九年级数学上册 与圆有关的位置关系教案 人教新课标版.doc

与圆有关的位置关系
一、目标认知
学习目标
　　1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上
　　　 d=r；点P在圆内d＜r及其运用．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．了解
　　　 三角形的外接圆和三角形外心的概念．了解反证法的证明思想．
　　2．了解直线和圆的位置关系的有关概念．理解设⊙O的半径为r，直线到圆心O的距离为d，则有：直线
　　　 和⊙O相交d＜r；直线和⊙O相切d=r；直线和⊙O相离d＞r．理解切线的判定定理；理
　　　 解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
　　3．了解切线长的概念．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的
　　　 应用．
　　4．了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的
　　　 位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．

重点
　　1．点和圆的位置关系的结论，不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．
　　2．切线的判定定理；切线的性质定理及运用它们解决一些具体的题目．
　　3．切线长定理及其运用．
　　4．两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．

难点
　　1．反证法的证明思路．
　　2．由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
　　3．切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
　　4．探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．

二、知识要点透析
知识点一、点和圆的位置关系
　　由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；即点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

知识点二、圆的确定
　　已知圆心和半径可以确定圆，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
　　1．不在同一直线上的三个点确定一个圆.
　　2．经过三角形三个顶点可以作一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三
　　　 角形三条垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

　　要点诠释：
　　(1) 由线段的垂直平分线的性质可知：平面内，经过已知两点的圆的圆心的轨迹是连结这两点的线段的
　　　　垂直平分线(如图)

　　(2) 过同一条直线上的三点不能作圆；过不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以任意三角形有且只
　　　　有一个外接圆.三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等.由于三角
　　　　形的形状不同，所以其外心的位置也不相同，即锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外
　　　　心在斜边中点上；钝角三角形的外心在三角形外部.因为圆是由无数个点形成的闭合曲线，所以在
　　　　圆上任取三个点，顺次连结就可形成一个圆内接三角形，所以圆有无数个内接三角形.

　　3．用反证法证明命题的一般步骤为：
　　(1) 假设命题的结论不成立；
　　(2) 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
　　(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

知识点三、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做
　　　　　　　切点．
　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

　　这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．

知识点四、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　要点诠释：
　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

2．切线的性质定理：
　　圆的切线垂直于过切点的半径.

知识点五、切线长定理
1．切线长：
　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
　　要点诠释：
　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2．切线长定理：
　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
　　要点诠释：
　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.

知识点六、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
　　要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一
　　　　半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点

(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.

知识点七、圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做
　　　　　　　这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做
　　　　　　　这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.

　　要点诠释：
　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分
　　　　类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.

　　2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
　　两圆外离 d＞r1+r2
　　两圆外切 d=r1+r2
　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2)
　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2)
　　注意：
　　(1)这种数量关系既是性质又是判定；
　　(2)注意判定两圆相交时必须具备r1-r2＜d＜r1+r2，缺一不可；
　　(3)d=0时，两圆是同心圆；
　　(4)判定两圆位置关系的方法有二，定义或d与r1、r2的关系.
　　3．两圆相切的性质
　　思考：相切两圆的连心线与两圆的切点有何关系？
　　因为圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，而对于两个圆来说，连心线是它们公共的对称轴，因此两圆组成的图形关于连心线对称，于是得到：
　　相切两圆性质：若两圆相切，则切点一定在连心线上.
　　要点诠释：
　　(1)区别“连心线”(形——直线)与“圆心距”(数量)；
　　(2)也可以认为是：相切两圆的圆心、切点在同一直线上；
　　(3)常作连心线辅助线.

三、规律方法指导
　　对于本节的学习，应注意下面几个问题：
　　1．首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的
　 　　d与r(R与r)之间的关系；
　　2．理解好切线的性质及判定，总结出判定切线常添加的辅助线：(1)过圆心作切线的垂线；(2)作出过
　 　　切点的半径；
　　3．明确“反证法”与一般证明方法的不同之外，掌握好用反证法证明问题的一般步骤；
　　4．每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.

