第七章电相互作用及静电场.doc

大学物理习题解答——电场部分 47
第七章7—1 1964年盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带号的上夸克和两个带的下夸克构成。若将夸克作为经典粒子处理(夸克线度约为)，中子内两个下夸克之间相距。求它们之间的斥力。解 由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律得　　与方向相同表明它们之间为斥力。
7—4 一半径为的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。
解 在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元，其电荷，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度，因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，O点的合电场强度，统一
积分变量可求得。由上述分析，O点的电场强度　　。
由几何关系，统一积分变量后，有　。
方向沿轴负方向。7—5 一半径为的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解 半球壳分割为一组平行的细圆环(图7—5)，所有平行圆环在轴线上P处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，求得球心O处的电场强度。
将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在O点激发的电场强度为　　　　
由于平行细圆环在O点激发的电场强度方向相同，利用几何关系，统一积分变量，
有　　　　

题7—4

题7—5
积分得　　
7—10 设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为，。为一常量。试用高斯定理求电场强度与的函数关系。(你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗?)
解　由题意电荷球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，根据高斯定理可解得电场强度的分布。
(球体内)　　　，　　
(球体外)　　　　，　　　
7—12 如图所示，一无限长、半径为的圆柱体上电荷均匀分布。电荷为 ，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为处的电场强度。
解 无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。
取同轴柱面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，对电场强度通量的贡献为零。由高斯定理 可解得电场强度的分布。
整个高斯面的电场强度通量为，由于圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，处于高斯面内的总电荷。
取同轴柱面为高斯面，由上述分析得　　

所以
7—13 一个内外半径分别为和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为的均匀带电球面，球面带电荷为，求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离的连续函数?试分析。 解 以球心O为原点，球心至场点的距离为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿矢径方向，且大小相等．因此。在确定高斯面内的电荷后，利用高斯定理，可求出场强分布。取半径为的同心球面为高斯面， ，所以 　　高斯面内无电荷，故 ；
　高斯面内电荷，故；　高斯面内电荷为Q1，故；　高斯面内电荷为Q1+Q2，故。　　
电场强度的方向均沿矢径方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。

图7—13
在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴的带电球面两侧，电场强度的跃变量。
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，的变化成为一跃变。
7—14 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为和 (＞)，单位长度上的电荷为。求离轴线为处的电场强度：(1) ；(2) ；(3) 。

图7—14
解 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿矢径方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且，求出不同半径高斯面内的电荷。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。
作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理，求得：，故 ；：，；
：，故 ；
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有—跃变　。
7—17 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线； (2)两球面间的电势差为多少解 可采用两种方法。
(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由可求得电势分布。由高斯定理可求得电场分布 ：； ：； ：。由电势定义可求得各区域的电势分布 当≤时，有；
当≤≤时，有 ；
当≥时，有。两个球面间的电势差。
(2)利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为，在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势。其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布≤　　则　≤≤　　则　
≥　　　则　两个球面间的电势差　　7—18 两个很长的共轴圆柱面(，)，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V。求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2)两圆柱面之间的电场强度。
解 两圆柱面之间的电场，根据电势差的定义有
解得 ,
两柱面间电场强度的大小与成反比。