资源描述
课题：1.4.1角平分线
教学目标：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学重点与难点：
重点: 角平分线的性质定理、判定定理.
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。
教学过程：
一、问题导学，自主探究
A
O
B
P
O
C
A
B
P
【思考与探索】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?
处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P到A和从P到B．
然后教师提问：两条路线长度相等吗？
学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明．）
从折纸过程中，我们可以得出PD=PE，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 ．
【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】
师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质．【教师板书课题：1.4角平分线（1）】
设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理．通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、善于发现的学习习惯．
二、诱思探究，展示交流
活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．
1．讨论
问题1：你能否将“蜘蛛实例”的结论转化为一个命题？
问题2：你能说出这一命题的条件与结论吗？
处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现．
“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.
师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.
2．证明
问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？
处理方式：学生试着根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明．其他学生在练习本上完成．同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠1=∠2，
又∵OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理．）
3.小结
师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)
定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ．
设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入．通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用．
【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．
活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．”．
1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.
同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：
（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？
（2）它是真命题吗？
处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师释疑：这位同学思考问题很深刻．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】
如上图所示，只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
2.证明
我们想想如何证明它的正确性，大家思考交流.
（学生合作板书已知、求证.）
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
处理方式：先师生共析：要说明点P在∠AOB的角平分线上，只要说明∠1=∠2，要说明∠1=∠2，只要说明哪两个三角形全等？全等的条件是什么？ 分析后生独立完成证明，然后组内交流，及时规范证明过程．
设计说明：因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以把这个证明的任务留给学生完成．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
∵OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP≌ Rt△OEP（HL）．
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．
∴点P在∠AOB的角平分线上．
3.小结
教师：我们已证明此逆命题是真命题，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．就把它叫做角平分线的判定定理吧．(多媒体演示并板书)
定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
符号语言：
∵PA=PB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知），
∴点P在∠AOB的平分线上
(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) ．
【教师提炼】这个结论是证明点在角平分线上(或角平分线经过某一点)的依据之一．
设计意图：通过对定理及逆定理的证明，让学生感受数学的严谨和规范，同时更加深刻的理解角平分线的性质定理及逆定理.
学以致用：A
B
C
D
F
E
例题：在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
A
C
B
D
处理方式：本问题综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题.由于前面已规范了角平分线定理的书写，所以此例题可以由学生独立完成证明过程.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范，进一步发展学生的推论证明能力.
三、思维训练，巩固提高
（学生独立练习，教师巡视，个别辅导.）
1．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．
2．如图，一目标在A区，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处的距离为500米，在图上标出它的位置，并说明理由（比例尺1：20000）.
C
D
B
1
2
3
4
E
F
A
提示：把公路和铁路看成两条相交直线，作出其夹角的平分线并标出目标位置）
3. 如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角
平分线和外角平分线，它们有什么关系？
处理方式：两学生代表板演，其余学生独立完成后，集体批改，学生自我矫正．
【方法总结】有角的平分线（或证明是角的平分线）时，常需要添加辅助线，即由角平分线上的点向两边作垂线段，再利用角平分线的判定或性质解决，使问题得到解决．
设计意图：1题通过这组题目的训练，使学生对定理深化理解并熟练运用.对于完成好的同学,教师给予鼓励;对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.2题在学生探究解决实际问题的过程中，不仅可以培养将实际问题数学化的解题思想，还使学生感受到数学在生活中的广泛应用性．
四、小结感悟，知识沉淀
师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？学生畅谈自已的收获与感悟．
我掌握的结论是： ；
我学会的我解题方法是： ；
我还懂得了： ．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、分层评价，当堂达标
A组（必做题）：
1．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1㎝，则AC= ．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC：S△ABC=1：3．
A、1 B、2 C、3 D、4
B组（必做题）：
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
设计意图：通过此环节让学生经历独立思考、灵活应用知识解决问题的过程，使学生进一步理解本节学习知识，从中获取解决问题的技能，提高解决问题的能力，同时检测教与学是否都达到预期效果.可采取独立限时答题、成果展示等形式.
六、布置作业，课后促学
必做题：
2
1
O
E
D
A
B
C
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2.
求证：OB = OC.
必做题：
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，即巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况，为后续教学做准备．
板书设计:
1．4 角平分线(1)
一、角平分线性质定理
符号语言：
二、角平分线判定定理
符号语言：
三、用直尺和圆规作角的平分线
投
影
区
学生板演处
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