经典例题透析
类型一：判断直线和圆的位置关系
　　1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
　　(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米．
　　思路点拨：因为题目给出了⊙O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出Rt△ABC斜边AB上的高．为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定⊙C与AB的关系．
　　解：作图，在Rt△ABC中，利用勾股定理有
　　　　利用三角形面积公式，有，得

　　　　可知：
　　　　(1)r=2厘米时，r＜CD，圆C与AB的位置关系是相离；
　　　　(2)r=2.4厘米时，r=CD，圆C与AB的位置关系是相切；
　　　　(3)r=3厘米时，r＞CD，圆C与AB的位置关系是相交．

类型二、运用切线的性质定理解题
　　2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

　　解析：因为CD和⊙O切于C，可考虑作出OC．利用切线的性质定理可知OC⊥CD，由AD⊥CD，易知OC∥AD，于是有∠1=∠2，又∠1=∠3，因此有∠2=∠3．

　　总结升华：在解有关圆的切线问题时，常常连接过切点的半径，以便利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质．

类型三、切线的判定
　　3．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.

　　思路点拨：要证OB是⊙P的切线，且不知道是否有公共点，所以作PF⊥OB于F，只需证PF=PE即可.
　　证明：作PF⊥OB于F
　　　　　 ∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA
　　　　　 ∴PF=PE，∴OB是⊙P的切线.

　　举一反三：
　　【变式1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．

　　思路点拨：从已知条件不易判断直线BC与⊙O有没有公共点，所以不便利用判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”．联想到“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，考虑作辅助线OE⊥BC，垂足为E，只要证明OE等于⊙O的半径即可.根据梯形中位线的性质定理和已知条件，这点不难证明.
　　证明：作OE⊥BC，垂足为E，

　　　　　 ∵ AB∥DC，∠B=90°，
　　　　　 ∴ OE∥AB∥DC，
　　　　　 ∵ OA=OD，
　　　　　 ∴ EB=EC，

　　　　　 ∴ BC是⊙O的切线．

　　【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：CD与小圆相切．

　　思路点拨：因为AB与小圆切于点E，联想切线的性质定理，若连接OE，则AB⊥OE．要证CD与小圆相切，而已知条件中并未明确CD和小圆是否有公共点，所以可作OF⊥CD，垂足为F．只要证明OF等于小圆的半径即可．因为AB、CD为大圆的弦，而且相等，而OE、OF分别为两弦的弦心距，因此有OE=OF，即OF等于小圆的半径．于是可得出证法．
　　证明：连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．
　　　　　∵AB与小圆切于点E，　　∴ OE⊥AB．
　　　　　∵AB=CD，　　∴ OE=OF．
　　　　　也就是圆心O到CD的距离等于小圆的半径．
　　　　　∴ CD与小圆相切．

　　4．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.

　　思路点拨：要证CD是⊙O切线，且已知公共点C，所以连接OC，用判定定理，只需OC⊥CD，即证：∠OCB+∠DCB=90°.
　　方法一：要证直角可利用直径所对圆周角是直角.
　　证明：作直径CE，连接BE，则∠CBE=90°
　　　　　 ∴∠E+∠OCB=90°
　　　　　 ∵∠A=∠E，∠DCB=∠A
　　　　　 ∴∠DCB+∠OCB=90°
　　　　　 ∴OC⊥CD
　　　　　 ∴CD是⊙O切线.
　　方法二：此题也可采用圆周角定理.
　　证明：连接OC、OB，设∠A=∠DCB=x，则
　　　　　∠BOC=2x
　　　　　∵OB=OC

　　　　　∴∠OCB+∠DCB=90°
　　　　　∴OC⊥CD，即CD是⊙O切线.

　　举一反三：
　　【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.
　　思路点拨：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证OD⊥DE即可，又已知DE⊥AE，所以需证：OD∥AC.
　　方法一：
　　证明：连接OD
　　　　　∵OB=OD
　　　　　∴∠B=∠ODB
　　　　　∵AB=AC
　　　　　∴∠B=∠C
　　　　　∴∠ODB=∠C
　　　　　∴OD∥AC
　　　　　又∵DE⊥AC
　　　　　∴OD⊥DE
　　　　　∴DE是⊙O的切线.
　　方法二：此题中证明OD∥AC，还有另外方法：
　　证明：连接OD、AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC
　　　　　∵AB=AC
　　　　　∴BD=CD
　　　　　又∵OB=OA
　　　　　∴OD∥AC
　　　　　又∵DE⊥AC
　　　　　∴OD⊥DE
　　　　　∴DE是⊙O切线.

