八年级数学第四章 相似图形教案北师大版.doc

第四章 相似图形
●课时安排
14课时
第一课时
●课 题
§4.1.1 线段的比（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
（二）能力训练要求
会求两条线段的比.
（三）情感与价值观要求
通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.
●教学重点
会求两条线段的比.
●教学难点
会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.
●教学方法
自主探索法
●教具准备
投影片一张：例题（记作§4.1.1 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.
［生］课本P38中两张图片；
同一底片洗印出来的大小不同的照片；
两个大小不同的正方形，等等.
［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.
Ⅱ.新课讲解
1.两条线段的比的概念
［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？
［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.
［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.
［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
［生］对.
［师］大家同意他的观点吗？
［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？
［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.
如果把表示成比值k，则=k或AB=k·CD.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2.做一做
量出数学书的长和宽（精确到0.1 cm）,并求出长和宽的比.
［生］长为21.1 cm,宽为14.8 cm,长和宽的比为21.1∶14.8=211∶148
［师］如把单位改成mm和m,比值还相同吗？
［生］改为mm作单位，则长为211 mm，宽为148 mm，比值为211∶148
改用m作单位，则长为0.211 m，宽为0.148 m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148
［师］从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？
［生］只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.
3.求两条线段的比时要注意的问题
［师］大家能说出几点？试一试.
［生］（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
4.例题
投影片（§4.1.1 A）
在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得

因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm）,
144000 cm=1440 m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000 cm=900 m.
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现：

Ⅲ.随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
解：根据题意，得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此，矩形运动场的长是
2×8000=16000（cm）=160（m）
矩形运动场的宽是
1×8000=8000（cm）=80（m）
所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.
Ⅳ.课时小节
1.相似图形→两条线段的比.
2.两条线段的比
定义：两条线段的长度之比
表示法：线段a、b的长度分别为m、n,则a∶b=m∶n.
求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.
注意点：（1）两线段的比值总是正数.
（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.
（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.
比例尺：图上长度与实际长度的比.
Ⅴ.课后作业
习题4.1
1.解：一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，这两条线段的比是5∶1.
2.解：早上8点
旗杆的高与其影长的比为30∶40=3∶4
中午12点
旗杆的高与其影长的比为30∶10=3∶1
3.解：等腰直角三角形ABC与等腰三角形DEF
腰的比为10∶12=5∶6
底边的比为
10∶8=5∶4
Ⅵ.活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.
解：方案（1）：
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）
∴
解得：a=

图4－1
方案（2）：
由（*）得

∴x=,a=
方案（3）：
由（*）得
∴y=
且 ∴z=
由=a 得a=

图4－2
方案（4）：
由（*）得

∴b=
n=1－ m=a2－1
∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1
∴a=（负值舍去）
●板书设计
§4.1.1 线段的比
一、1.两条线段的比的概念
2.做一做
3.求两条线段的比时要注意的问题
4.例题（有关比例尺问题）
二、随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
第二课时
●课 题
§4.1.2 线段的比（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道比例线段的概念.
2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.
（二）能力训练要求
1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力.
2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.
（三）情感与价值观要求
认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.
●教学重点
成比例线段的定义.
比例的基本性质及运用.
●教学难点
比例的基本性质及运用.
●教学方法
自学法
●教具准备
投影片两张：
第一张（记作§4.1.2 A）
第二张（记作§4.1.2 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？
［生］表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.
比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如果（b,d都不为0），那么ad=bc.
［师］上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段.
Ⅱ.新课讲解
1.成比例线段的定义
投影片（§4.1.2 A）
你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？
下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.

图4－4
（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？
（2）线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？
（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？
［生］（1）CD=2，HL=4，
OA=,
OF=
BE=,
GM=
（2）,
.
所以，.
（3）其他比相等的线段还有
.
［师］由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？
［生］四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）.
2.比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d四个数满足,那么ad=bc吗？反过来，如果ad=bc,那么吗？与同伴交流.
［生］若,则有ad=bc.
因为根据等式的基本性质，两边同时乘以bd,得ad=bc,同理可知
若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.
3.线段的比和比例线段的区别和联系
［师］线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.
若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.
线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例.
4.例题

