第二章受轴向拉伸.doc

第二章 构件的基本变形
2.1轴向拉伸与压缩

一、教学目标和教学内容
1、教学目标
⑴ 掌握轴向拉伸与压缩基本概念；
⑵ 熟练掌握用截面法求轴向内力及内力图的绘制；
⑶ 熟练掌握横截面上的应力计算方法，掌握斜截面上的应力计算方法；
⑷ 具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形；
⑸ 了解低碳钢和铸铁，作为两种典型的材料，在拉伸和压缩试验时的性质。了解塑性材料和脆性材料的区别。
(6)建立许用应力、安全系数和强度条件的概念，会进行轴向拉压情况下构件的强度计算。
(7)了解静不定问题的定义，判断方法，掌握求解静不定问题的三类方程（条件）：平衡方程，变形协调条件和胡克定律，会求解简单的拉压静不定问题。
二、重点难点
重点：1 熟练掌握用截面法求轴向内力及内力图的绘制；
2 熟练掌握横截面上的应力计算方法，掌握斜截面上的应力计算方法；
3建立许用应力、安全系数和强度条件的概念，会进行轴向拉压情况下构件的强度计算。
难点：拉压静不定问题中的变形协调条件。通过讲解原理，多举例题，把变形协调条件的形式进行归类来解决。讲解静定与静不定问题的判断方法。
三、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时：4学时
五、讲课提纲
Ⅰ、 受轴向拉伸（压缩）时杆件的强度计算
一、 轴向拉（压）杆横截面上的内力
1、内力的概念
（1）内力的含义
（2）材料力学研究的内力——附加内力
2、求内力的方法——截面法
（1） 截面法的基本思想
假想地用截面把构件切开，分成两部分，将内力转化为外力而显示出来，并用静力平衡条件将它算出。
举例：求图示杆件截面m-m上的内力

图2-1 截面法求内力
根据左段的平衡条件可得：
ΣFX=0 FN-FP=0 FN=FP
若取右段作为研究对象，结果一样。
（2） 截面法的步骤：
①截开：在需要求内力的截面处，假想地将构件截分为两部分。
②代替：将两部分中任一部分留下，并用内力代替弃之部分对留下部分的作用。
③平衡：用平衡条件求出该截面上的内力。
（3） 运用截面法时应注意的问题：力的可移性原理在这里不适用。

图2-2 不允许使用力的可移性原理
3、轴向内力及其符号规定
（1）轴向拉（压）杆横截面上的内力——轴向内力，轴向内力FN的作用线与杆件轴线重合，即FN是垂直于横截面并通过形心的内力，因而称为轴向内力，简称轴力。
（2）轴力的单位：N（牛顿）、KN（千牛顿）
（3）轴力的符号规定：
轴向拉力（轴力方向背离截面）为正；
轴向压力（轴力方向指向截面）为负。
4、轴力图
（1） 何谓轴力图？
杆内的轴力与杆截面位置关系的图线，即谓之轴力图。
例题2-1 图2-3 ,a所示一等直杆及其受力图，试作其轴力图。
(a)

(b)

图2-3
（2） 轴力图的绘制方法
①轴线上的点表示横截面的位置；
②按选定的比例尺，用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值；
③正值画在基线的上侧,负值画在基线的下侧；
④轴力图应画在受力图的对应位置，FN与截面位置一一对应。
（3） 轴力图的作用
使各横截面上的轴力一目了然，即为了清楚地表明各横截面上的轴力随横截面位置改变而变化的情况。
（4）注意要点：
①一定要示出脱离体（受力图）；
②根据脱离体写出平衡方程，求出各段的轴力大小；
③根据求出的各段轴力大小，按比例、正负画出轴力图。

二、 轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
1、应力的概念
（1）何谓应力？
内力在横截面上的分布集度，称为应力。
（密集程度）
（2）为什么要讨论应力？
判断构件破坏的依据不是内力的大小，而是应力的大小。即要判断构件在外力作用下是否会破坏，不仅要知道内力的情况，还要知道横截面的情况，并要研究内力在横截面上的分布集度（即应力）。
（3）应力的单位
应力为帕斯卡（Pascal），中文代号是帕；
国际代号为Pa，1Pa=1N/M2
常用单位：MPa (兆帕)，1 MPa=106Pa=N/MM2
GPa（吉帕），1 GPa=109Pa
。
2、横截面上的应力
为讨论横截面上的应力，先用示教板做一试验：