　　【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.
　　思路点拨：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证∠ODE=∠OCB=90°即可.
　　方法一：需证△ODE≌△OCE.
　　证明：连接OD，OE
　　　　　∵OA=OC，E为BC中点
　　　　　∴OE∥AB
　　　　　∴∠DOE=∠ADO
　　　　　∠COE=∠A
　　　　　∵OA=OD
　　　　　∴∠A=∠ADO
　　　　　∴∠DOE=∠COE
　　　　　∵OD=OC
　　　　　OE=OE
　　　　　∴△DOE≌△COE
　　　　　∴∠ODE=∠OCE
　　　　　∵∠ACB=90°
　　　　　∴∠ODE=90°
　　　　　∴DE是⊙O的切线.
　　方法二：此题证明∠ODE=∠OCE还有另外证法
　　证明：连接OD，CD
　　　　　∵AC是⊙O直径
　　　　　∴CD⊥AB
　　　　　∵E为BC中点
　　　　　∴ED=EC
　　　　　∴∠EDC=∠ECD
　　　　　又∵OD=OC
　　　　　∴∠ODC=∠OCD
　　　　　∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD
　　　　　∴∠ODE=∠OCE=90°
　　　　　∴DE是⊙O的切线.

　　【变式3】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．

　　思路点拨：因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．
　　证明：连接OD．

　　　　　∵ OA=OD，∴∠1=∠2．
　　　　　∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4．
　　　　　因此 ∠3=∠4．
　　　　　又∵ OB=OD，OC=OC，　 ∴ △OBC≌△ODC．
　　　　　∴∠OBC=∠ODC．
　　　　　∵BC是⊙O的切线，　　∴∠OBC=90°，
　　　　　∴∠ODC=90°．　　 ∴ DC是⊙O的切线．

类型四、切线长定理的应用
　　5．已知，如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长.

　　思路点拨：AD、BE、CF的长都是⊙O的切线长，可以通过切线长定理建立方程而求解：设AD=x，则BD=7-x.
　　解：∵⊙O是△ABC的内切圆
　　　　∴AD=AF=x，BD=BE=7-x，CE=CF=8-x
　　　　∵BC=BE+CE
　　　　∴7-x+8-x=9
　　　　∴x=3
　　　　∴AD=3，BE=4，CF=5.

　　举一反三：
　　【变式1】已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
　　(1)若∠P=70°，求∠DOE的度数；
　　(2)若PA=4cm，求△PDE的周长.

　　思路点拨：根据切线长定理，要求∠DOE只需要求出∠AOB，而∠AOB+∠P=180°.
　　解：连接OA、OB、OC
　　　　∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C
　　　　∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD=CD，BE=CE
　　　　∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC

　　　　∵∠P+∠AOB=180°，∠P=70°
　　　　∴∠DOE=55°
　　　　△PDE的周长=PD+PE+DE
　　　　=PD+AD+BE+PE
　　　　=PA+PB=8cm
　　总结升华：
　　此题的解答中推出两个重要结论：
　　(1)；
　　(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA.

　　【变式2】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.

　　方法一：
　　思路点拨：把⊙O的半径r与△ABC的边联系起来，可以通过切线的性质证明四边形ODCF是正方形，再利用切线长定理可求解.
　　解：连接OD、OF
　　　　∵⊙O切△ABC的边BC、AC于点D、F
　　　　∴OD⊥BC，OF⊥AC
　　　　又∵∠C=90°
　　　　∴四边形ODCF是矩形
　　　　∵OD=OF
　　　　∴矩形ODCF是正方形
　　　　∴CD=CF=OD=r
　　　　∴BD=4-r，AF=3-r
　　　　∵AB切⊙O于E
　　　　∴BE=BD，AE=AF
　　　　∴BD+AF=AB
　　　　∴4-r+3-r=5
　　　　∴r=1
　　方法二：此题亦可采用：面积变换求解.
　　连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
　　∵⊙O是△ABC的内切圆，
　　∴OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC
　　∵∠C=90°，BC=4，AC=3
　　∴AB=5
　　∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC

　　即(3+4+5)r=3×4
　　∴r=1
　　总结升华：
　　通过此题的求解过程，总结如下结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c，三角形内切圆半径为r
　　由第一种解法可知：a-r+b-r=c
　　由第二种解法可知：(a+b+c)r=a·b
　　这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.
　　那么由此两种表达式你可以验证一个什么重要定理呢？请同学们试一试.

　　【变式3】已知：如图，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°，求∠DEF的度数.

