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《大学物理AII》作业 No.8 量子力学基础

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、判断题：（用“T”和“F”表示）
[ F ] 1．根据德存布罗意假设，只有微观粒子才有波动性。
解：教材188页表16.1.1，宏观物体也有波动性，不过是其物质波波长太小了，所以其波动性就难以显示出来，而微观粒子的物质波波长可以与这些例子本身的大小相比拟，因此在原子大小的范围内将突出表现其波动性。
[ F ] 2．关于粒子的波动性，有人认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化。
解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。
[ T ] 3．不确定关系表明微观粒子不能静止，必须有零点能存在。
解：教材202页。因为如果微观粒子静止了，它的动量和位置就同时确定了，这违反了不确定关系。
[ F ] 4．描述微观粒子运动状态的波函数不满足叠加原理。
解：教材207页。
[ F ] 5．描述微观粒子运动状态的波函数在空间中可以不满足波函数的标准条件。
解：教材208页，波函数必须是单值、有限、连续的函数，只有满足这些标准条件的波函数才有物理意义。

二、选择题：
1．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长l与速度v有如下关系：
[ C ] (A) (B)
(C) (D)
解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式有
得粒子物质波的波长，即 故选C

2．不确定关系式表示在x方向上
[ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定
(C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定

解：不确定关系式微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。
3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将
[ D ] (A) 增大倍。 (B) 增大2D倍。
(C) 增大D倍。 (D) 不变。

4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：

那么粒子在处出现的概率密度为
[ A ]
解：概率密度
将代入上式，得

5. 波长 l = 5000 Å的光沿x轴正方向传播，若光的波长的不确定量Dl=10Å，则利用不确定关系可得光子的x坐标的不确定量至少为：
[ C ] (A) 25cm （B）50cm (C) 250cm (D) 500cm
解：由公式=知, △
利用不确定关系，可得光子的x坐标满足
Å=250cm

三、填空题：
1. 低速运动的质子P和粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的
动量之比＝ 1:1 ；动能之比＝ 4:1 。
解：由，二者相同，所以。
由经典关系，动能，所以

2．热中子平均动能为。则当温度为时，一个热中子的动能为 J，相应的德布罗意波长为 。
(波尔兹曼常数，普朗克常量，中子质量)
解：一个热中子的动能为
相应的德布罗意波长

3．在如果电子被限制在边界x与之间， Å则电子动量的x分量的不确定量近似地为 。
(不确定关系式，普朗克常量)
解：由不确定关系式得电子动量的x分量的不确定量近似地为

4．若一个电子处于原子某能态的时间 ，这个原子能态的能量的最小不确定值 。
解：根据不确定关系得到:
如果用不确定关系，那么

5．微观粒子的下述性质分别由哪个式子给出？
1） 微观粒子永远不可能静止或者 。
2） 原子光谱存在自然宽度或者 。
四、计算题：
1、在宽为的一维无限深势阱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图(a)所示，对应的总能量为4eV,若它处于另一个波函数如图(b)的态上，它的总能量是多少？粒子的零点能又是多少？
解：一维无限深势阱的能级表达式为：
由（a）图知：n=2，即
由（b）图知：n=3，即
2．同时测量动能为1keV的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm内，则动量的不确定值的百分比至少为何值 ?
(电子质量，，普朗克常量)

解：电子的动能，又，得电子的动量大小

根据不确定关系，得动量不确定量

所以有
如果用，得到动量不确定量为：

3．粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为：

试求粒子出现概率最大的各个位置及在区间的概率。
解：第一个问：a)较复杂的方法 ，
要求求粒子出现概率最大的各个位置，就有：
，根据，得到
（1）

处，概率密度有极值。
要取极大值，得有

（2）
当时，有

当时，有

当时，有
由上面的分析，得出，在处，粒子出现的概率最大。
b)简单方法： ，上式要取极大值，只有

第二个问题：