一阶、二阶常微分方程简捷解法.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(8),2345-2352 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.138242 文章引用文章引用:晏建学,张曦丹,朱南丽.一阶、二阶常微分方程简捷解法J.理论数学,2023,13(8):2345-2352.DOI:10.12677/pm.2023.138242 一阶、二阶常微分方程简捷解法一阶、二阶常微分方程简捷解法 晏建学晏建学1，张张曦丹曦丹2，朱朱南丽南丽1 1云南财经大学商学院，云南 昆明 2云南财经大学物流与管理工程学院，云南 昆明 收稿日期：2023年7月6日；录用日期：2023年8月7日；发布日期：2023年8月14日 摘摘 要要 本文针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数线性常微分方程的常规解法进行梳理，对题型加以细化，并针本文针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数线性常微分方程的常规解法进行梳理，对题型加以细化，并针对每一种细化题型总结出一套较为独特简捷的解法。创新对每一种细化题型总结出一套较为独特简捷的解法。创新之处在于之处在于针对针对一阶线性微分方程一阶线性微分方程三种三种题型直接题型直接凑微分凑微分，二阶可降阶二阶可降阶微分方程微分方程不设中间变量直接不设中间变量直接凑微分，二阶常系数线性常微分方程三种凑微分，二阶常系数线性常微分方程三种题型题型(特征方程特征方程单根、单根、二重根二重根、共轭复根、共轭复根)直接直接凑微分求通解，凑微分求通解，二阶常系数非齐次线性微分方程三种二阶常系数非齐次线性微分方程三种基本题型基本题型及及四种扩展四种扩展题型题型直接直接求特解求特解，解题方法快速简洁解题方法快速简洁，深受学生深受学生好评好评。关键词关键词 凑微分，凑微分，y y,凑，凑，yy,凑，齐次，非齐次，多项式，指数函数，三角函数，通解，特解凑，齐次，非齐次，多项式，指数函数，三角函数，通解，特解 Solving Process Simply for First-Order and Second-Order Ordinary Differential Equation Jianxue Yan1,Xidan Zhang2,Nanli Zhu1 1Business School,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan 2School of Logistics and Management Engineering,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan Received:Jul.6th,2023;accepted:Aug.7th,2023;published:Aug.14th,2023 Abstract This paper combs the conventional solving process for first-order,second-order reducible,second-order constant coefficient linear ordinary differential equation,refines the types of problems,and 晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2346 理论数学 summarizes a set of unique and simple solving process for each refined type of problems.The in-novation lies in the direct integration of three types of problems of the first order linear differen-tial equation,the second order reducible differential equation without intermediate variables,the second order constant coefficient linear ordinary differential equation with three types of prob-lems(single root,double root and conjugate complex root of characteristic equation),the second order constant coefficient linear non-homogeneous differential equation with three basic prob-lems and four extended problems,and the direct integration of differential equations to find gen-eral solutions.The solution method is fast and simple,and praised by students highly.Keywords Piecemeal Differential,Piecemeal y y,Piecemeal yy,Homogeneous,Non-Homogeneous,Polynomial,Exponential Function,Trigonometric Functions,General Solution,Special Solution Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.微分方程基本概念微分方程基本概念 含未知函数及其导数的方程称为微分方程1，微分方程广泛应用于物理、工程、经济等多个领域描述众多实际现象和问题。微分方程分为许多不同类型，每种类型都有自己独特的性质和解法，解题方法灵活多变，难以掌握。