2 130=($-1)($+1)231=(-1)(s+1)2记区间 1，c2中点处载荷集度对的一阶导dq数为，载荷集度为le=o，剪力为Fls=0，da1=0弯矩为Ml=o，将式（2 1）代入式（9）式(12)并令=0 得到17 5dq6W1+1 0 1+41 0 3-6 W 2+1 0 2=480 EI da=01/4-4w1-1 0 1 +8 w 3-4w 2 +1 0 2 =48EI=01/3-10W1-1 0 1-8 1 0 3+1 0 W 2-1 0 2=F6EI/28w1+1 0 1-1 6 w 3+8 w 2-1 0 2MEI=0(23)由式（2 3)的前两式可得到111W3101+=W28211/4A102q8384EI1=03W113W2(24)0301+2142111A14d02+41920EIdc=0将式（2 4）代入式（2 3）后两式得到2W1+1 0 1-2 W 2+1 0 2=1/311 5dqF6EI240EIdc(25)IE=0=01/3-01+02MEI247=0EI1.4q=aa2+ba+c的情况梁在区间 1，2 内受到抛物线形分布的载荷作用，即q=ac+b+。将区间 c1，2 映射到区间-1,1 ，如图4所示。q()=a?+ba+cW1W2011W3W4W5202-1/2=+1/2$=-1$=0$=+1图4区间映射示意图（4)在区间 1，2，度w是关于的六次多项式，在区间-1，1 ，挠度w是关于的六次多项式。记区间 1，2左右两边的挠度和转角分别为W1和1，W2和2，距离左端和231处的挠度分别为W3，W 4和W5，利用挠度和4转角间的微分关系，构造挠度w的Hermite插值多项式为w(s)=W110(s)+0111($)+W220($)+2221(s)+W330($)+W440($)+W550(s)2(26)其中(s+)(s-)(s-1)14+17)10=9(+1)(s+)(s-)-1)111=3+1(+)(-)中2 0(14-17)3($+1)(s+)(s-)(s-1)21=32(+1)s(-)(-1)32中309o=-4(-1(+)(s-)+1)322(+1)(s+)(-1)205092(27)人记区间 c1，a 2 中点处载荷集度对的二阶导d数为，一阶导数为，载荷集度为de2d=0I=0qle=0，剪力为Fl=0，弯矩为Mls=0，将式（2 7）代入式（9）式（1 2）并令=0 得到力实6682023年第45卷践学101064W101W202W3-12W4+9129129641/2W5M(28a)94EI0795179W101W26465164641/3Fl=0(28b)W3W54338EI188188512W1+51 0 1+W2-51 0 2W3+3335121/4216W4W5(28c)16EI1E=03440440640W1+201 0 1W2+20102W3+33364015dqW5(28d)332EId=0-1120w1-1201 0 1-1 1 2 0 2+1 2 0 1 0 2+17 62560w3-2880w4+2560w564EId2=0(28e)由式(2 8)的前三式可得到2079493W3W1A101W21 0 2-25612825625627/23/33/4MF512EI1024EI4096EIS01111W41 0 11 0 224241/21/4M12EI=01152EI1=04932079W5W11 0 1+W21 0 225625625612827/23/33/4MF512EI=01024EI=04096EI=0(29)将式（2 9）代入式（2 8）后两式得到1/32W1+1 0 1-2 W 2+1 0 2=F6EI175dq240EIda1=0(30)1/3-01+02Mle=0+E24EI1_A15dg1920EIda21=01.5g=ac3+ba+ca+d的情况梁在区间 1，2 内受到三次多项式分布的载荷作用，即q=ac3b a c c 十d。将区间1，2 映射到区间-1，1 ，如图5所示。q(a)=aa3+ba?+cc+dW1W21a1W333W4042021/2$=+1/2=一1=+1图5区间映射示意图（5）在区间 1，2，挠度w是关于的七次多项式，在区间-1，1 ，挠度w是关于的七次多项式。记区间 1，2左右两边的挠度和转角分别31为W1和1，W2和0 2，距离左端和处的44挠度和转角分别为W3和3，W4和0 4，利用挠度和转角间的微分关系，构造挠度w的Hermite插值多项式为w(s)=W110(s)+0111()+W220(s)+202 21(s)+W3 30(s)+03031()+22W440(s)+04中41 (5)2(31)其中(+)(s-)410=(1)(19+22)27242中1 1(S-1)24220(19-22)27224(S 1)021322中30(S-1)327(+1(s+)(-)(s-1)16319+32($+1)($+)2中40(5-1)227216419(32)669吴泽艳等：第3 期种计算梁的挠度和转角的新方法记区间 a1，a 2 中点处载荷集度对的三阶导dd?