图2-4 示教板演示
观察示教板上橡胶直杆受力前后的变形：
受力前：ab、cd为┴轴线的直线
受力后：a’b’、c’d’仍为┴轴线的直线

有表及里作出
即：假设原为平面的横截面在变形后仍为垂直于轴线的平面。
（1）观察变形 平面假设

即：纵向伸长相同，由连续均匀假设可知，内力均匀分布在横截面上

（2）变形规律

（3）结论 横截面上各点的应力相同。
即 （5-1）

式中：σ——横截面上的法向应力，称为正应力；
FN——轴力，用截面法得到；
A——杆件横截面面积。
（4） 横截面上正应力计算公式（2-1式）应用范围的讨论：
①对受压杆件，仅适用于短粗杆；
②上述结论，除端点附近外，对直杆其他截面都适用。
申维南（Saint Venant）原理指出：
“力作用杆端方式的不同，只会使与杆在不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。”
③对于变截面杆，除截面突变处附近的内力分布较复杂外，其他各横截面仍可假定正应力分布。
（5） 正应力（法向应力）符号规定：
拉应力为正；
压应力为负。
例题 2-2 已知例题2-1所示的等直杆的横截面面积A=400MM2，求该杆的最大工作应力？
解：由例题2-1轴力图可知，该杆上，所以此杆的最大工作应力为

例题2-3 一横截面为正方形的变截面杆，其截面尺寸及受力如图2-5所示，试求杆内的最大工作应力？

（a） （b）
图2-5 尺寸单位：mm
（1）作杆的轴力图，见图2-5，b
（2）因为是变截面，所以要逐段计算

三、轴向拉（压）杆的强度计算
1、 极限应力，安全系数、容许应力
（1）极限应力
①何谓极限应力？
极限应力是指材料的强度遭到破坏时的应力。所谓破坏是指材料出现了工程不能容许的特殊的变形现象。
②极限应力的测定
极限应力是通过材料的力学性能试验来测定的。
③塑性材料的极限应力 σ°=σ5
④脆性材料的极限应力 σ°=σb
（2）安全系数
①何谓安全系数？
对各种材料的极限应力再打一个折扣，这个折扣通常用一个大于1的系数来表达，这个系数称为安全系数。用n表示安全系数。
②确定安全系数时应考虑的因素：
i）荷载估计的准确性
ii）简化过程和计算方法的精确性；
iii）材料的均匀性（砼浇筑）；
IV）构件的重要性；
v）静载与动载的效应、磨损、腐蚀等因素。
③安全系数的大致范围：
：1.4～1.8 ：2～3
（3）容许应力
①何谓容许应力？
将用试验测定的极限应力σ0作适当降低，规定出杆件能安全工作的最大应力作为设计的依据。这种应力称为材料的容许应力。
②容许应力的确定：
= (n1) (5-4)
对于塑性材料：=
对于脆性材料：=
2、 强度条件
（1）何谓强度条件？
受载构件安全与危险两种状态的转化条件称为强度条件。
（2）轴向拉（压）时的强度条件
（5-5）
（3）强度条件的意义
安全与经济的统一
3、 强度计算的三类问题
（1）强度校核：
（2）截面设计：
（3）确定容许载荷：

例题2-5 钢木构架如图2-16所示。BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若 FP=10kN,木杆AB的横截面面积 AAB=10000mm,容许应力=7MPa;钢杆BC的横截面积为ABC=600mm,容许应力=160MPa
①校核各杆的强度；
②求容许荷载
③根据容许荷载，计算钢 BC所需的直径。

（a） (b)
图2-16
解：
①校核两杆强度 为校核两杆强度，必须先知道两杆的应力，然后根据强度条件进行验算。而要计算杆内应力，须求出两杆的内力。由节点B的受力图（图2-16，b），列出静力平衡条件：
FNBC·cos60°-FP=0
得 FNBC=2FP=20kN(拉)
FNAB- FNBC·cos30°=0
得 FNAB=
所以两杆横截面上的正应力分别为

=1.73MPa<=7MPa

=33.3MPa<=160MPa
根据上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的容许应力，强度还没有充分发挥。因此，悬吊的重量还可以大大增加。那么 B点处的荷载可加到多大呢？这个问题由下面解决。
②求容许荷载 因为
=
=
而由前面已知两杆内力与P之间分别存在着如下的关系：

根据这一计算结果，若以BC杆为准，取，则AB杆的强度就会不足。因此，为了结构的安全起见，取为宜。这样，对木杆AB来说，恰到好处，但对钢杆BC来说，强度仍是有余的，钢杆BC的截面还可以减小。那么，钢杆 BC的截面到底多少为宜呢？
这个问题可由下面来解决。
③根据容许荷载，设计钢杆BC的直径。因为，所以=。根据强度条件

