一道高考不等式题的多种解法.pdf

短文集锦一道高考不等式题的多种解法题目：对于c0，当非零实数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且 使|2a+b最 大时，3a-4b+5c的最小值为.（2014年辽宁省高考理科数学第16题）解法一（配方法）：由4a2-2ab+4b2-c=0得：5(2a+b)2+3(2a-3b)2=8c，故5(2a+b)28c，当2a-3b=0即2a=3b时，|2a+bmax=2 10c5,将a=3b2代入4a2-2ab+4b2-c=0得c=10b2,则3a-4b+5c=2b-4b+510b2=-2b+12b2=121b-22-2-2,即 当b=12,且a=34,c=52时，3a-4b+5c的最小值为-2.解法二（判别式法）:令t=2a+bb=t-2a代 入4a2-2ab+4b2-c=0整 理 得24a2-18ta+()4t2-c=0，因为a为非零实数，故上述方程的判别式(-18t)2-96(4t2-c)0t285c,即()2a+b285c，以下同解法一.解法三（齐次化法）：令u=()2a+b2,由4a2-2ab+4b2-c=0得c=4a2-2ab+4b2,则uc=()2a+b24a2-2ab+4b2uc=4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2.令t=ab，则uc=4t2+4t+14t2-2t+4,令k=4t2+4t+14t2-2t+4，变形得：4()k-1 t2-2()k+2 t+()4k-1=0,由0得4()k+22-16()k-1()4k-1 0k85,故uc85，即()2a+b285c，以下同解法一.解法四（三角换元法）：将4a2-2ab+4b2-c=0配方变形得2a-b22+154b2=c,令2a-b2=ccos,152b=csin 2a=c15sin+ccos,b=2 c15sin，故|2a+b=|3 c15sin+ccos=|8c5sin()+8c5,当且仅当sincos=3151=315,即152b2a-b2=315a=32b时，|2a+bmax=8c5，此时c=58()2a+b2=58()3b+b2=10b2，以下同解法一.解法五（柯西不等式法）：将4a2-2ab+4b2-c=0变形为2a-b22+154b2=c，因为2a-b2+3b2=2a+b，故 可 变 形 为2a-b22+533b22=c,联想柯西不等式得|2a+b=|2a-b2+3b2=|12a-b2+35|533b21+352a-b22+533b228c5,即|2a+b 8c5,当且仅当2a-b2533b2=2023年第2期河北理科教学研究 51短文集锦53，即a=32b时等号成立,以下同解法一.解法六（柯西不等式法）:4a2-2ab+4b2-c=0，c4=a2-12ab+b2=a-b42+1516b2，由柯西不等式得a-b42+1516b222+6152 2a-b4+154b6152=|2a+b2,故当|2a+b最大时，有a-b42=154b615a=32b,c=10b2，以下同解法一.（浙江省嘉善第二高级中学 鲁和平 314100）“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质在解析几何中，我们将椭圆x2a2+y2b2=1和双 曲 线x2a2-y2b2=1称 为“情 侣 圆 锥 曲线”.笔者在研究圆锥曲线的过程中，发现了“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质.定 理 如 图 1所示，若P(x0，y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的任意一点（除顶点外），过点P作 椭 圆C的 切 线l，l交 双 曲 线E:x2a2-y2b2=1于点M,N，点Q为线段MN的中点，则kMNkOQ=b2a2.易知，存在如下引理1.引理1 若P(x0，y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的一点，则过点P的切线有且仅有一条，该切线方程为x0 xa2+y0yb2=1.证明：设M(x1，y1),N(x2，y2)，P(x0,y0)，由引理得直线MN的方程为x0 xa2+y0yb2=1，即y=b2a2y0(a2-x0 x)，联立x2a2-y2b2=1y=b2a2y0(x0 x-a2)(b2x02-a2y02)x2+2a2b2x0 x-a4()b2-y02=0，x1+x2=-2a2b2x0b2x02-a2y02，y1+y2=2a2b2y0b2x02-a2y02，则点Q(-a2b2x0b2y02-a2y02，a2b2y0b2x02-a2y02)，kMNkOQ=2a2b2y0b2x02-a2y02-a2b2x0b2y02-a2y02-b2x0a2y0=b2a2.（云南师范大学数学学院 朱啟吉 650500）解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会出现思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象.因此在解答解析几何问题的过程中如何减少计算就成为能否迅速、正确解题的关键.本文介绍利用曲线系方程求解几道高考试题.1定值问题例 1（2021年全国新高考 1卷）：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-17,0)，F2(17,0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2，记MxNPQOy图1M妙用曲线系方程巧解高考试题2023年第2期河北理科教学研究 52