金融应用模型PPT课件.pptx

经济数学模型经济数学模型第三章第三章 金融金融应用模型用模型经济数学模型经济数学模型 第一第一节利率模型利率模型 资金是有金是有时间价价值的，无的，无论进行了什么行了什么样的的经济活活动，都必，都必须认真考真考虑资金金时间价价值，千方百，千方百计缩短短资金使用周期，加速金使用周期，加速资金周金周转，节省省资金占用金占用数量和数量和时间，提高，提高资金的金的经济效益。效益。经济数学模型经济数学模型一、一、单利模型利模型设年利率年利率为r,初始初始资金量金量为S0,n年后年后资金量金量为Sn若年利率和本金都是常数，若年利率和本金都是常数，n年后的本利和年后的本利和为经济数学模型经济数学模型二、复利模型（利二、复利模型（利滚利）利）1、离散型复利模型、离散型复利模型每年每年结算一次，算一次，n年后的本利和年后的本利和为冠冠每年每年结算算m次，次，n年后的本利和年后的本利和为经济数学模型经济数学模型2、连续型复利模型型复利模型连续结算（瞬算（瞬时结算），算），n年后的本利和年后的本利和为已知初始已知初始资金金S0，用，用单利或复利利或复利计算算n年后年后资金金Sn的的计算式称算式称为终值终值模型模型模型模型；反之，已知；反之，已知n年后的年后的终值Sn，求按年利率，求按年利率r折算到折算到现在在时间段的段的资金金S0的模的模型称型称为现值现值模型模型模型模型。三、三、现值模型模型在在现值模型中，将年利率模型中，将年利率r也称也称为折折现率率经济数学模型经济数学模型1、单利利现值模型模型若若n年后的年后的终值是是Sn,则初期的初期的现值为2、复利、复利现值模型模型每年折每年折现一次，若一次，若n年后的年后的终值是是Sn,则初期的初期的现值为经济数学模型经济数学模型每年折每年折现m次，若次，若n年后的年后的终值是是Sn,则初期的初期的现值为连续折折现,若若n年后的年后的终值是是Sn,则初期的初期的现值为经济数学模型经济数学模型流出系流出系统的的资金称金称现金流出，流入系金流出，流入系统的的资金称金称现金流入，金流入，现金流入与金流入与现金流出之差称金流出之差称净现金流量金流量。在在财务分析中，把研究的分析中，把研究的项目目视为一个系一个系统，投入的，投入的资金、金、花花费的成本、的成本、获得的收益，可以看成是以得的收益，可以看成是以资金形式体金形式体现的的该系系统的的资金流出或流入。在金流出或流入。在项目整个寿命期内各目整个寿命期内各时点上点上实际发生生的的资金流出或流入称金流出或流入称为现金流量。金流量。四、四、资金流的金流的现值与与终值模型模型现金流量金流量图经济数学模型经济数学模型若在相同若在相同时间段段资金量不是固定金量不是固定值，而是随，而是随时间段段变化，化，用用Ai表示第表示第i阶段段末末的的资金量金量(i=1,2,n),r表示表示阶段的利率，段的利率，则n个个阶段全部段全部资金量的金量的终值S为 资金终值公式现金流量图资金终值公式现金流量图 An-1A3A2A1Ans经济数学模型经济数学模型若若Ai表示表示净现金流金流,称称S0为净现值，记为NPV则n个个阶段全部段全部资金量的金量的现值S为若考若考虑现值，第，第i阶段段资金的金的现值为Ai(1+r)-iA1A2A3An-1AnS0资金现值公式现金流量图资金现值公式现金流量图经济数学模型经济数学模型若每个相同若每个相同时间段段资金数金数额相同都相同都为A，即，即Ai=A，称，称A为年金。根据年金。根据资金金产生生时间分分为普通年金：从第一期开始每期普通年金：从第一期开始每期期期末末收款、付款的年金。收款、付款的年金。先先付付年金：从第一期开始每期年金：从第一期开始每期期期初初收款、付款的年金。收款、付款的年金。五、年金五、年金五、年金五、年金经济数学模型经济数学模型 A A 递延年金：延年金：在若干期在若干期以后收付的年金。以后收付的年金。永永续年金：无限期的普通年金。年金：无限期的普通年金。A A 5 6 75 6 7经济数学模型经济数学模型普通年金普通年金现值为普通年金普通年金终值（复利）（复利）为经济数学模型经济数学模型例例假假设以以8%的利率借款的利率借款500万元，投万元，投资于某个寿命期于某个寿命期为12年的新技年的新技术，每年至少要收回多少，每年至少要收回多少现金才是有利的？金才是有利的？