一维束缚态薛定谔方程解的选取.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 1-5 3 3 7.2 0 2 3.3.0 5 9*收稿日期:2 0 2 2-1 1-1 7基金项目:山东省自然科学基金(Z R 2 0 2 0 MA 0 8 5,Z R 2 0 2 0 MF 1 1 3).作者简介:王继锁,男,1 9 6 0-,博士,教授;研究方向:量子理论及其应用、量子光学与量子信息;E-m a i l:j s w a n g q f n u.e d u.c n.一维束缚态薛定谔方程解的选取*王继锁(曲阜师范大学物理工程学院,2 7 3 1 6 5,山东省曲阜市)摘要:在量子力学教学中,常涉及到一维二阶线性微分方程的求解问题,在具体问题中其解的形式到底如何选取,该文根据微分方程理论,给出了简明扼要的分析与回答.关键词:薛定谔方程;一维束缚态;二阶线性微分方程;解的选取中图分类号:O 4 1 3 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1-5 3 3 7(2 0 2 3)0 3-0 0 5 9-0 20 引 言在量子力学教学中,经常会涉及到讨论和求解一维束缚态条件下能级所满足的方程式和存在(或至少存在一个)束缚态的条件类问题1,2,例如,有限深对称方势阱、有限深不对称方势阱、半壁无限深方势阱、势阱、双势阱、半壁无限深势阱等.对于这类问题,由于通常我们在坐标表象中要求解的一维定态薛定谔方程是一个关于坐标x的二阶线性微分方程,对于其解的形式的选取,看起来似乎是无章可寻,也时常会被初学量子力学的同学所问及,本文就来分析并回答这一具体问题.在一维情况下,对于质量为的粒子在给定的势函数V(x)下,其定态薛定谔方程是-22d2(x)dx2+V(x)(x)=E(x),(1)即d2(x)dx2+22E-V(x)(x)=0.(1)由此,根据具体问题所应满足的边界条件,怎样才能得到束缚态能级E所满足的方程式呢?对于此类问题,一般地,可从下列3个方面来分析与讨论.1 判定束缚态能级的正负在求解具体问题时,首先要分析所求的束缚态能级E是大于零还是小于零?可以证明,对于一维束缚定态问题,能级总是不小于势函数的最小值3,也不能大于势函数的最大值.而我们知道,在量子力学中的束缚态是指E0时,E0;当V0时,E0,这时可将E表示成为E=-|E|.2 分区列方程选取符合物理要求的解根据所给定的势函数V(x),分不同区域列出其定态薛定谔方程并求解之.这时,往往会遇到形如d2(x)dx2-k21(x)=0(2)和d2(x)dx2+k22(x)=0(3)的一维二阶线性微分方程,按照微分方程理论,其通解应有两个待定系数.在具体问题中,方程(2)式的通解形式应选取为ek1x,e-k1x,(4)而对于方程(3)式的通解,在不同区域可选取如下3种形式之一,即c o sk2x,s i nk2x;(5)As i n(k2x+),(或Ac o s(k2x+);(6)eik2x,e-ik2x.(7)显然,(7)式的形式不满足束缚态条件,这只有在涉及到一维散射(势垒贯穿)时才应选取的;除其解(7)式以外,一维二阶线性微分方程(2)式和(3)式的以上3种 第4 9卷 第3期2 0 2 3年7月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l.4 9 N o.3J u l y2 0 2 3 解,即(4)(6)式,在具体问题中我们到底选取哪一种形式呢?(1)当V(-x)=V(x)时,由于其束缚态本征函数必有确定的宇称,则应选取其解为Ac o sk2x和Bs i nk2x,并分别讨论其偶宇称态解Ac o sk2x(注:基态一般为偶宇称态)和奇宇称态解Bs i nk2x.(2)若V(-x)V(x),则在x=0的附近区域,可选取其解为As i n(k2x+)(或Ac o s(k2x+)或者As i nk2x+Bc o sk2x;而在远离x=0的不同区域,考虑到束缚定态波函数应满足的条件(x)=0,应分别选取其解为:在沿x轴正方向的区域选取Ce-k1x,而在沿x轴负方向的区域选取Dek1x.3 由连续性条件得能级满足的方程式束缚态能级所满足的条件是由波函数(x)在边界上的连续性条件得到的,往往是:(1)波函数连续;(2)波函数对坐标x的一阶导数连续(或存在函数型势场时ddx的跃变条件).由此,可列出2个方程,进而再将这2个方程相除(这样可避免因归一化因子而带来的不必要的“麻烦”),最后即可得到决定束缚态能级E的方程式.参考文献:1曾谨言.量子力学(卷)M.5版.北京:科学出版社,2 0 1 3:6 8-9 3.2阎元红.量子力学导学:精要拓展演练M.北京:清华大学出版社,2 0 1 4:5 6-6 7.3李延龄.量子力学考研指导M.北京:高等教育出版社,2 0 1 6:1 2.T h e s e l e c t i o no f s o l u t i o nf o rS c h r d i n g e r e q u a t i o n so fo n e-d i m e n s i o n a l b o u n ds t a t e sWANGJ i s u o(S c h o o l o fP h y s i c sa n dP h y s i c a lE n g i n e e r i n g,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,2 7 3 1 6 5,Q u f u,S h a n d o n g,P R C)A b s t r a c t:I nt h e t e a c h i n go f q u a n t u m m e c h a n i c s,t h ep r o b l e m so f s o l v i n go n e-d i m e n s i o n a l s e c o n d-o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r eo f t e ni n v o l v e d.T h i sp a p e rp r e s e n t sac o n c i s ea n a l y s i sc o n c e r n i n gh o wt oc h o o s e t h e f o r m so f t h e i rs o l u t i o n s i ns p e c i f i cp r o b l e m sa c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o nt h e o r y.K e yw o r d s:S c h r d i n g e re q u a t i o n;o n e-d i m e n s i o n a lb o u n ds t a t e;s e c o n d-o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a-t i o n;s e l e c t i o no f s o l u t i o n06 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年