遗传算法在投资组合优化中的应用.pdf

文/薛雨石（北京科技大学北京）在中央经济工作会议定调 2022 年全面实施证券发行注册制背景下，资本流通更加频繁，市场变化更加多样，中国资本市场逐步走向成熟还有较大的调整、完善空间，让投资者在股市中简单易行地甄别鱼龙混杂的上市公司就显得尤为重要。本文通过遗传算法求解 0-1 背包问题，转化为求解初始投资成本具有约束条件下的最优股票投资组合，最后实现投资收益最大化的目标。一、均值-方差投资组合模型投资组合是研究如何优化分配投资者的财富，使其达到提高收益和分散风险的目的。投资的本质就是以牺牲当前的收益为代价来换取将来的收益，资本成本是影响投资主体进行投资行为的重要因素，任何一项投资活动都必须进行成本收益分析。1952 年，Markowitz 的Portfolio Selection 开创性地提出了均值-方差（MV）投资组合模型，赢得了 1990 年诺贝尔经济学奖。该研究是资产配置理论的基础，是量化投资的开端，它将风险与收益联系起来，风险也可以进一步解释为投资者需要承担的成本，帮助投资者建立起最佳的投资组合。本文借用这一思想，在初始投资成本约束的条件下，使得投资收益最大化。假设一个投资组合共包括 N 种风险证券，其中 ri表示第 i 种证券的收益率；xi表示第 i 种证券的投资比率；Ri=E（ri）表示第 i 种证券的期望收益率；滓ij=E（ri-Ri）（rj-Rj）表示第 i 种证券与第 j 种证券期望收益率的协方差。该投资组合的总收益 Rp=Ni=1移xiRi（1）总风险 滓p2=Var（Ni=1移xiri）=Ni=1移Nj=1移xixj滓ij（2）令 x=x1，x2，x3，xnT表示投资组合的投资比例向量；V=（滓ij）N伊N表示收益率向量 r 的协方差矩阵；F=1，1，1，1T表示分量全部为 1遗传算法在投资组合优化中的应用提要 在中央经济工作会议定调 2022 年全面实施证券发行注册制背景下，探索量化投资与智能算法相结合，克服传统人工决策带来的不足十分有意义。本文利用均值-方差投资组合模型中收益与风险相平衡的思想，以 0-1 背包问题为媒介，在背包具有最大载重量为约束条件下，物品的装包与不装包两种状态，重新定义在初始投资成本具有约束的条件下，对股票池中的个股进行投资与不投资做出决策，最后用 MATLAB 程序实现遗传算法这一智能优化算法，使模型的求解过程具有生物的遗传进化能力与自适应能力，最后得出收益最大化的投资组合，在现实中具有很强的操作性，为投资者提供行之有效的股票选择方案与决策依据。关键词：均值-方差投资组合；0-1 背包问题；遗传算法；实证分析中图分类号：F83文献标识码：A收录日期：2023 年 1 月 11 日产品蕴含着巨大的社会利益。但新技术发展前期，投入资金众多，收益却很小，甚至呈负增长，这时候就需要政府用有形的手进行引导扶持。自 2009 年开始，政府推出一系列政策和规制、财政优惠、税收补贴等。截至目前，国家仍旧对民营企业科技发展进行扶持。由此可见，应该合理规划利用政府补贴资金，专款专用，不可投机取巧，避免影响企业自身经营和发展。综上，资金是公司在激烈的市场需求中击败敌人的有效利器。如果要保持发展，不仅必须合理使用其内部资产，而且还必须在适当的情况下合理地从外部进行融资。由于外部资源的稀缺，而资金也是公司生存发展的刚性需求，如果公司要继续发展就必须拥有足够量的资金。因此，对于企业而言，融资已成为公司日常活动中极为重要的一环，而民营企业更是需要持续的发展资金。所以，融资问题的解决对民营企业的发展具有关键影响。主要参考文献：1 田小平.民营企业融资难的原因分析及应对策略 J.经济研究导刊，2016（12）.2 刘丹.中小民营企业融资问题与相关政府政策研究 J.中国商论，2017（21）.3 蔡智渊，李立辉.我国民营企业的融资困境及解决途径 J.企业改革与管理，2018（04）.4 雷雨.民营企业融资难的现状、成因与对策分析 J.财会学习，2018（10）.5周继刚.民营企业融资问题及对策建议J.商场现代化，2019（10）.6 杨洁，胡敏.民营企业融资困境及对策研究 J.现代商业，2019（15）.金融/投资叶合作经济与科技曳No.10 x圆园2354-的 N 维向量；R=R1，R2，R3，RnT表示收益率向量 r 的期望向量；则Markowitz 模型可表述为：min（滓2p=XTVX）s.t.XTR=R0XTF=1扇墒设设设设设缮设设设设设（3）其中，R0是投资者所要求的期望收益率；或者max（Rp=XTR）s.t.XTVX=滓20XTF=1扇墒设设设设设缮设设设设设（4）其中，滓20是投资者所要求的期望风险值。