笔者在多年教学中针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数常微分方程常规解法进行梳理，对题型进行细化，针对一阶线性微分方程三种题型直接凑微分，二阶可降阶微分方程不设中间变量直接凑微分，二阶常系数线性常微分方程三种题型(特征方程单根、二重根、共轭复根)直接凑微分求通解2，二阶常系数非齐次线性微分方程三种基本题型及四种扩展题型直接求特解，解法独特简捷，深受学生好评。常见的微分方程类型如下3：1)可分离变量微分方程()()ddf xxg yy=2)齐次(可化为齐次)微分方程ddyyxx=3)一阶线性微分方程()()yP x yQ x+=Bernulli 方程()()nyP x yQ x y+=4)可降阶高阶微分方程()()nyf x=、(),yf x y=、(),yfy y=5)二阶常系数齐次线性、非齐次线性微分方程0ypyqy+=，()ypyqyf x+=本文例题及常规解法出自同济大学数学系高等数学(第七版)上册1(高等教育出版社 2014 年北京)。2.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程()()g yyf xxdd=两边积分：()()ddg yyf xx=，得到()()G yF xC=+例例 1：d2dyxyx=，d2 dyx xy=，d2 dyx xy=，2lnlnyxC=+，2exyC=Open AccessOpen Access晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2347 理论数学 3.齐次方程齐次方程yyx=令yux=，则yux=，()uxuyu+=，()dduxuux=，()dduxuux=，化为可分离变量微分方程，两边积分：()dduxuux=，得到()lnlnlnyuxCCxx=+=例例 2：dlndyyyxxx=，yux=，lnuxuyuu+=，()ddln1uxuux=，()d ln1dln1uxux=两边积分：ln ln1lnlnlnuxCCx=+=，ln1yCxx=+。4.一阶线性微分方程一阶线性微分方程()()yP x yQ x+=+=三种题型及其解法：将三种题型及其解法：将 y y,凑一块，然后积分凑一块，然后积分 1)题型一：题型一：()()()()y u xyuxyu xf x+=两边积分：两边积分：()()dyu xf xxC=+例例 3：()212cosxyxyx+=，()21cosxyx=，()21cos dsinxyx xCxC=+=+2)题型二题型二：()()()y v xyv xf x=，()()()()()()22y v xyv xf xyv xvxvx=，积分积分()()()2df xyv xxCvx=+例例 4：()52211yyxx=+，()()()9221211xyxyx+=+，()()()()212412111xyxyxx+=+，()()12211yxx=+，()()3222113yxxC=+3)题型三：题型三：()()yP x yQ x+=，()()()()()()()ddddeeeeP xxP xxP xxP xxyyP xyQ x+=积分：积分：()()()ddeedP xxP xxyQ xxC=+，求出求出()()()()ddeedP xxP xxyQ xxC=+例例 5：22yxyx+=，()2222e2 ee2 exxxxyxyyx+=，22eexxyC=+，21exyC=+。5.可降阶二阶微分方程三种题型及其解法可降阶二阶微分方程三种题型及其解法 1)题型一：题型一：()()nyf x=逐次积分法逐次积分法 例例 6：2ecosxyx=，积分三次，得到211esin22xyxC=+，2121ecos24xyxC xC=+，221231esin8xyxC xC xC=+2)题型二：题型二：(),yf x y=凑微分法，凑凑微分法，凑,yy(无需令无需令yp=)，然后分离变量，再积分，然后分离变量，再积分 例例 7：()212xyxy+=，01xy=，03xy=，()22ln1yxyyx=+，()21lnln 1lnyxC=+，()()22113 1yCxx=+=+，332331yxxCxx=+=+3)题型三：题型三：(),yfy y=凑微分法，将凑微分法，将,yy凑一块，凑一块，,y y凑一块凑一块(无需令无需令yp=)再求解再求解 例例 8：22lnyyyyy=，22lnyyyyy=，lnyyy=，()()lnlnyy=，()lnlnyy=晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2348 理论数学 令lnzy=，zz=，22z zz z=，()()22zz=，2221zzC=+，221zzC=+，2211zzC=+，()2212lnlnzzCxC+=+，2212lnlnexyyCC+=例例 9：3yy=，01xy=，02xy=，26y yyy=，()3224yy=，3224yy=，342yy=，342y y=，1442y=，14424yx=+，412xy=+。6.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0+=+=的通解的通解 该常规方法用于求齐次的通解，便于记忆，方便实用(表 1)。Table 1.General solution of second order homogeneous linear differential equation with constant coefficients ypyqy+=0(from the first volume of the seventh edition of Advanced Mathematics,Tongji University)1 表表 1.二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy+=的通解(出自同济大学高等数学第七版上册)1 特征方程20rprq+=的两个根12,r r 微分方程0ypyqy+=的通解 两个不相等的实根 12,r r 1212eer xr xyCC=+两个相等的实根 12rr=()112er xyCC x=+一对共轭复根 1,2ri=()12ecossinxyCxCx=+7.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x+=+=的特解的特解 用待定系数法求非齐次的特解比较繁琐，需同时考虑左边的特征方程单根、二重根、共轭复根及右端的非齐次项与特征方程根的关系。