　　方法一：
　　思路点拨：因为∠DEF是圆周角，可以先求相应的圆心角∠DOF，由切线的性质，知OD⊥AB，OF⊥AC，从而可求出∠DOF.
　　解：连接OD，OF
　　　　∵⊙O切AB于D，切AC于F
　　　　∴OD⊥AB，OF⊥AC
　　　　∴∠A+∠DOF=180°
　　　　∵∠A=50°
　　　　∴∠DOF=130°
　　　　.
　　方法二：此题还可由切线长定理和内心性质求解.
　　解：连接OB、OC
　　　　∵⊙O是△ABC的内切圆
　　　　∴OB平分∠ABC，BD=BE
　　　　∴OB⊥DE，
　　　　同理：OC⊥EF，
　　　　∴∠BOC+∠DEF=180°
　　　　又∵∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)

　　∴∠DEF=65°
　　总结升华：
　　事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：
　　(1)
　　(2)

类型五、两圆的位置关系
　　6．已知相交两圆的半径分别为，圆心距为d，试求d的整数值.
　　思路点拨：对于半径分别为r1，r2的两圆相交，若圆心距为d，则|r1-r2|＜d＜r1+r2.
　　解：由已知：
　　　　即，而d为正整数
　　　　∴3≤d≤5
　　　　∴d的整数值为3，4，5.

　　举一反三：
　　【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足，试确定这两圆的位置关系.
　　思路点拨：欲找到r1，r2，d之间的关系，需将已知的r1，r2，d之间的二次方程，利用分解因式法降次.
　　解：

　　　　(r1-d+r2)(r1-d-r2)=0
　　　　r1+r2-d=0或r1-r2-d=0
　　　　即r1+r2=d或r1-r2=d(r1＞r2)
　　　　∴这两个圆外切或内切.
　　想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.
　　提示：解这类题注意不要丢解，若设另一个圆的半径为rcm，列含绝对值的方程|r-5|=3为好，解得r=8或r=2.

　　【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？

　　思路点拨：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.
　　解：x2-20x+75=0
　　　　解之得x=15或x=5
　　　　∵AD＜BC
　　　　∴由已知，AD=5，BC=15
　　　　如图，作DE⊥BC于点E，由已知，则四边形ABED是矩形，

　　　　EC=BC-BE=BC-AD=15-5=10

　　　　∴AD+BC=DC=20
　　　　∴这两个圆外切.

　　7．如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.

　　思路点拨：可设⊙O1的半径为rcm，利用已知条件，将问题转化为解直角三角形.
　　解：如图，连接O1O2，作O1E⊥AB于点E，O2F⊥AB于点F，O1G⊥O2F于点G，则四边形O1EFG 是矩形.
　　　　∵⊙O2与矩形ABCD的三边相切，BC=18cm
　　　　∴r2=O2F=FB=9cm
　　　　又∵⊙O1与AD、AB边相切；
　　　　∴r1=O1E=AE
　　　　设r1=xcm，则
　　　　O1G=EF=AB-(AE+FB)=(16-x)cm
　　　　∵⊙O1与⊙O2外切，
　　　　∴O1O2=r1+r2=(x+9)cm
　　　　在Rt△O1GO2中，
　　　　∴(x+9)2-(x-9)2=(16-x)2
　　　　整理得x2-68x+256=0
　　　　解之得x=64或x=4
　　　　又∵r＜9，∴只有x=4
　　　　答：⊙O1的半径为4cm.

　　举一反三：
　　【变式1】如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？

　　思路点拨：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆.
　　AC=2(R-r)，AB=2r
　　∵△ABC是等腰直角三角形

　　答：r的最大值为.
　　想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆(如图)，半径最大值是多少？
　　提示：2r小=AC-2r=(2R-2r)-2r=2R-4r
　　.

　　【变式2】已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.

　　思路点拨：仍需要依据各圆之间的位置关系，将问题转化为解直角三角形.
　　解：如图，过D点作半径OE，则E为⊙D与⊙O的切点，分别连接CD、FD，则

　　　　∵DC=DF，CO=OF，∴OD⊥CF
　　　　∴CO2+OD2=CD2
　　　　即
　　　　整理得R2=3Rr
　　　　.

　　8．已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明.

