秋八年级数学上册 第2章 三角形 2.3 等腰三角形第2课时 等腰（边）三角形的判定教案1（新版）湘教版-（新版）湘教版初中八年级上册数学教案.doc

第2课时　等腰(边)三角形的判定

1．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；(重点)
2．进一步理解、体会推理论证的方法；
3．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用．(重点，难点)

一、情境导入
1．等腰三角形有哪些性质？
2．等边三角形有哪些性质？
3．我们知道，等腰三角形的两底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)
如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD.

解析：连接AC，把这个四边形分成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得∠CAD＝∠ACD，从而有AD＝CD.

证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.
又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠BAC＝∠BCD－∠BCA.
即∠CAD＝∠ACD.∴AD＝CD(等角对等边)．
方法总结：要注意等腰三角形的判定定理与性质定理的区别．“等边对等角”是等腰三角形的性质定理，条件是已知一个三角形有两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等．“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，条件是已知一个三角形有两个角相等，结论是这个三角形是等腰三角形．

探究点二：等边三角形的判定
【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．
解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零．(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

【类型二】 三个角都是60°的三角形是等边三角形
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．

解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而这个三角形是等边三角形．

【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又AB＝BC，从而△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．
理由：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.
又∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.
又∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°.∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°.∴∠ECB＝60°.
∵AB＝BC.∴△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．

探究点三：等腰三角形判定的实际应用
如图，上午8时，一艘轮船从A处向正北方向航行，每小时航行15海里，11时轮船到达B处，从A、B处望小岛P，测得∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求从B处到小岛P的距离．

解析：先根据三角形外角的性质及∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求出△ABP是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答．
解：∵∠PBC是△PAB的外角，∴∠PBC＝∠PAC＋∠APB，
又∵∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，∴∠APB＝15°，
∴∠APB＝∠PAC，∴AB＝BP，
又∵AB＝15×3＝45(海里)，
∴BP＝45海里，即从B处到小岛P的距离为45海里．

方法总结：解决与数学有关的实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题，再结合数学知识进行解决，体现了转化思想．

三、板书设计
1．等腰三角形的判定：等角对等边
2．等边三角形的判定：
(1)三边都相等的三角形是等边三角形
(2)三个角都是60°的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、基本事实、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法．