假设一个投资组合包含 N 个证券，用 Markowitz 模型求解时，需要计算 N 个预期回报、N 个方差、N（N-1）/2 个协方差，在证券市场上各种股票数以千计的今天，如果只由人工而不用计算机辅助计算，一是计算量庞大，效率低下；二是势必将倚赖作业人员的主观判断，投资效率与质量均不能保证，因此需要通过算法思想和计算机代码，实现由人工转化为计算机的智能解。二、0-1 背包问题描述0-1 背包问题早在 1978 年就由学者 Merkle 和 Hellman 提出，可以通俗地描述为：给定一组物品，每个物品都有各自的重量和价值，在背包最大限定的载重量以内，如何选择可以使物品的总价值最大。其数学模型如下：一组物品共有 k 个，各个物品的重量和价值分别为 wi（i=1，2，k）和 vi（i=1，2，k），背包最大限定的载重量为 C，xi为 0-1 决策变量，xi=1 时物品 i 被装包，xi=0 时物品 i 未被装包。目标函数 maxki=1移vixi（5）表示最大化背包中物品的总价值；约束条件ki=1移wixi臆C（6）表示装入背包中物品的总重量不大于最大限定的背包载重量。本文通过重新定义物品与背包的概念，以证券市场上的股票投资为例，把股票池中个股的价格定义为单个物品的重量，是选择投资该支股票所要付出的机会成本，把个股的每股收益定义为单个物品的价值，可供使用的初始投资成本定义为背包最大限定的载重量，某物品装包与未装包的问题就巧妙地转化为某股票被选中投资与未被选中投资的问题。三、遗传算法介绍生物启发式计算是通过模拟自然界的生态演化机制而产生的智能优化算法，对于求解 0-1 背包问题、旅行商问题、车辆路径问题等一系列高维度、多目标、约束性优化有卓越的性能。其中，遗传算法借鉴了生物的遗传与进化，使模型求解具有优良的自适应能力和优化能力。遗传算法的原理如下：求函数最大值、最小值的数学规划模型为：max（min）f（x）s.t.X沂RR哿U扇墒设设设设缮设设设设（7）其中，X=x1，x2，x3，xnT为决策变量，f（x）为目标函数，式（2）、式（3）为约束条件，满足约束条件的解 X 称为可行解，集合 R 表示所有满足约束条件的可行解集合，U 是基本空间。将 n 维决策变量 X=x1，x2，x3，xnT用 n 个记号 Xi（i=1，2，n）所组成的符号串来表示：X=X1X2Xn寅X=x1，x2，x3，xnT，把每一个 Xi看作一个遗传基因，n 个 Xi组成一条染色体，称为个体 X，个体 X 所组成的集合称为种群 P（t）。如果将遗传基因 Xi由 0 和 1 表述，相应的染色体就转化为一个二进制符号串。对于每一个个体 X，要按照一定规则确定出其适应度 Fitness，个体的适应度与个体 X 的目标函数值相关联，X 越接近目标函数的最优值，适应度越大，反之适应度越小。遗传算法搜索最优解的过程是一个反复迭代过程，它是通过模仿生物进化过程中对染色体的选择、交叉、变异、重组实现的，换言之，搜索染色体 X 最优解 X*，使得种群 P（t）按照优胜劣汰的法则将适应度较高的个体更多地遗传到下一代种群 P（t+1）：选择操作从第 t 代种群 P（t）中选择出一些优良的个体遗传到下一代种群 P（t+1）中，适应度高的解的后代往往多于适应度低的解的后代；交叉操作将种群 P（t）中的个体随机配对，以某一概率交换它们之间的部分染色体；变异操作对种群 P（t）中的个体，以某一概率改变染色体上的等位基因，从而拓宽算法的搜索空间；重组操作将父代种群中适应度值排在前列的个体添加到子代种群中，等待执行下一轮遗传。四、遗传算法求解步骤（一）将背包方案编码成染色体。假设待装包的物品数目为n，每个物品都有装入与未装入两种状态，装入用 1 表示，未装入用 0 表示，装图 1遗传算法求解 0-1 背包问题流程图输入数据初始参数：种群数目、最大迭代次数、交叉概率、变异概率、代沟率初始化种群计算器初始化gen=1gen臆MAXGEN计算种群适应度值选择操作交叉操作变异操作重组成新种群对不满足约束的个体进行约束处理gen越gen+1是否输出全局最优个体解解码成装包方案结束开始55-图 3最优投资组合股票序号、最大投资总收益、最大总收益下的投资总成本图包方案共有 2n种，每个方案都可以表示为一个 01 二进制符号串，长度为 n。本文将这一装包方案二进制符号串重新定义为一条染色体，单个物品装入与未装入的状态定义为遗传基因。（二）通过约束处理修复染色体。随机生成 01 遗传基因，形成一条染色体 X，此时这一装包方案基本上是不符合背包最大载重量这一约束条件的，因此要对染色体进行修复。第一步：将遗传基因越1，即已经装入包中的物品，按照性价比越价值衣重量由低到高排序；第二步：取走排在第一位的物品，检验剩余物品是否满足约束条件，如果满足，将此遗传基因由 1 改为 0，该条染色体修复完毕；如果不满足，将此遗传基因由 1 改为 0，继续取走排在第二位的物品，再次检验剩余物品是否满足约束条件，逐次将不满足约束条件的遗传基因由 1 改为 0，直至满足约束条件为止，该条染色体修复完毕。