当特征方程有重根且方程右边ex中是特征方程的单根、是特征方程的二重根时求解过程就更加繁琐，尤其是特征方程有共轭复根且方程右边带三角函数时求解之繁琐更让人苦不堪言1 3(表 2)。Table 2.Special solution of second order non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients ()ypyqyf x+=(from the first volume of the seventh edition of Advanced Mathematics,Tongji University)1 表表 2.二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x+=的特解(出自同济大学高等数学第七版上册)1()()exmf xPx=型的特解()()()()()()12ecossinxlmf xPxxPxx=+型的特解()*ekxmyx Qx=其中 m 是与()mPx同次(m 次)的多项式 而 k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根、是特征方程的二重根依次取值为0,1,2k=()()()()()12*ecossinkxnnyxRxxRxx=+其中()()()()12,nnRxRx是max,nl m=次多项式 而 k 按i+不是特征方程的根、是特征方程的单根 依次取值为0,1k=笔者对该常规解法加以改进，对题型加以细化，并针对每一种细化题型总结出独特简捷的解法2。晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2349 理论数学 8.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x+=+=求通解方法求通解方法凑微分并凑微分并 积分两次，该方法只需对方程左边凑微分而无需考虑方程右端非齐次项积分两次，该方法只需对方程左边凑微分而无需考虑方程右端非齐次项()f x 1)题型一：题型一：()()121 2yrryrr yf x+=型，特征方程型，特征方程20rprq+=有两个不相等实根有两个不相等实根12,r r()()()212yr yryr yf x=，()()()112eer xr xyr yf x=，()()22111eeeedr xr xr xr xyf xxC=+，()()21211212eeedder xr x r xr xr x r xyf xxxCC=+，()()21211212eeeddeer xr x r xr xr xr xyf xxxCC=+例例 10：2331yyyx=+，()()331yyyyx+=+，()()()33ee31xxyyx+=+()()333112ee31 de3xxxyyxxCxC+=+=+，312e3xyyxC+=+()412eee3xxxyxC=+，4121eee3xxxyxCC=+，3121ee3xxyxCC=+例例 11：256exyyyx+=，()()2323exyyyyx=，()()2223ee exxxyyxx=()22113e2xyyxC=+，222113ee2xxyyxC=+，()32232311ee ee e2xxxxxyxC=+，322121211ee deee22xxxxxyxxCCxxCC=+=+，2231211 eee2xxxyxxCC=+2)题型二：题型二：()22yryr yf x+=型，特征方程型，特征方程20rprq+=有两个相等实根有两个相等实根12rr=，速解，速解()()eerxrxyf x=，()()1eedrxrxyf xxC=+，()12eddrxrxyef xxxC xC=+()()12eedderxrxrxyf xxxC xC=+例例 12：()3691 exyyyx+=+，()()333e1 e e1xxxyxx=+=+，()3211e2xyxxC=+3321211e62xyxxC xC=+，()2331211ee62xxyxxC xC=+3)题型三：题型三：()()222yyyf x+=型，特征方程型，特征方程20rprq+=有一对共轭复根有一对共轭复根1,2ri=()()()()()()()()()()()yi yiyi yyi yiyi yf x+=+=()()()()()()eei xi xyi yf x+=，()()()()()1eedi xi xyi yf xxC+=+()()()()()1eedei xi xi xyi yf xxC+=+，()()()()()()()()1eeeedeei xi xi xi xi xi xyf xxC +=+，()()()()2212eeeddei xi xixixyf xxxCC+=+，()()()()()()212eeeddeei xi xi xi xixyf xxxCC +=+，晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2350 理论数学 ()()()()()212eeeddecossini xi xixxyf xxxCxCx+=+用欧拉公式ecossinixxix=+，ecossinixxix=，ee2cosixixx+=，ee2 sinixixix=针对()()()()()()12ecossinxlmf xPxxPxx=+型求解1，()()()()()()()12eeeeee22i xi xi xi xixixxef xP xPxP xP xi+=+=+()()()222eixyyyP x+=解为y，而()()()222eixyyyP x+=解为y，则yyy=+例例 13：cos2yyxx+=，()()()2221ee2ixixyiyi yiyyiyiyi yx+=+=+()()231eeee22ixixixixxyiyx=，()3311ee eede2618ixixixixixxixyxC=+()211eee618ixixixixyC=+，2122eee6922ixixixCCxiyi=+2122eee6922ixixixCCxiyi=+，2122eee6922ixixixCCxiyi=+()()()()2222122eeeeeeee6922ixixixixixixixixCCxiyyyi=+=+124cos2sin2sincos39xyxxCxCx=+例例 14：25e sin2xyyyx+=，24e sin2xyyyyx+=，()e4 ee e sin2xxxxyyx+=设exzy=，()()()2221222224sin2ee2ixixzizi zizzizizi zxi+=+=()()2224112eeee22ixixixixzizii=，()2224411211eeee2e288ixixixixixzCCi=+=+()2411e2e8ixixzC=+，241221ee842ixixCCzxi=+，2221221eee842ixixixCCzxi=+，()()()222222122eeeeee842ixixixixixixCCxzzzi=+=+，()12ee cos2esin2cos24xxxxyzxCxCx=+。