图4－5
（1）如图，已知=3,求和;
（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？
解：（1）由=3,得
a=3b,c=3d.
因此，=4
=4
（2）成立.
因为有=k,得
a=bk,c=dk.
所以=k+1,
=k+1.
因此：.
5.想一想
（1）如果,那么成立吗？为什么？
（2）如果,那么成立吗？为什么？
（3）如果,那么成立吗？为什么.
（4）如果=…=（b+d+…+n≠0）,那么成立吗？为什么.
解：（1）如果,那么.
∵
∴－1
∴.
（2）如果,那么
设=k
∴a=bk,c=dk,e=fk
∴
（3）如果,那么
∵
∴+1
∴
由（1）得
∴.
（4）如果=…=（b+d+…+n≠0）
那么
设=…==k
∴a=bk,c=dk,…,m=nk
∴.
Ⅲ.课堂练习
投影片（§4.1.2 B）
1.已知=3,求和, =成立吗？
2.已知==2,求（b+d+f≠0）
解：1.由=3,得
a=3b,c=3d.
所以==2, =2
因此.
2.由==2,得
a=2b,c=2d,e=2f
所以=2. 
Ⅳ.课时小结
1.熟记成比例线段的定义.
2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.
Ⅴ.课后作业
习题4.2
1.解：因为a、b、c、d是成比例线段，
所以有
即 =
解得：d=4
所以线段d的长为4 cm
2.解：因为=2
所以a=2b
因此=3
3.解：因为BC=BD=
CD=2
GH=GL=
HL=4
所以△BCD的周长为BC+BD+CD=2+2
△GHL的周长为GH+GL+HL=2（2+2）
因此△BCD的周长与△GHL的周长比为1∶2.
Ⅵ.活动与探究
1.已知：==2（b+d+f≠0）
求：（1）;（2）;
（3）;（4）.
解：∵==2
∴a=2b,c=2d,e=2f
∴（1）=2
（2）=2
（3）=2
（4）==2
2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.
（1）求a,b,c （2）求4a－3b+c的值.
解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k
∵a+3b－3c=14
∴4k+9k－6k=14
∴7k=14
∴k=2
∴a=8,b=6,c=4
（2）4a－3b+c=32－18+4=18
●板书设计
§4.1.2 线段的比
一、1.成比例线段的定义
2.比例的基本性质
3.线段的比和比例线段的区别和联系
4.例题
5.想一想
二、课堂练习
三、课时小结
1.熟记成比例线段的定义.
2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.
四、课后作业

第三课时
●课 题
§4.2 黄金分割
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课

图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以.
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
投影片（§4.2 A）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.

图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=≈0.618
∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想

图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.随堂练习
1.解：设AB=a,根据题意，得
AE=,
由勾股定理，得
EF=EB=
=
=a
∴AF=AH=BE－AE=a
BH=AB－AH=a－
∴

∴
∴点H是AB的黄金分割点.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅴ.课后作业
习题4.3
Ⅵ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
§4.2 黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习
三、课时小节
四、课后作业

第四课时
●课 题
§4.3 形状相同的图形
●教学目标
（一）教学知识点
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
（二）能力训练要求
通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；通过画形状相同的图形，训练大家的动手能力.同时，同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.
（三）情感与价值观要求
通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维.
●教学重点
认识和会画形状相同的图形.
●教学难点
会画形状相同的图形.
●教学方法
主动探索加合作交流法
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§4.3 A）
第二张（记作§4.3 B）
第三张（记作§4.3 C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形.
Ⅱ.新课讲解
1.观察图形找特点（投影片§4.3 A）
［师］请看课本102页，回答下列问题
（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？
（4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？
［生］（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不同；
（2）两个足球的形状相同，大小不同；
（3）两个正方体物体的形状相同；
（4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同.
［师］大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？
［生］每对图形形状相同，大小不同.
［师］对，每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形.
2.找形状相同的图形
投影片（§4.3 B）
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.

［生］（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
3.画形状相同的图形
做一做
投影片（§4.3 C）
利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
1.将2个长短相同的橡皮筋系在一起.
2.选取一个图形，在图形外取一个定点.
3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端.
4.拉动铅笔，使2个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形.
这个新图形与已知图形形状相同.
［师］请看课本52页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后按照上述步骤画形状相同的图形.
如：

图4－9
Ⅲ.课堂练习
1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形，如图4－10.

图4－10
（2）填表1如下：
表1
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,y）
O1（0,0）
A1（2,2）
B1（4,4）
C1（6,2）
D1（8,0）
分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.