数为，二阶导数为，一阶导数da3d.c2为。，载荷集度为l=o，剪力为Fl=o，1=0弯矩为Mls=0，将式（32）代入式（9）式（1 2）并令=0 得到dd2人S一0付划5=0I5=03232324132411/2W1W22W3W4M949493934EI07331733132321/3W101W202W3+81 0 3W4+81 0 4Fsl6464338EI=03203203203201/4W1+81 0 1W2-81 0 2W3+241 0 3W4-241 0 4333316EI二0184018403203201475dqW1-401 0 1W2-401 0 2W3-2401 0 3W4-2401 0 43333327EId=051205120512051201.6dW1-1601 0 1W2+1601 0 2W3-3201 0 3-W4+3201 0 4=3333644EIda2I=04256042.56017 92017 92011 7dW1+11201 0 1-W2+11201 0 2-W3+44801 0 3+W4+44801 0 43333128EIda3=0(33)由式（33）的前四式可得到405631072127/29/33/4W3W11 0 1+W21 0 2MF51210245121024512EI2048EI=04096EI31 5dq81920EIda=0147W115147W22317 21511/311 4dq3FM128256128256512EI$=064EI=0512EI-020480EIdc=0107214056327/29/33/4W4W11 0 1W21 0 2MF5121024512512EI2048E=04096EI01024EIS=0-375d81920EIdc=01472W123147W2151511/21/31d04MH128125625664EI01282512EI512EI20480EId1=0(34)式（34）代入式（33）后两式得到17 311 5dq1A17d2W1+1 0 1-2 W 2+1 0 2F6EEI240EI-0dc1=026880EI da3I5=0(35)131A75d-01+02=MEI24EI1920EIda2=0式(1 5)、(2 0)、(2 5)、(30)、(35)即本文用来计算梁的挠度和转角的公式。求解具体问题时，首先按分布载荷的情况将梁划分为若干区间，计算出各区间中点处的剪力、弯矩、载荷集度及其各阶导数，然后在不同的区间按分布载荷的情况直接套用上述公式，得到线性代数方程组，最后利用边界条件，求解方程组即可获得问题的解。可以看出，本方法与积分法相比有优势。首先，因为本方法直接以区间端点处的挠度和转角为未知量列方程，所以连续性条件自然得到满足。其次，本方法免去了复杂的积分过程，直接套用公式，计算过程简洁。2算例算例一简支梁受力如图6 所示，EI=24106N.m,l=1m，F=1 k N,q=1 k N/m,Q1=1kN/m，Q 2=2 k N/m，求B，C和D点力670实践2023年第45卷学的挠度和转角。图中，G，H，I 和J依次为AB，BC，C D 和DE的中点。FQ2q1AEGBHC1DJ1111+图6简支梁受力示意图首先，求出约束反力为（FA和FE方向均向上，图中未画出）FA=1541.6 N,FE=1958.3 N计算出各段梁中点处的剪力和弯矩FG=1041.6 N,FsH=541.6 NFsI=-458.3 N,FsJ=1083.3 NMc=645.83 Nm,MH=1312.5 Nm,Mi=1354.16 Nm,MJ=750 Nm其次，对AB段可由式（2 0）列方程Fsc132WA+I0A-2WB+l0B=6EI-0A+OB=Mclq13EI24EI对BC段可由式（1 5）列方程FsH132WB+l0B-2Wc+l0c=6EIMHl-0B+c=EI对CD段可由式（1 5）列方程Fs132Wc+l0c-2WD+l0D=6EIMil-0c+OD=EI对DE段可由式（2 5）列方程Fs.J13(q2-q1)142WD+l0D-2WE+l0E6EI240EIMjl(q1+q2)13-OD+E:EI48EI最后，注意到边界条件WA=O,WE=O共有8 个方程和8 个未知数，求解该方程组得到0A=-0.004 6,wB=-0.072 0 mm0 B=-0.003 2Owc=-0.102 3 mm0c=-0.000 06WD=-0.073 5 mm=0.003.2,QE=0.004 8 该结果与积分法得到的结果相同。