9.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x+=+=求特解求特解3 种基本题型、种基本题型、4 种扩展题型，该方法只需考虑方程右端非齐次项种扩展题型，该方法只需考虑方程右端非齐次项()f x的类型，解题思路清晰，的类型，解题思路清晰，步骤简捷步骤简捷 1)基本题型一：基本题型一：()nypyqyPx+=多项式型，特解多项式型，特解()*nyQx=与与()nPx次数相同次数相同 例例 15：2331yyyx=+，晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2351 理论数学 特解特解*yaxb=+满足()*1230213313yyyxx=+=+，*13yx=+，例例 16：2yyx+=，特解特解*2yaxbxc=+满足()*2222yyxx+=+=，*22yx=2)基本题型二：基本题型二：exypyqy+=指数函数型，特解指数函数型，特解*exyz=与与ex同型同型 例例 17：exyy+=，*1e2xy=例例 18：256exyyy+=，设2exyz=，()()22256445106eeexxxyyyzzzzzzzzx+=+=特解特解*z满足()11zzxx=，*1zx=，*212zxx=，*221e2xyxx=3)基本题型三：基本题型三：sincosxypyqyx+=型型特解特解*y与与sincosxx同型同型 例例 19：()221cos2ee2ixixyyx+=+，讨论：21e2ixyy+=及共轭微分方程：21e2ixyy+=设2eixyz=，()()2222144e43ee2ixixixyyzizi zzzizz+=+=+=1432zizz+=，16z=，特解()*2211eecos263ixixyyyx=+=+=例例 20：()1sinee2ixixyyxi+=，讨论：1e2ixyyi+=及共轭微分方程：1e2ixyyi+=设eixyz=，()()2212e2ee2ixixixyyzizi zzzizi+=+=+=，122zizi+=22xzizi+=，21124824xxiiii+=，148xzi=，148xzi=+特解()()*11eeeecossin4824ixixixixxxyyyxxi=+=+=4)扩展题型一：扩展题型一：()exnypyqyPx+=指数函数乘多项式型，特解指数函数乘多项式型，特解()*exmyQx=与与()exnPx同型同型 例例 21：()3691 exyyyx+=+，设3exyz=，()()33369696189ee1 exxxyyyzzzzzzzx+=+=+，1zx=+，特解*321162zxx=+，*32311e62xyxx=+，通解()2331211ee62xxyxxC xC=+5)扩展题型二：扩展题型二：sinecosxxypyqyx+=指数函数乘三角函数型，特解指数函数乘三角函数型，特解*y与与sinecosxxx同型同型 例例 22：e cos2xyyx=，设exyz=，则()e2e cos2xxyyzzzzx=+=，2cos2zzx+=，()22112sin2ee24ixixzzxi+=，212e4ixzzi+=212e4ixzzi+=，()2211ee22 416ixixizii+=+，21e16ixiz=晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2352 理论数学 ()()2222111eeeecos2sin2161688ixixixixizzzxx=+=+=+()*1eesin2cos28xxyzxx=6)扩展题型三：扩展题型三：()sincosnxypyqyPxx+=多项式乘三角函数型，特解多项式乘三角函数型，特解*y与与()sincosnxP xx同型同型 例例 23：()221cos2ee2ixixyyxxx+=+讨论21e2ixyyx+=及共轭方程 21e2ixyyx+=，21e2ixyyx+=设2eixyz=，则()222144ee2ixixyyzizi zzx+=+=441034366182ixizizzx=+=，269xiz=，269xiz=+()()*222224eeeecos2sin26939ixixixixxixyyyxx=+=+=+7)扩展题型四：扩展题型四：()sinecosxnxypyqyPxx+=指数函数多项式三角函数乘积型，特解指数函数多项式三角函数乘积型，特解*y与与()sinecosxmxQxx同型同型 例例 24：()()()221 21 2eeecos2eee22ixixi xi xxxxyyxxx+=+，()1 2e2i xxyy+=，()1 2e2i xxyy=，设()1 2ei xyz+=，则()()()()()21 21 22 1212ee2i xi xxyyzi zizz+=+=()()()()()()()()22 122 122 124 104 18 18 1232 1iixxzi zi ziiii+=，()()()22 12128 1163232 1ixiizxii+=+，121632iizx+=+()()1 21 2*121211eee sin2e cos216321632816816i xi xxxiiiixxyxxxx+=+=+。基金项目基金项目 云南财经大学科学研究基金项目。参考文献参考文献 1 同济大学数学系,编.高等数学(上册)M.第 7 版.北京:高等教育出版社,2014:297-354.2 晏建学.微积分、线性代数、概率论与数理统计解题指导及提高M.昆明:云南科技出版社,2018.3 马锐,主编.高等数学M.第 2 版.北京:高等教育出版社,2019.