图4－11
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（x,2y）
O2（0,0）
A2（1,4）
B2（2,8）
C2（3,4）
D2（4,0）
连接如下图

图4－12
所得图形还是字母A.
填写表3如下： 表3
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,2y）
O3（0,0）
A3（2,4）
B3（4,8）
C3（6,4）
D3（8,0）
连接如下图

图4－13
得到的图形还是字母A.
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.
Ⅳ.课后作业
习题4.4
Ⅴ.课时小结
本节课我们认识了形状相同的图形，并能找出形状相同的图形，还学习了如何画形状相同的图形.
Ⅵ.活动与探究
从上题的第1图和第4图中可知.
OB==BD
AC=2
O3B3==B3D3
A3C3=4
∴O3B3=2OB A3C3=2AC B3D3=2BD
由此可知：形状相同的图形中，对应线段成比例.
如△ABC与△A′B′C′形状相同，其AB=2 cm,BC=4 cm,A′B′=4 cm，求B′C′.
解：因为形状相同的图形中对应线段成比例，所以
即
所以B′C′=8 cm.
●板书设计
§4.3 形状相同的图形
一、1.观察图形找特点.
2.找形状相同的图形.
3.画形状相同的图形（做一做）.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
第五课时
●课 题
§4.4 相似多边形
●教学目标
（一）教学知识点
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.
（二）能力训练要求
经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性.
●教学重点
探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似.
●教学难点
探索相似多边形的定义的过程.
●教学方法
指导探索法.
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§4.4 A）
第二张（记作§4.4 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思.
［生］“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分.
［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？
［生］“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同.
［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索.
Ⅱ.新课讲解
1.探究相似多边形的定义
投影片（§4.4 A）
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

图4－14
（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.
（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
［师］请大家动手验证一下.
［生］在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中 ∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等.
［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨.
［例题］
下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
［师］请大家互相交流.
［生］解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以
∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°
由于正三角形三边相等，所以
.
（2）由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°.
由于正方形四边相等，所以

［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？
［生］可以.
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.
相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.
［师］相似应该怎样表示呢？请认真看书.
［生］六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比.
［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？
［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
2.想一想（1）
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
3.议一议
投影片（§4.4 B）
1.观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流.

图4－15
2.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
［生］1.（1）中的两个图形不相似.
因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似.
（2）中的两个图形也不相似.
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似.
2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等.
4.做一做
一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答.

图4－16
［生］答：不相似.
内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，因为≠，所以内外边缘所成的矩形不相似.
5.想一想（2）
所有的边数相同的正多边形都相似吗？
［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断.
［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相似.
Ⅲ.课堂练习
判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由.
（1）两个大小不等的矩形；
（2）两个大小不等的正五边形；
（3）一个正方形与一个平行四边形；
（4）两个大小不等的菱形.
解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例.
（2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例.
（3）一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例.
（4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似.
Ⅳ.课时小结
本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.
Ⅴ.课后作业
习题4.5
1.解：对应边的比为2∶3.
2.解：两个正六边形的边长分别为a和b，这两个正六边形相似.因为正六边形的每个角都等于120°，所以满足对应角相等，对应边成比例，所以它们相似.
3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似，虽然它们的对应角相等，但对应边，即对应边不成比例，所以不相似.
Ⅵ.活动与探究
纸张的大小

图4－17
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.
（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？
（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？
解：（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变.
设纸的宽为a，长为a，则
BC=a，BE=a
AE=a，ME=
MF=，HF=a
LG=a，LN=
∴=a∶a=
= a∶=
∶
a∶=
所以五个矩形的长与宽的比不改变.
（2）在这些矩形中有成比例的线段.
（3）这些大小不同的矩形都相似.
●板书设计
§4.4 相似多边形
一、1.探究相似多边形的定义.
例题
2.想一想（1）
3.议一议（根据定义判断两个多边形是否相似）
4.做一做
5.想一想（2）
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业

第六课时
●课 题
§4.5 相似三角形
●教学目标
（一）教学知识点
1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
（二）能力训练要求
1.能根据定义判断两个三角形是否相似，训练学生的判断能力.
2.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.
●教学重点
相似三角形的定义及运用.
●教学难点
根据定义求线段长或角的度数.
●教学方法
类比讨论法
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§4.5 A）
第二张（记作§4.5 B）
第三张（记作§4.5 C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下.
［生］对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
［师］很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢？
［生］只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角形，相似五边形等.
［师］由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相似三角形.
Ⅱ.新课讲解
1.相似三角形的定义及记法
［师］因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出，大家可以吗？
［生］可以.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC与△DEF相似，记作
△ABC∽△DEF
其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应.AB∶DE等于相似比.
［师］知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断.
2.想一想
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
［生］由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
3.议一议
投影片（§4.5 A）
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
［师］请大家互相讨论.
［生］解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=b
DF=EF=a，DE=a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.
［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
4.例题
投影片（§4.5 B）
1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.

图4－20
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是x cm，则
x=3.5×400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
投影片（§4.5 C）
2.如图,已知△ABC∽