九年级数学图形变换与证明教案华东师大版.doc

九年级数学图形变换与证明华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 图形变换与证明 复习要求： 我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题，因此新的课程标准对平面几何中的图形变换提到了较高的学习要求，要求学生会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。 对图形变换问题的认识： 我们在这里所说的变换是指：全等变换、位似变换、等积变换。 全等变换：平衡、轴对称、旋转 位似变换：可化为相似形 等积变换：面积相等或有比值关系的问题【典型例题】 1. 图形的轴对称、平移及旋转： 在图形的移动中，利用“轴对称、平移、旋转”等变换实现移动的目的，是较基本的，也是较灵活的方法，因此，也就是我们应该掌握并会应用的方法。 例1. 请你不借助作图工具画一个三角形的高线。 简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。 简解：如图，已知。 作的BC边上的高。 方法：把点C沿CB边对折，使折痕经过点A，且点C落在BC的点处，则折痕AD就是所要求画的高。 例2. 如图，矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若折痕AE=cm，且，求矩形ABCD的周长。 简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长，根据已知条件可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。 解：根据题意AD边对折，点D落在BC边上的点F处，有 DE=FE，AE=AE，AD=AF 因为在矩形ABCD中， 例3. 如图，MN是O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是半径ON上一动点，当MN=2时，求AP+BP的最小值。 简析：要求AP+BP的最小值，因为P是半径ON上的一动点，实现起来很困难。这时需要理解两条线段之和最小的含义是什么，以及怎样才能实现这个目的。而我们知道有两个距离最短的知识，其一为“连结两点的所有的线中线段最短”；其二为“直线外一点到该直线的垂线段最短”。由于涉及到两个点，所以无法用“其二”去实现，因此，需要把问题转化为“其一”的情况求解。 解：过点A作弦于D，交O于C。 连接BC交MN于P，连结AP。（如图） 则PA+PB最短。 因为于D，且MN是O的直径 所以点A与点C关于MN所在直线成轴对称 因此PA=PC及 即PA+PB=BC 若设点是ON上任意一点 所以PA+PB最短 连结OB、OC 因为点A是半圆上的三等分点，点B是的中点 由勾股定理，有 因OC=OB=1 所以 说明：例2、例3说明了轴对称知识在解决几何问题中或实际问题中的作用，它们的主要作用在于可以实现移动图形，从而构成新的图形关系，进而沟通已知与未知的关系，达到求解的目的。 例4. 如图，在方格纸中，图I移动到图II，请说明图I经过怎样的平移移动到图II的。 简析：要判断是如何平移的，就要清楚平移的图形具有怎样的性质。由平移的知识可知，平移后的图形与原图形之间的对应边相互平行。 说明：情况一：可以理解为图I向右平移三个单位，再向下平移两个单位，就达到图II的位置； 情况二：图I向下平移两个单位，再向右平移三个单位，形成图II； 情况三：图I的三个顶点分别沿对角线方向平移到图II对应点的位置。 例5. 如图，梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，于F。 求证：。 简析：要求一个梯形的面积，根据相应的知识可知，要确定上、下两底之和及梯形的高，因此例要研究的是梯形面积等于一腰及一垂线之积，所以要考虑什么样的图形只需要两条线段的乘积就可获得面积，这一类图形至少是平行四边形。 证明：过E作GH/DC交DA延长线及CB于G、H 因AD/BC 故四边形GHCD是平行四边形 且 又E是AB中点，有AE=EB 所以 又因 例6. 如图，D是的BC边中点，过D作直线交AB、CA延长线于E、F，当AF=AE时。 求证：BE=FC。 简析：根据图形条件与已知中的AE=AF在同一三角形，BD=CD不在同一三角形里，且要证明的结论BE与CF也不在同一三角形中，要证明结论就需要把相应的线段移动到同类图形中，并且能利用这些条件形成新的图形关系，以便达到求解的目的。 证明：如图，过C点作CM/AB交FD延长线于M点。 则BED=M=AEF 因AF=AE 所以F=AEF 则F=M 所以CF=CM 说明：例5、例6体现了平移知识的应用，要说明的是经过一次平移后，一般讲得到的图形与原图形都可以构成中心对称的图形关系，例6就是这个知识的应用。 例7. 如图，正方形ABCD中，M、N是AD、BC中点，把点C沿BE对折，使C点落在MN上的F点，问此时EBC的度数是多少？ 