算例二如图7 所示，悬臂梁受分布载荷作用，其中OA部分受均布载荷作用，载荷集度为2 q0，2q0AB部分载荷集度为Q1(c)=3q07312(-1)+20BC 部分载荷集度为 42(n)=-%:(-21)+qo，其中，qo=1103N/m，l=1 m。梁的抗弯刚度EI=24106Nm。求C点的挠度和转角。图中，D，E和F依次为OA，A B和BC的中点。2Q0q1()q2()DAEBFC11+图7受分布载荷作用的悬臂梁首先，求出约束反力为（Fo方向竖直向上，Mo为顺时针方向，图中未画出）Fo=-4 166.6 N,Mo=4 733.3 Nm算得D点处的剪力和弯矩为FsD=-3 166.6 N,MD=2 900 NmE点处的剪力、弯矩、载荷集度、载荷集度对的各阶导数为FsE=-1260.416 N,Me=720.83Nm,QqE=1.5 kN/m,dq=-1.5 kN/m,=0O N/m,dcEda2Ed=12 kN/m4d3EF点处的剪力、弯矩、载荷集度、载荷集度对的各阶导数为FsF=-208.3N,MF=36.4583Nm,qF=750 N/m,dqd=-1 kN/m,=-2 kN/m3dcFde2F其次，对OA段可由式（2 0）列方程1732Wo+l0o-2WA+10A=FD6EI1173-00+0AMD2q0EI24EI对 AB段可由式（35）列方程1/32WA+I0A-2WB+lOBFsE+6EI1 1517240 EIdaE26880EIdc3E11.731.15d-0A+0BME24ETqEEI1920EIda2E漫（责任编辑：胡WB0.3774 mm0.2183 mm,0.0092wC0.073 1 mm,BA0.0090=0.0071,WA671种计算梁的挠度和转角的新方法吴泽艳等：第3 期对BC段可由式（30）列方程2WB+l0B-2Wc+l0c1/3FsF1 5 dg一6EI240EIdF1_15dg1113-0B+c:MFEI24EIqF1920EIda2F最后，注意到边界条件wo=0,o=0由上述6 个方程可依次解得该结果与积分法得到的结果相同。3结论提出了一种计算梁的度和转角的新方法，推导了计算公式。求解具体的问题时，只需要先计算出若干截面的剪力和弯矩，再分区间、分情况套用公式并解方程组即可。与积分法相比，新方法无需复杂的积分计算，且因为直接以挠度和转角为待定系数，连续性条件自然得到满足，故计算过程简单明了。参考文献1孙训方，方孝淑等.材料力学(I,II)，第6 版.北京：高等教育出版社,2 0 1 92刘鸿文.材料力学(I,I)，第6 版.北京：高等教育出版社，2 0 1 73殷有泉，励争.材料力学，第3版.北京：北京大学出版社，2 0 1 74苑学众，孙雅珍.计算简支梁最大挠度的简单方法.力学与实践，2013,35(4):63-645许小君.简支梁中截面挠度计算的一种简易方法.力学与实践，2015,37(3):381-383Xu Xiaojun.A simple method for determining the deflec-tion at the midpoint of a simply supported beam.Mechan-ics in Engineering,2015,37(3):381-383(in Chinese)6刘胜来.变刚度梁挠度曲线的Green函数法求解.力学与实践，2017,39(5):445-4487葛仁余，吕良伟，朱浩杰等.复杂载荷作用下梁的弯曲变形微分求积法求解.力学与实践，2 0 2 0,42(6)：7 8 8-7 93Ge Renyu,Lyu Liangwei,Zhu Haojie,et al.Differentialquadrature method for solving bending deformation prob-lems of beams under complex loads.Mechanics in Engineer-ing,2020,42(6):788-793(in Chinese)8雷芳明，顾春龙，赵永刚.计算梁弯曲变形的一种特殊叠加法.力学与实践,2 0 2 2,44(3):6 7 7-6 8 0Lei Fangming,Gu Chunlong,Zhao Yonggang.A special su-perposition method for calculating bending 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