（三）设置适应度函数评价染色体优劣。定义物品 i 的价值为 p，适应度函数 Fitness越ni=1移Pi；在满足约束条件的前提下，适应度值越大，该条染色体最优，即该装包方案最优。（四）构造种群。假设父代种群是由 P 条染色体构成，通过约束条件的检验，遍历修复每条染色体，完成对父代种群 P（t）的初始化。此时，种群 P（t）中每条染色体 X 的适应度值存在大小差异，通过选择、交叉、变异、重组四种操作，将适应度值高的染色体添加到子代种群 P（t+1）中，作为等待下一次循环进化的新种群。本文通过设定种群总代数500 终止运算，当程序运行到第 P（t）代，t逸500 时算法终止，生成全局最优个体。（五）选择操作。如果仅从父代种群中挑选出适应度值大的染色体X，容易使整个种群在后续进化中停滞不前，陷入局部最优。因此，在选择个体时，还要兼顾选择适应度值小的染色体。本文设定种群大小是500，代沟率 90%，即每次循环选择父代种群中适应度值前 50 的个体遗传到下一代，其余 450 个个体通过设置轮盘赌转盘进行概率选择，成为子代种群。因为轮盘赌转盘是按个体适应度值大小的占比面积构成，个体适应度值大的染色体被选中的概率就会大，且允许同一染色体被重复选中。（六）交叉操作。将上述按照概率从父代种群中选出的 450 个子代种群按照适应度值增大的方向进化，将 450 个个体分成 2 组，每组 225个，随机生成需要进行交叉的位置 i 和需要进行交叉的片段长度，将第一组染色体 X 上遗传基因 Xi整体替换第二组相同位置的遗传基因片段，完成两两交叉。自然界中发生基因交叉的概率较大，本文设置变异概率为 90%。（七）变异操作。将完成交叉操作的子代种群继续按照适应度值增大的方向进化，随机生成需要进行变异的位置 i 和需要进行变异的片段长度，所谓变异就是指遗传基因 Xi由 0 变 1，由 1 变 0。自然界中发生基因变异的概率较小，本文设置变异概率为 8%。（八）重组操作。将完成选择、交叉、变异操作的 450 个新个体，与父代种群中适应度值前 50 的原个体合并，完成父代种群 P（t）向子代种群 P（t+1）的进化过程，等待下一次的循环进化，直至完成初始设置的 500 次迭代，生成全局最优染色体个体，并将其重新解码成 0-1 背包方案。遗传算法求解 0-1 背包问题的流程如图 1 所示。（图 1）五、实证分析为了更好地接近现实中的投资组合问题，本文选取来自中国沪市A 股于 2022 年 3 月的综合排名前 50 的个股数据作为样本，约束性条件定义为不能超过初始投资成本 1，000 万元，实验目的是要解决在仅有初始投资成本 1，000 万元的前提下，如何在资本市场上综合排名前50 的个股中优中选优，使得投资组合收益最大化。算法在 MATLAB2014B 上编译执行。实证中，个股每股收益代表了 0-1 背包问题中单个物品的价值，每股价格代表了单个物品的重量。选取每股收益衡量个股的综合业绩表现是因为该指标在公告中都有披露，数据获取简单，易于操作。每股收益通常用于评价不同公司之间或同一公司不同时期的相对盈利能力或上市公司的业绩，用以衡量普通股股东每持有一股所能享有的当期净利润，是经济决策的重要财务指标。每股收益越净利润衣发行在外普通股的加权平均数。如果没有计算机辅助执行智能优化算法，完成 50 支股票的遴选任务可以有 250 种组合方法，仅依靠人工几乎不可能实现，而实证中计算机仅用了 8.25 秒就完成了 500 次迭代，执行结果如图 2、图 3 所示。在可接受的计算时间内，从 50 支股票中选取最优投资组合，使得在具有初始投资成本约束的条件下，投资组合最大收益为 28.38 万元，这个实验结果是令人满意的，证明了遗传算法对于在投资组合优化中的应用确实高效可行。（图 2、图 3）综上，遗传算法作为一项强有力的智能优化算法，具有通用性广、理论依据可靠、推导过程严谨等优点。只要把数据样本导入到算法中，就会自动向着改良解与最优解遗传与进化，在将传统金融知识和理念最大限度发挥出来的同时，增强投资者处理数据与科学决策的整个过程，规避人类所无法避免的非理性判断。主要参考文献：1 Harry Markowitz.Portfolio Selection J.Journal of Fi-nance，1952.07（01）.2 张波，陈睿君，路璐.粒子群算法在投资组合中的应用 J.系统工程，2007.25（08）.3 曹旺.MATLAB 智能优化算法从写代码到算法思想 M.北京：北京大学出版社，2021.图 2遗传算法求解投资组合优化过程图遗传算法求解投资组合优化过程图28.528.027.527.026.526.025.5050100150200 250300350400450500迭代次数56-