简析：要确定EBC的度数就要考虑EBC形成的原因，根据已知条件EBC的形成是因沿BE对折使点C落在MN的F点，那么这种对折的关系就相当于利用了轴对称的知识，同时又因MN是正方形的对称轴的一部分，故又可形成新的轴对称的关系，所以这是两次轴对称关系应用的问题。 解：根据题意，有 点C与点F关于BE所在直线成轴对称 即可证 所以BF=BC及FBE=CBE 连结FC 因为M、N分别是AD、BC的中点 所以MN所在直线是正方形的一条对称轴 即有BF=FC 所以是等边三角形 说明：通过此例的求解想说明一个由两次变换而形成的几何问题，相对讲有一些难度，解决这一类问题时，首先要寻求与确定是哪种变换，变换后形成什么新的图形关系等，只有这样才有可能正确地解决这个问题。 2. 图形的相似 相似形是指两个图形之间的一种关系，而我们这里提及的是图形的位似问题，即位似变换问题。 例8. 已知等边，画一个与之相似且它们的相似比为2的。 简析：已知一个等边，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为2的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。 根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用。 解：如图1，当设位似中心在的形内时，取内心O作为位似中心。 （1）在AO、BO、CO上分别取中点，连结AB、BC、AC，则，且有； （2）取的内心O，连接OA、OB、OC且延长，使，连结，则有，且。 如图2，设位似中心在的外部时 （1）在外任取一点O，过O点作射线OA、OB、OC，并截取，且。 （2）在外任取一点，过O作直线OA，OB，OC，在OA、OB、OC的另一侧取，使，。连结、，则可证，且。 3. 图形的面积问题 在我们研究相似形中说“图形相同，大小不同”，在全等形中说“图形相同，大小相等”，这里的大小主要是指面积而言，因此有必要从面积的角度审视一些图形关系。 例9. 如图，矩形ABCD中，E是BC中点，CF=2DF，确定与的比值。 简析：要确定这两个图形的面积的比值，就需要找到一个可以沟通这两个图形之间关系的面积，由于连结了BD，那么就是它们之间的桥梁，剩下的问题就需要研究四边形BEFD的面积与面积之间的关系了，这时解读好E是BC中点及CF=2DF就是关键。 解：连结DE 由面积关系可知 说明：在此例中我们注意到在三角形中若存在一边上的分点，则就存在因分点而形成的面积被分为相应的两部分，且面积的比值等于边的比值。 例10. 如图，四边形ABCD，请以此图形及其面积为条件，求作一个三角形，使这个三角形的面积等于四边形ABCD的面积。 简析：要使一个四边形的面积化为三角形的面积，一般讲解决的方法是这样的，如果四边形的面积是确定的，可以利用面积的数量关系来达到转化的目的，但是此例中四边形是一个任意的四边形，因此，用计算的办法就达不到转化的目的，这时只能借助“等积变形”的方法实现。“变形”的含义是指不改变其大小只改变形状的变形，那么就需要考虑哪个知识可以实现这种变形，根据上面的例题的求解可知利用平行线就可以达到目的。 解：如图，连结DB，过点A作AE/DB交CB延长线于E点。 连结DE，则为所求。 证明：因为AE/DB 所以SDEC=S四边形ABCD【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题： 1. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则=_。 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则_。 3. 在三角形中，已知两边之长分别为5a与3a（a0），那么第三边上的中线的长度x的取值范围是_。二. 解答题： 1. 已知：菱形ABCD中，点B关于直线EC对折，使点B与AD上的点E重合，若，求AFE的度数。 2. 已知：矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点。 求证：BE=CF。 3. 已知：正方形ABCD中，点E、F是AD、CD上的点，问当点E、F满足怎样的条件时，有BE=BF。 4. 一种圆柱型的铅笔底面直径8mm，长为12cm，现为其设计硬壳纸包装盒，厂商要求每六支装一盒，请你提供两种不同的包装盒设计方案。并计算每一种方案所使用的硬壳纸材料面积。 5. 尺规作图，求作正方形ABCD使之面积为已知正方形面积的一半。 6. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB=1，求阴影部分的面积。 7. （1）图中两个矩形的面积关系为_。 （2）若AB：BC=3：4，求AE：EF=_。 8. 当汽车在雨天行驶时，启动雨刷器后前方的路况才能看得清楚，否则将会严重影响行车安全。图中线段AB和CD分别代表汽车驾驶窗上的雨刷。它们交于CD的中点B，并在B处固定，已知，AB=40，CD=30，转动角，求雨刷CD扫过的面积。【试题答案】一. 1. 2. 3. 二. 1. 2. 证 3. （1）当AE=CF时或（2）当时或（3）或（4）当 4. （略）5. （略） 6. 7. （1）“=”（2）