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第一章 特殊平行四边形
【知识考点】
一、菱形的性质与判定
1．菱形的性质:
菱形的判定：
温馨提示：为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？
二、矩形的性质与判定
1．矩形的性质:
2．矩形的判定：
温馨提示：为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？
三、正方形的性质与判定
1．正方形的性质:
温馨提示：正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？
2．正方形的判定：
温馨提示：正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？
四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系
温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！
【重点难点】
几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表:
边
角
对角线
对称性
识别方法
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
中心对称和轴对称
①三个角是直角的四边形
②一个角是直角的平行四边形
③对角线相等的平行四边形
对边平行四边相等
对角相等
互相垂直平分且平分对角
中心对称轴对称
①四条边相等的四边形
②邻边相等的平行四边形
③对角线垂直的平行四边形
对边平行四边相等
四个角都是直角
互相垂直平分且相等，平分对角
中心对称轴对称
①邻边相等的矩形是正方形
②一个角是直角的菱形
③平行四边形+直角+邻边相等
【讲一讲】
例1．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.
分析：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.
解：由DE//BC，DF//AB
得到DE//BF，DF//EB，∠2=∠3.
因此四边形EBFD是平行四边形
又BD平分∠ABC
则∠1=∠2
可得∠1=∠3=∠2
因此BE=ED
所以四边形BFDE是菱形.
例2．已知如图，平行四边形ABCD的 对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由.
解：由于EF是AC的垂直平分线，得到AE=EC，∠1=∠2
由平行四边形ABCD可得AE//FC，因此∠1=∠3，
所以∠3=∠2，在直角三角形EOC和FOC中，
∠OEC=∠OFC，得到CE=CF，因此AE=CF
由AE=FC且AE//FC得到四边形AFCE是平行四边形
由于一组邻边相等的平行四边形是菱形
因此四边形AFCE是菱形
例3．如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F。
（1） 当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
（2） 在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？
分析：（1）四边形PEMF中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即∠BMC=900
由于矩形是轴对称图形，因此∠AMB=∠DMC=450，即AB=AM=MD
（2）四边形PEMF为正方形，只需PE=PF，因此P是BC中点。
解：（1）当BC=2AB时，四边形PEMF为矩形
由于M是AD中点，矩形ABCD，得到三角形ABM和DCM都是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=450
因此∠BMC=900，又PE⊥MC，PF⊥BM，所以四边形PEMF为矩形
（2）当P为BC中点，BC=2AB时，矩形是轴对称图形，BM=CM。又三角形PBM和PCM的面积相等，因此得到PE=PF，所以四边形PEMF为正方形
例4．已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。
分析：菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分一组对角
因此在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质
解：设∠BAE为x度，∠EAD为2x度
由菱形ABCD可知AD//BC且BD平分∠ABC，
则∠AEB=∠EAD=（2x）0，∠ABD=∠DBC=（x）0
在三角形ABE中，x+2x+2x=180
x=36
△ABM中，∠ABM=∠BAM=360 ，AM=BM
△EBM中，∠BME=∠BEM=720 ，BM=BE
所以AM=BE
【练习】
（一） 选择题
1．对角线相等的四边形是( )
A. 矩形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D.矩形、正方形、等腰梯形作为结论都不对
2．下面几种说法：①正方形是有一组对边平行的四边形;② 矩形是菱形;③ 矩形是正方形 ④正方形是矩形.那么( )
A. ①②③④都不正确；B. 只有②是错误的；C. 只有④是正确的；D.只有②③是错的
3．有三个角相等的四边形是
A.矩形 B. 菱形 C.正方形 D.矩形、菱形、正方形作为结论都不对
4．下面几种说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，那么正确的说法是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D.②④
5． 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是( )
A.平行四边形和矩形; B.矩形和菱形;
C.正三角形和正方形; D.平行四边形和正方形
6．矩形两条对角线交点到小边距离比到大边距离多4厘米，若矩形周长为56厘米，则矩形两邻边长为( )
A.18和10厘米 B.16和12厘米 C.8和10厘米 D.5和9厘米
（二）解答题
1．菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=2，求菱形的周长。
2．如图，ABCD是正方形，对角线AC与BD交于O，MN//AB.且分别与AO、BO交于M、N.猜测线段BM与CN之间的关系.并证明你的猜测.
3．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAD.若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.
4．如图，菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点，若AE=AF=EF=AB.求∠C的度数。
5．如图，以△ABC的三边为边在BC边的同侧作等边三角形△DBA，△EBC，△FAC.
（1）试说明四边形AFED是平行四边形
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形.说明理由.
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？
参考答案
（一）选择题 D C D C B A
(二) 解答题
1．由菱形ABCD可知AB=AD=DC=CB.在△ABD中，∠A=60°，则△ABD是等边三角形.得到AB=BD=2，所以菱形的周长为8.
2．猜测①BM=CN，②BM⊥CN。将△MOB绕O点逆时针旋转90°得到△ONC
3．矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，且AC=BD.则OA=OB
又AE平分∠BAD，则∠BAE=45°，∠BEA=45°
所以AB=BE
又∠EAO=15°，
则∠BAO=60°
所以△ABO是等边三角形
得到∠ABO=60°，OB=AB
因此∠OBE=30°，OB=BE
所以∠BOE=75°.
4．1000
5．提示（1）△ABC绕C点顺时针方向旋转60度，得到△FEC；△ABC绕B点逆时针方向旋转60度，得到△DBE；
（2）当△ABC满足∠BAC=1500时，四边形AFED是矩形。
（3）当△ABC满足∠BAC=1500且AB=AC时，四边形AFED是正方形。
（4）当△ABC满足∠BAC=600时，四边形AFED不存在。
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