解得解得A为因此，每年至少要收回因此，每年至少要收回663500元，才能元，才能还清清贷款本利。款本利。A=50000000.1327=663500（元）（元）设每年回收每年回收A元，据普通年金元，据普通年金现值计算公式算公式经济数学模型经济数学模型先付年金先付年金终值（复利）（复利）为先付年金的先付年金的现值为 永永续年金无年金无终值（），其），其现值为经济数学模型经济数学模型3.2连续资金流的金流的终值与与现值若各若各阶段段资金量是金量是时间t的的连续函数函数f(t)，也称，也称为连续资金流金流，若若f(t)在（在（0，T)连续，则在在时间段（段（t,t+t)内内资金的近似金的近似值为f(t)t,若按若按连续复利复利计算，算，这些些资金在期末的金在期末的终值为由定由定积分思想，分思想，总收入的收入的终值为经济数学模型经济数学模型 若求若求现值，设连续折折现,记其其对应的的现值为S0,T年年资金金流量的流量的总现值S0是是特别，当当f(t)=A时，有，有经济数学模型经济数学模型 例例 某某企业想企业想购买某种设备购买某种设备，设备成本，设备成本为为50005000元元，t t年年后该设备的报废价值为后该设备的报废价值为使用该设备在使用该设备在t t年时可使年时可使企业收入企业收入85085040t40t元，若年利元，若年利率为率为5%5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？设备？此时，总利润的现值是多少？解解T年年后增加收入后增加收入的的现值为T年后年后设备残残值的的现值为经济数学模型经济数学模型T年后年后总利利润的的现值为为求最大求最大值，对T求求导得得令得T=10当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为T=10为唯一极大值点，就是最大值点。又经济数学模型经济数学模型3.3简单的投的投资决策模型决策模型 投投资决策分析决策分析对企企业获利能力、利能力、资金金结构、构、偿债能力及能力及长远发展都有重要影响展都有重要影响，投投资决策方法非常多决策方法非常多，简单的的技技术方法可以分方法可以分为非非贴现法和法和贴现法两法两类,它它们的区的区别在在于前者不考于前者不考虑货币的的时间价价值，计算算简便；后者便；后者则考考虑货币的的时间价价值，更科学、合理。非，更科学、合理。非贴现法主要有回收法主要有回收期法和年平均期法和年平均报酬率法两种。酬率法两种。贴现法主要有法主要有净现值法、法、内部收益率法和内部收益率法和获利能力指数法三种利能力指数法三种。以以贴现法法为例分析例分析。经济数学模型经济数学模型 式中式中PT动态投投资回收期；回收期；CI第第t年的年的现金流入量；金流入量；CO第第t年的年的现金流出量；金流出量；ic基准收益率。基准收益率。一、投一、投一、投一、投资资回收期回收期回收期回收期(动态动态)动态投投资回收期是指在回收期是指在给定的基准定的基准收益率收益率ic下下，用方案各年，用方案各年资金金净流量的流量的现值来回收全部投来回收全部投资的的现值所所需的需的时间。公式：。公式：经济数学模型经济数学模型年年01234项目项目A A的现金流量的现金流量-1000400400400400现值系数（现值系数（10%10%）10.90910.82640.75130.6830折现的现金流量折现的现金流量-1000363.64330.56300.52273.2累计折现现金流量累计折现现金流量-1000-636.36-305.8-5.28267.92例例项目目A的的现金流量金流量为项目项目A A的动态投资回收期的动态投资回收期=累计净现金流量折现值开始出现正值的年份-1+-1+=4-1+5.28/273.2=3.02=4-1+5.28/273.2=3.02(年年)年年01234项目项目A A的现金流量的现金流量-1000400400400400折折现现金流量金流量为(折折现率率为10%)经济数学模型经济数学模型项目目投投资回收期在一定程度上回收期在一定程度上显示了示了资本的周本的周转速度。速度。资本周本周转速度愈快，回收期愈短，速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈多愈小，盈利愈多。