钢杆BC的横截面面积应为

钢杆的直径应为

例题2-6 简易起重设备如图2-17所示，已知AB由2根不等边角钢 L63x40x4组成，，试问当提起重量为W=15kN时，斜杆AB是否满足强度条件。

图2-17
解：①查型钢表，得单根L63x40x4=4.058cm

图2-18
节点D处作用的力：FP=W（平衡）,计算简图：2W作用点

图2-19
②

∴AB杆满足强度要求。
（2）拉伸时的力学性质
低碳钢材料在拉伸、变形过程中所具有的特征和性能指标：
一条线（滑移线）
二个规律（FP∞△L规律、卸载规律）
三个现象（屈服、冷作硬化、颈缩）
四个阶段（弹性、屈服、强化、颈缩）
五个性能指标（ E、、、、）

下面按四个阶段逐一介绍：
Ⅰ弹性阶段（OB段）
① OB段---产生的弹性变形；
② 该阶段的一个规律：FP∞△L规律
③ 该阶段现有两个需要讲清的概念：
比例极限
弹性极限
④ 该阶段可测得一个性能指标——弹性模量E

也就是：OA直线段的斜率：
tg=
Ⅱ 屈服阶段（BD段）
⑴进入屈服阶段后，试件的变形为弹塑性变形；
⑵在此阶段可观察到一个现象——屈服（流动）现象；
⑶可测定一个性能指标——屈服极限： =

注意：FPS相应于FP-ΔL图或ơ-є曲线上的C‘点，C‘点称为下屈服点；而C称为上屈服点。
⑷在此阶段可观察到：在试件表面上出现了大约与试件轴线成45°的线条，称为滑移线（又称切尔诺夫线）。

III强化阶段（DG段）
①过了屈服阶段后，要使材料继续变形，必须增加拉力。
原因：在此阶段，材料内部不断发生强化，因而抗力不断增长。
②在此阶段可以发现一个卸载规律——卸载时荷载与变形之间仍遵循直线关系。

图2-24
③在此阶段可以看到一个现象——冷作硬化现象，即卸载后再加载，荷载与变形之间基本上还是遵循卸载时的直线规律。
冷作的工程作用：提高构件在弹性阶段内的承载能力。
④在此阶段可测得一个性能指标：
强度极限：=

Ⅳ 颈缩阶段（GH段）
过G点后，可观察到一个现象——颈缩现象，试件的变形延长度方向不再是均匀的了。
随着试件截面的急剧缩小，载荷随之下降，最后在颈缩处发生断裂。
拉断后对拢，可测得两个两个塑性指标：
延伸率：
面缩率：
工程上：是衡量塑、脆性材料的标准。
（3）拉伸试件的断口分析：
断口：杯锥状

破坏原因：剪应力所致的剪切断裂
低碳钢的力学性能分析：
由轴向拉杆横截面及斜截面上的应力分析可知：低碳钢的抗剪能力低于抗拉能力。

1、 铸铁的拉伸试验
铸铁也是工程上广泛应用的一种材料。
其拉伸σ-ε曲线如下：

图2-25
（1） 从σ-ε曲线可见，该曲线没有明显的直线部分，应力与应变不成正比关系。工程上通常用割线来近似地代替开始部分的曲线，从而认为材料服从虎克定律。
（2） 铸铁拉伸没有屈服现象和颈缩现象。
（3） 在较小的拉力下突然断裂。以拉断时的应力作为强度极限：
σb=
（4） 破坏断口： 粗糙的平断口
2、 其他材料在拉伸时的力学性质简介
（1） 有些材料（如16MN钢、508A）在拉伸过程中有明显的四个阶段；有些材料（如黄铜、PCrNiMo）没有屈服阶段，但其他三个阶段却很明显；有些材料（如35CrMnSi）只有弹性和强化阶段。

(a) (b)
图2-26

（2） 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，用σ0.2来表示。国标GB228-87对测定σ0.2的方法有具体的规定。σ0.2称为名义屈服极限。
（3） 从上图可见，有些材料（如黄铜）塑性很好，但强度很低；有些材料（如35 CrMnSi）强度很高，但塑性很差。
二、 材料在压缩时的力学性质
1、 低碳钢压缩与拉伸σ-ε曲线的比较

图2-27
（1）在屈服阶段之前，两曲线重合，即
σ+s=σ-s
E+=E-
（1） 在屈服之后，试件越压越高，并不断裂，因此测不出强度极限。
2、铸铁压缩与拉伸σ-ε曲线的比较

图2-28
（1） 与拉伸相同之处：没有明显的直线部分，也没有屈服阶段。
（2） 压缩时有显著的塑性变形，随着压力增加试件略呈鼓形，最后在很小的塑性变形下突然断裂。
（3） 破坏断面与轴线大致成45º-55º的倾角。
（4） 压缩强度极限σ-b比拉伸强度极限高4-5倍。
23