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第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念和性质
1．二次根式的概念和应用．
2．二次根式的非负性．
重点
二次根式的概念．
难点
二次根式的非负性．
一、情景导入
师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔．
电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？
由学生计算、讨论后得出结果，并提问．
生：半径之比为，暂时我们还不会对它进行化简．
师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动1：知识迁移，归纳概念
(多媒体演示)用含根号的式子填空．
(1)17的算术平方根是________；
(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm；
(3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m；
(4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________；
(5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．
【答案】(1) (2) (3) (4)
(5)
活动2：二次根式的非负性
(多媒体展示)
(1)式子表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子才有意义？
(2)当a＞0时，________0；当a＝0时，________0；二次根式是一个________．
【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数 (2)＞ ＝ 非负数
老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．
当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；
当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.
也就是说，当a≥0时，≥0.
三、例题讲解
【例】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由x－2≥0，得x≥2.
所以当x≥2时，在实数范围内有意义．
四、巩固练习
1．已知＋＝0，求－a2b的值．
【答案】≥0，≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－.
∴－a2b＝－22×(－)＝2.
2．若x，y使＋－y＝3有意义，求2x＋y的值．
【答案】－1
五、课堂小结
1．本节课主要学习了二次根式的概念．形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？(a≥0)又是什么数？
1．本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位．
2．注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解．
第2课时 二次根式的化简
1．理解()2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简．
2．通过具体数据的解答，探究＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题．
重点
理解并掌握()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)以及它们的运用．
难点
探究结论．
一、复习导入
教师复习口述上节课的重要内容，并板书：
1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.(a≥0)是一个非负数．
那么，当a≥0时，()2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题．
二、新课教授
活动1：
(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空：
()2＝________；()2＝________；
()2＝________；()2＝________；
()2＝________；()2＝________．
由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评．
老师点评：
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此()2＝4.
同理：()2＝2；()2＝；()2＝；()2＝0.01；()2＝0.
所以归纳出：()2＝a(a≥0)．
【例1】教材第3页例2
活动2：
(多媒体展示)填空：
＝________；＝________；
＝________；＝________；
＝________；＝________．
教师点评：
根据算术平方根的意义，我们可以得到：
＝2；＝0.1；＝；
＝；＝2；＝0.
所以归纳出：＝a(a≥0)．
【例2】教材第4页例3
教师点评：
当a≥0时，＝a；
当a≤0时，＝－a.
三、课堂小结
本节课应理解并掌握()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)及其运用，同时应理解＝－a(a≤0)．
1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功．
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
理解并掌握·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，会利用它们进行计算和化简．
重点
·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及它们的运用．
难点
利用逆向思维，导出＝·(a≥0，b≥0)．
一、创设情境，导入新课
活动1：发现探究
(多媒体展示)填空：
(1)×＝________________________________________________________________________，
＝________________________________________________________________________；
(2)×＝________________________________________________________________________，
＝________________________________________________________________________；
(3)×＝________________________________________________________________________，
＝________________________________________________________________________；
(4)×＝________________________________________________________________________，
＝________________________________________________________________________.
生：(1)×＝6，＝6；(2)×＝20，＝20；(3)×＝2，＝2；(4)×＝0，＝0.
试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系．
生：上面各组中两个算式的结果相等．
二、新课教授
活动2：总结规律
结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以点评，归纳出二次根式的乘法法则．
教师点评：
1．被开方数都是非负数．
2．两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根．
一般地，二次根式的乘法法则为：
·＝(a≥0，b≥0)
由等式的对称性，反过来：
＝·(a≥0，b≥0)
活动3：讲练结合
教材第6～7页例题
三、巩固练习
完成课本第7页的练习．
【答案】
课本练习第1题：(1)；(2)6；(3)2；(4)2.
第2题：(1)77；(2)15；(3)2；(4)4bc.
第3题：4.