不足的是，投不足的是，投资回收期没有全面地考回收期没有全面地考虑投投资方案整个方案整个计算期内的算期内的现金流量，即金流量，即忽略在投忽略在投资回收期以后回收期以后发生的数据生的数据,对总收入没有做考收入没有做考虑。只考。只考虑回收之前的效果，不能反映回收之前的效果，不能反映投投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期内算期内的的经济效果。效果。投投资回收期回收期作作为方案方案选择和和项目排目排队的的评价准价准则是不可是不可靠的，它只能作靠的，它只能作为辅助助评价指价指标。经济数学模型经济数学模型二、二、二、二、净现值净现值（NPVNPV）净现值是指方案在寿命期内各年的是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照金流量按照设定的折定的折现率折率折现到期初到期初时的的现值之和，反映了方案之和，反映了方案获利能力。其表利能力。其表达式达式为：式式中：中：NPV净现值；CI第第t年的年的现金流入量；金流入量；CO第第t年的年的现金流出量；金流出量；n该方案的方案的计算期；算期；ic设定的折定的折现率。率。经济数学模型经济数学模型 对单一方案而言，若一方案而言，若NPV 0，则认为项目可行，若目可行，若NPV 0，则予以拒予以拒绝。对多方案比多方案比选时，净现值越越大，方案越大，方案越优。净现值的大小既取决于的大小既取决于资金流量，也取决于所用的金流量，也取决于所用的贴现率。率。对于同一于同一项投投资方案来方案来讲，贴现率越小，率越小，净现值越大；反之，越大；反之，净现值越小。越小。经济数学模型经济数学模型原理通俗易懂，适用于任何均匀的原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量金流量(年金的年金的现值)或不或不规则的的资金流量，充分考金流量，充分考虑了投了投资方案方案发生生资金流量的先后金流量的先后时间以及整个寿命期以及整个寿命期间内的收益，体内的收益，体现了了货币的的时间价价值。因而它是一种。因而它是一种较为广泛使用的广泛使用的长期投期投资决策方法。决策方法。主要缺点是在投主要缺点是在投资额不相等的若干方案之不相等的若干方案之间进行比行比较时，单纯看看净现值的的绝对额并不能做出正确的并不能做出正确的评价。因价。因为在在这种情况下，不同方案的种情况下，不同方案的净现值是不可比的。是不可比的。净现值的的优缺点缺点经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型例年现金流量现金流量现值系数（现值系数（10%10%）现值现值=0-10001-100015000.9091454.5524000.8264330.5633000.7513225.3941000.683068.30NPV78.80项目的目的净现值单位：万元位：万元经济数学模型经济数学模型三、三、获利能力指数利能力指数 获利能力指数是利能力指数是项目投目投产后后现金流量的金流量的现值之和与初之和与初始投始投资现值之和的比，表明之和的比，表明项目目单位投位投资的的获利能力利能力，记为PI。表达式。表达式为：获利能力指数利能力指数显然和然和净现值很相似，但它反映了很相似，但它反映了单位投位投资额的效益。与的效益。与净现值指指标相比，更便于投相比，更便于投资额不等的多个不等的多个项目之目之间的比的比较和排序。和排序。PI=投投产后后现金流量的金流量的总现值/初始投初始投资总现值经济数学模型经济数学模型 如果投如果投资方案方案获利指数大于或等于利指数大于或等于1，为可行方案；可行方案；如果如果获利指数小于利指数小于1，则方案不可行；方案不可行；如果几个方案的如果几个方案的获利指数均大于利指数均大于1，那么，那么获利指数越大，利指数越大，投投资方案越好。方案越好。PIPI决策的决策的决策的决策的标标准是准是准是准是经济数学模型经济数学模型 内部收益率（内部收益率（IRR）指使）指使项目的目的净现值等于零等于零时的折的折现率。率。（四）内部收益率（四）内部收益率（四）内部收益率（四）内部收益率IRR的决策的决策标准：准：1、将方案的内部收益率、将方案的内部收益率与行与行业基准收益率基准收益率对比比，如果，如果方案方案的的IRR大于大于等于行等于行业基准收益率，基准收益率，则方案可行，方案可行，否否则不不可行；可行；2、在可行的方案中、在可行的方案中，IRR最大的方案最大的方案为最最优方案方案；经济数学模型经济数学模型直接反映投直接反映投资项目的目的实际收益水平，可以直接与行收益水平，可以直接与行业基准收益率比基准收益率比较。