山东省济南市槐荫区七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形 5.3.3 简单的轴对称图形教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中七年级下册数学教案.doc

5.3.3简单的轴对称图形
年级
七年级
学科
数学
主题
轴对称
主备教师

课型
新授课
课时
1
时间

教学目标
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；
2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．
教学
重、难点
重点：经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；
难点：能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，
引出新课

问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？

从学生已有的知识入手，引入课题

新知探索

例题
精讲
合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解．
解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵∴△ADC≌
△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．

【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合

如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵
∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.

(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．

【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.

(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．
解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
(2)AD与BE垂直．理由如下：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE；
(3)∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

探究点二：角平分线的画法
如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．

解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺规作图知AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．

引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要

学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性

体现教师的主导作用

学以致用，
举一反三

教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握

例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1，角平分线是角的一条对称轴，它的性质是 .
2，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 .
3，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B= .
4，在△ABC中，AB=AC，若∠B=45°，则此三角形是 .
5，等边三角形有 条对称轴，矩形有 条对称轴.
6，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.

（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .

检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.

总结提升
1．角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的作法
板书设计
5.3.3简单的轴对称图形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
本课作业
教材P126随堂练习
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）