四、课堂小结
本节课应掌握：·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及其应用．
1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功． 第2课时 二次根式的除法
理解＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)，会利用它们进行计算和化简．
重点
理解并掌握＝(a≥0，b＞0)，＝(a≥0，b＞0)，利用它们进行计算和化简．
难点
归纳二次根式的除法法则．
一、复习导入
活动1：
1．由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式．
2．填空(多媒体展示)．
(1)＝________，＝________；
(2)＝________，＝________；
(3)＝________，＝________；
(4)＝________，＝________．
二、新课教授
活动2：
先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律．
教师点评：
一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根．
一般地，二次根式的除法法则是：
＝(a≥0，b＞0)
由等式的对称性，反过来：
＝(a≥0，b＞0)
【例】教材第8～9页例题
三、巩固练习
课本第10页练习第1题．
【答案】(1)3 (2)2 (3) (4)2a
四、课堂小结
本节课应掌握＝(a≥0，b＞0)和＝
(a≥0，b＞0)及其应用．
1．创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．
2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．
第3课时 最简二次根式
最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算．
重点
最简二次根式的运用．
难点
会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
一、复习导入
(学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书)
计算：(1)；(2)；(3)；(4).
教师点评：
(1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝.
二、新课教授
教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点：
1．被开方数不含分母．
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书)
教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．
【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？
(1)3xy；(2)25a；(3)；(4).
解：(1)被开方数中有因数，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因式a2，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式．
【例2】化简：
(1)；(2)(x≥0)；(3)(ab≥0)．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝2xy；
(3)＝＝ab.
【例3】教材第9页例7
三、课堂小结
1．本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用．
2．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
1．注重知识的前后联系，温故而知新．让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣．
2．前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式解决实际问题．
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算．
重点
理解并掌握二次根式加减计算的方法．
难点
二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式．
一、复习导入
(学生活动)
1．计算：
(1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a.
2．教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连同指数不变，系数相加减．
二、新课教授
(学生活动)
1．类比计算，说明理由．
(1)＋2；(2)3－2＋4；
(3)3＋；(4)2－3＋.
2．教师点评：
(1)＋2＝(1＋2)＝3；
(2)3－2＋4＝(3－2＋4)＝5＝10；
(3)虽然表面上与的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但可化为2，3＋＝3＋2＝(3＋2)＝5；
(4)同样可化为2，
2－3＋＝2－3＋2＝(2－3＋2)＝.
所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同．
因此可得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【例1】教材第13页例1
【例2】教材第13页例2
三、巩固练习
教材第13页练习第1，2题．
【答案】第1题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确．
第2题：(1)－4；(2)3；(3)10－3；(4)3＋.
四、课堂小结
本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，再把相同被开方数的最简二次根式进行合并．
1．创设情境，给出实例．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则．
2．两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神．
第2课时 二次根式的加减乘除混合运算
含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
重点
二次根式的加减乘除混合运算．
难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
一、复习导入
(学生活动)：请同学们完成下列各题．
计算：
(1)(3x2＋2x＋2)·4x；
(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)；
(3)(3a＋2b)(3a－2b)；
(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2.
二、新课教授
由于整式运算中的x，y，a，b是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行计算．
【例1】计算：
(1)(＋)×；
(2)(4－3)÷2.
分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律．
解：(1)(＋)×＝×＋×
＝＋＝4＋3；
(2)(4－3)÷2
＝4÷2－3÷2＝2－.
【例2】计算：
(1)(＋3)(－5)；
(2)(＋)(－)；
(3)(－)2.
分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把当作a，当作b，就可以类比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)题可类比(a－b)2＝a2－2ab＋b2来计算．
解：(1)(＋3)(－5)
＝()2＋3－5－15
＝2＋3－5－15
＝－13－2；
(2)(＋)(－)
＝()2－()2＝5－3＝2；
(3)(－)2
＝()2－2××＋()2
＝5－2.
三、巩固练习
教材第14页练习第1，2题．
【答案】第1题：(1)＋；(2)4＋2；(3)11＋5；(4)4.第2题：(1)9；(2)a－b；(3)7＋4；(4)22－4.
四、课堂小结
本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算．
1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣．
2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．
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