计算算过程不受基准收益率高低的影程不受基准收益率高低的影响，比响，比较客客观。IRR优点：点：例例 某公司有一完整工某公司有一完整工业项目。各年的目。各年的现金金净流量如流量如图所示，所示，假假设该项目的基准折目的基准折现率率为10%.-30012345820-100828282822021211建设期建设期用用matlab计算得算得净现值 NPV=71.97（万元），（万元），获利指数利指数 PI=1.1881 内部收益率内部收益率 IRR=12.9%经济数学模型经济数学模型 马科科维茨投茨投资组合模型合模型美国美国经济学家学家马科科维茨是茨是现代投代投资组合理合理论的的创始始人。他于人。他于1952年年3月在金融月在金融杂志上志上发表了表了题为证券券组合合选择的的论文，并于文，并于1959年出版了同名年出版了同名专著，著，详细论述了述了证券收益和券收益和风险的主要原理和分的主要原理和分析方法，建立了均析方法，建立了均值方差方差证券券组合模型的基本框合模型的基本框架。架。马柯柯维茨茨认为，投，投资组合的合的风险不不仅与构成与构成组合的各种合的各种证券的个券的个别风险有关，而且受各有关，而且受各证券之券之间的相互关系的影响。的相互关系的影响。马柯柯维茨根据茨根据风险分散原理，分散原理，应用二用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效合的有效前沿前沿，使，使有效前沿有效前沿上的每一个上的每一个组合在合在给定定的的风险水平下水平下获得最大的收益，或者在收益一定的得最大的收益，或者在收益一定的情况下情况下风险最小。最小。经济数学模型经济数学模型设市市场有有n种种风险资产，其收益率，其收益率为随机随机变量，用向量，用向量表示量表示为其数学期望向量其数学期望向量为经济数学模型经济数学模型n种种资产组合合权重向量重向量为权重向量约束条件为权重向量约束条件为 写成向量的形式为写成向量的形式为其中其中1 1 表示分量全为表示分量全为1 1的列向量。的列向量。经济数学模型经济数学模型资产组合期望收益的向量表达式合期望收益的向量表达式为资产组合方差的向量表达式合方差的向量表达式为其中其中是是n种种资产资产收益率的收益率的协协方差矩方差矩阵阵经济数学模型经济数学模型注注：协方差方差矩矩阵是正定、非奇异矩是正定、非奇异矩阵。所以，。所以，对于于任何非任何非0的向量的向量a，都有，都有经济数学模型经济数学模型给定一个证券投资给定一个证券投资组组合合 ，它的预期它的预期收益率收益率 和标准差和标准差 确定了一个点对确定了一个点对 ：将其称将其称为组合合线。组合合线上的每一点，表示一上的每一点，表示一个个权数不同的数不同的证券券组合。因此合。因此组合合线告告诉我我们预期收益率与期收益率与风险怎怎样随着随着证券券组合合权重的重的变化而化而变化。化。经济数学模型经济数学模型 对于一个理智的投于一个理智的投资者来者来说，如果，如果给定定预期收益期收益率水平，他喜率水平，他喜欢风险低的投低的投资机会；如果机会；如果给定定风险水平，他喜水平，他喜欢预期收益率高的投期收益率高的投资机会。用数学模机会。用数学模型表达型表达这两个基本原两个基本原则，则有下面两个数学有下面两个数学规划模划模型型在在预期收益水平确定的情况下，求使期收益水平确定的情况下，求使组合合风险达到达到最小最小,即即经济数学模型经济数学模型在在风险水平确定的情况下，求使水平确定的情况下，求使组合收益最大，合收益最大，即即 实际上，两个模型上，两个模型组成的可行集合和有效集是等成的可行集合和有效集是等价的。价的。下面下面研究最小方差投研究最小方差投资组合模型。合模型。经济数学模型经济数学模型用拉格朗日乘数法求解。令拉格朗日函数用拉格朗日乘数法求解。