资源描述
相似三角形应用举例
典案一 教学设计
课题
27.2.3 相似三角形应用举例
授课人
教
学
目
标
知识技能
让学生会用相似三角形解决实际问题，培养学生观察、归纳、建模、应用的能力．
数学思考
通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体长度的问题，让学生体会数学转化的思想，并体会如何用已学习的数学知识解决实际问题．
问题解决
利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体高度的问题．
情感态度
让学生经历探究过程，发展学生的应用能力，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐．
教学
重点
利用相似三角形解决高度测量问题．
教学
难点
探索如何利用相似三角形解决高度测量问题．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
1.我们之前学习过的相似三角形的判定方法有哪些？相似三角形的性质是什么？
2.你能举出现实生活中有哪些相似的例子吗？试一试！
回顾以前所学内容，为学习本节课内容做好准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构造两个相似三角形来测量金字塔的高度.
如图27－2－204，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
图27－2－204
学生思考并展开讨论，寻找解答问题的方法.
通过解答金字塔问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究测量高度的方法：
分析活中一中的问题：如何将现实生活中的问题转化为数学问题是解题的难点，在问题中，寻找两个相似三角形是解题的突破口，根据太阳光平行的基本常识，得到AB∥ED，得到△DEF∽△ABO，最后解决问题.
解：因为太阳光平行，所以∠BAO＝∠EDF.
因为∠AOB＝∠DFE＝90°，所以△ABO∽△DEF，所以＝，
即BO＝201×2÷3＝134(米).因此金字塔的高度BO为134米.
师生总结：同一时刻物体的高度与影长成比例.
2.探究测量河的宽度的方法：
问题：如图27－2－205，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ. 图27－2－205
师生活动：教师提出问题，学生理解测量方法.
分析问题：题目的前提是我们只能在河的一边测量河的宽度，所以想到用相似的知识来解决，因此寻找包括河的宽度的相似三角形．分析题目可知△PQR与△PST相似，所以知道QR，ST，QS的长度即可求出PQ的长度.
问题：是否有其他的解题方法？试一试！
师生活动：通过作图可以理解并进行解答.
3.探究关于盲区问题的方法：
问题：如图27－2－206，已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树的根部的距离BD＝5 m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C了？
师生活动：教师引导学生进行分析，寻找解题方法.
分析问题：教师介绍仰角和盲区：设观察者眼睛的位置为F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K，射线FA与FG的夹角∠AFH是观测点A时的仰角，类似的，∠CFK是观察点C时的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域内．本题根据AB∥CD，得到 图27－2－206
△AFH∽△CFK，从而求解.
1.在教师的引导和分析下，把实际问题转化为数学问题，这是解决问题的关键，让学生在解决问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力.
2.数学建模就是把实际问题转化为数学问题，转化方法之一就是画数学示意图，在画图过程中，可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题的思路.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 李明同学为了测量河对岸树AB的高度，他在河岸边放一面平面镜MN，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A，如图27－2－207，他量得B，P之间的距离是56米，C，P之间的距离是12米，他的身高是1.74米. 图27－2－207
(1)他这种测量方法应用了物理学的什么知识？请简要说明.
(2)请你帮他计算出树AB的高度.
相似三角形在生活中的应用主要就是利用相似三角形的性质求物体的高度和宽度．通过练习可以让学生了解求物体高度的一些方法，同时提高了学生分析问题、解决问题的能力.
【拓展提升】
例2 如图27－2－208，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m．你能根据以上测量数据帮助他们求出该楼的高度吗？ 图27－2－208
通过拓展提升使学生加深对实际问题解法的应用，学会并领悟建模思想.
【达标测评】
1.如图27－2－209，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的张良同学沿着旗杆在地面上的影子AB由点A向点B走去，当他走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2 m，BC＝8 m，则旗杆的高度是(C)
A.6.4 m B．7 m C．8 m D．9 m
图27－2－209 图27－2－210
2.如图27－2－210，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h为(B)
A.1.6 m B．1.5 m C．2.4 m D．1.2 m
3.阳光下，高为6米的旗杆在地面上的影长为4 m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36米，则这座建筑物的高度为__54__米.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
4.如图27－2－211，铁路口栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高__8__米.
图27－2－211 图27－2－212
5.如图27－2－212，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在点E位置，AE＝60 cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D位置.
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
活动
四：
课堂
总结
反思
1.课堂总结：
请同学们回顾问题：用相似三角形的知识解决实际问题的过程中，你有什么收获与疑惑？
教师强调：本节课的重点是把实际问题转化为数学问题，即构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题.
2.布置作业：
教材第43页习题27.2第8，9，10题.
通过问题的形式回顾所学基本知识，能够使学生获得整体认知.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本课时从学生感兴趣的测量金字塔开始，然后测量河宽，最后解决盲区的问题，每一个问题都是抓住怎样把实际问题转化为数学问题这一关键点进行突破.
②[讲授效果反思]
讲解重点问题时，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题，一小部分学生学习效果欠佳，课后鼓励本部分学生多与其他同学交流，争取有更好的效果.
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，可以综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
进一步巩固相似三角形的知识，应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题(计算不能直接测量的物体的长度和高度)．
2．解决问题
通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用，经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程．
3．数学思考
培养学生的应用意识和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决实际问题的能力；通过例题的变式来发展学生的思维，培养创造力．
4．情感态度
通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，积极参与探索，体验成功的喜悦．力求培养学生科学、正确的数学观，体现探索精神．
【学习重难点】
1. 重点：引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决．
2. 难点：通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型．
课前延伸
【知识梳理】
一、基础知识填空
1．相似三角形的性质
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的
三角形与原三角形__相似__；
(2)两角分别__相等__的两个三角形__相似__；
(3)两边__成比例__且夹角__相等__的两个三角形相似；
(4)三边__成比例__的两个三角形相似．
3．物高与影长
在同一时刻，在太阳光下，物高与影长__成比例__．
二、预习思考题
1．在太阳照射上，如果某一电视塔在地面上的影长为60 m，同时一根高为2 m的竹竿的影长为3 m，则电视塔高__40_m__．
2．观察者__看不到__的区域称为盲区．
课内探究
一、例题精讲点拨
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图27－2－213，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
图27－2－213 图27－2－214
例2 如图27－2－214，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R.如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ.
例3 已知：如图27－2－215左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树的根部的距离BD＝5 m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?
图27－2－215
二、课堂反馈训练
1．如图27－2－216，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？
图27－2－216 图27－2－217
2．如图27－2－217，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求河宽AB.
课后提升
一、课后练习题
1．如图27－2－218，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高__4__m.
图27－2－218 图27－2－219
2．如图27－2－219，小明在打网球时，为使球恰好能过网(网高为0.8 m)，且落在对方区域离网5 m的位置上，已知他击球的高度是2.4 m，则他应站在离网__10__m远处．
3．小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶__0.5__m.
4.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图27－2－220所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为__11.8__米．
5．如图27－2－221，设在小孔口前24 cm处有一支长21 cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好落在距小孔后面16 cm处的屏幕上，则像A′B′的长是__14__ cm.
图27－2－220 图27－2－221 图27－2－222
6．如图27－2－222，运河边上移栽了两棵老树AB，CD，它们相距20 m，分别自两树上高出地面3 m，4 m的A，C处，向两侧地面上的点E，D和B，F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？
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