令拉格朗日函数为则最优解的条件为则最优解的条件为经济数学模型经济数学模型由于矩由于矩阵 可逆，解得可逆，解得变形为变形为由约束条件可得由约束条件可得 再将再将 变形为变形为 经济数学模型经济数学模型由约束条件可知由约束条件可知令令可得方程组可得方程组，解得解得经济数学模型经济数学模型投投资组合系数合系数为投资投资组合预期收益的方差为组合预期收益的方差为 经济数学模型经济数学模型整理得整理得上式上式给出了投出了投资组合合预期收益率与方差的关系期收益率与方差的关系，若若预期收益率期收益率为，则变形为变形为两边开平方并移项，得两边开平方并移项，得经济数学模型经济数学模型表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为 ，可以证明这条抛物线开口向右可以证明这条抛物线开口向右对对 移项并整理得移项并整理得经济数学模型经济数学模型在 平面上，为双曲线的标准型，中心在 ，对称轴为 和 ，双曲线的图形如图所示。经济数学模型经济数学模型在在图中的中的g点是一个特殊的点，它是双曲点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象在第一象限中限中图形的形的顶点。由点。由图可知，所代表的可知，所代表的组合是所有合是所有可行可行组合中方差最小的，将其称合中方差最小的，将其称为“全局最小方差全局最小方差组合合”。全局最小方差投资组合全局最小方差投资组合为为显然然g点以下的点以下的组合是所有可行合是所有可行组合中方差相同而期合中方差相同而期望收益望收益较小的小的组合，任何一个理性的投合，任何一个理性的投资者都不会者都不会选择这样的的组合。合。g点以上的点以上的边缘是所有可行是所有可行组合中合中方差相同而期望收益方差相同而期望收益较大的大的组合，合，这些些组合即合即为有有效投效投资组合，也就是有效前沿。合，也就是有效前沿。经济数学模型经济数学模型两基金分离定理两基金分离定理 任意最小方差投资组合都可以任意最小方差投资组合都可以表示为全局最小方差投资组合表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资和可分散化资产组合产组合 的线性的线性（凸）（凸）组合。用数学式表示即为组合。用数学式表示即为其中其中 和和 在代数意义下线性不相关在代数意义下线性不相关。所以。所以对对给定的给定的任一投资组合任一投资组合 都可由任意两个线性都可由任意两个线性不相关的最小方差证券组合线性表示出来。不相关的最小方差证券组合线性表示出来。可以证明，可以证明，经济数学模型经济数学模型两基金分离定理表明两基金分离定理表明在有效前沿上的任意一个投在有效前沿上的任意一个投资组合都可以由有效前沿上两个合都可以由有效前沿上两个线性无关的投性无关的投资组合合线性表示出来。性表示出来。假假设wa和和wb是在是在给定收益定收益ra和和rb（ra rb）的有效）的有效资产组合，合，则任何有效的任何有效的资产组合都可由合都可由wa和和wb的的线性性组合构成。反之，由合构成。反之，由wa和和wb线性性组合构成合构成的的资产组合，都是有效合，都是有效组合。合。经济数学模型经济数学模型两基金分离定理的意两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（指两个有效定理的前提：两基金（指两个有效资产组合）合）的期望收益是不同的，即的期望收益是不同的，即两基金分离两基金分离。1.1.一个决定一个决定买入有效入有效资产组合的投合的投资者，只要投者，只要投资到任何两个有效和不同收益率的基金即可，到任何两个有效和不同收益率的基金即可，投投资者无者无须直接投直接投资于于n 种种风险资产，而只要投，而只要投资在在两种基金上就可以了。两种基金上就可以了。2.2.计算上的意算上的意义：要：要获得有效前沿，只需要得有效前沿，只需要获得得两个有效解，然后两个有效解，然后对解解进行行组合即可。合即可。经济数学模型经济数学模型资产组合理合理论的的优点点首次首次对风险和收益和收益进行精确的描述，解决行精确的描述，解决对风险的衡量的衡量问题，使投，使投资学学迈向向科学。科学。分散投分散投资的合理性的合理性为基金管理提供理基金管理提供理论依据。依据。单个个资产的的风险并不重要，重要的是并不重要，重要的是组合的合的风险。从从单个个证券的分析，券的分析，转向向组合的合的分析。分析。资产组合理合理论的缺点的缺点当当证券的数量券的数量较多多时，计算量非常大，使模型算量非常大，使模型应用用受到限制；解的不受到限制；解的不稳定性。定性。投资学 第5章52经济数学模型经济数学模型