　　解：EF=CD，理由如下：
　　　　如图，分别连接AB，FC，ED
　　　　∵FE∥CD，∴欲证EF=CD，只要证四边形EDCF是平行四边形，即证FC∥ED
　　　　对于左边大圆，∵∠F与∠BAC所对的弧是，
　　　　∴∠F=∠BAC
　　　　对于右边小圆，∵∠DEB与∠BAD所对的弧是
　　　　∴∠BED=∠BAD
　　　　∴∠F=∠BED
　　　　∴FC∥ED
　　　　又∵FB∥AD，即FE∥CD
　　　　∴四边形EDFC是平行四边形
　　　　∴EF=CD.

学习成果测评
基础达标
一、选择题
　　1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为( )
　　A.点在圆内 　　　B.点在圆上 　　　C.点在圆外　　　 D.不能确定

　　2．三角形外接圆的圆心是( )
　　A.三个内角平分线的交点 　　　　B.三条边的中线的交点
　　C.三条边垂直平分线的交点 　　　D.三边的三条高的交点

　　3．下列说法：①三点确定一个圆；②一个三角形有且只有一个外接圆；③一个圆有且只有一个内接三
　 　　角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等
　 　　腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有( )
　　A．1 　　　B．2 　　　C．3 　　　D．4

　　4．下列说法正确的是( )
　　A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
　　B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
　　C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
　　D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

　　5．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中， 半径是3cm的圆是( )

　　6．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( )
　　A.内切 　　　B.相交 　　　C.外切 　　　D.外离

　　7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( )
　　A.相离　　　 B.相切　　　 C.相交 　　　D.不能确定

　　8．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )
　　A.70°　　　 B.90° 　　　C.60°　　　 D.45°

　　9．I为△ABC的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC等于( )
　　A.80°　　　 B.100° 　　　C.130°　　　 D.160°

　　10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=( )
　　A．60°　　　 B．75° 　　　C．105° 　　　D．120°

二、填空题
　　11．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过
　　　　不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．

　　12．一个圆的直径是6cm，到圆心的距离是4cm的一点A在圆________.

　　13．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC=70°，则∠OBC=________.

　　14．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则
　　　　PA=_______，PB=________，PC=_______，AC=______，BC=______，∠AOB=________．

　　15．如图所示，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线，交PA及PB于D、
　　　　E两点，若PA=PB=5cm，则△PDE的周长是_______cm.

　　16．如图所示，△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F，若AB=9，AC=7， CD=2，则BC=______.

　　17．如图所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB的________．

　　18．已知两圆直径为3+t，3-t，若它们圆心距为t，则两圆的位置关系是______.

　　19．⊙O的半径为6cm，P是⊙O外一点，且OP=10cm，则当⊙P的半径为_______时，两圆相切.

　　20. 两圆半径之比为3: 5， 外切时圆心距等于24cm， 则两圆内切时的圆心距d=_______.

三、解答题
　　21. 通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在离三个小区距离都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

　　22．如图所示，两个同心圆的圆心O，大圆的弦AB是小圆的切线，切点为C.求证:C是AB的中点.

　　23．如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．

能力提升
　　1．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半
　　　 径为2，则BC的长为( )

　　A．2　　　 B．1 　　　C．1.5　　　 D．0.5

　　2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与轴相切于点Q，与轴交于M(0，2)，N(0，8)
　　　 两点，则点P的坐标是( )

　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．

　　3．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆与点运动所形成的⊙O交于点，现测得
　　　 ，．⊙O的半径，此时点到圆心的距离是______cm．

　　4．如图，是⊙O的直径，点在的延长线上，过点作⊙O的切线，切点为，若
　　　 ，则______．

　　5．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm，
　　　 ⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.

　　6．两圆的圆心距d=8，两圆的半径长是方程x2-7x+12=0的两根，则这两个圆的位置关系是______.

　　7．如图所示，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A=70°，求∠BOC的度数.

　　(1)变式一:在△ABC中，点O是△ABC的外心，∠A=70°，求∠BOC的度数.
　　(2)变式二:如图所示，在△ABC中，⊙O与AB、BC、AC所截得的线段DE=FG=MN，∠A= 70°，求∠BOC的度
　　　 数.

　　8．如图所示，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺( 尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径).请配合图形，文字说明测量方案，写出测量的步骤(要求写出两种测量方案).

　　9．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，求证：AD是⊙O的切线.

　　10．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点，过A、B、D三点作⊙O，交BC于E点，求证：BC=BD+AD.

答案与解析
基础达标
一、选择题
　　1.B 2.C 3.B 4.B 5.C　　 6.B 7.A 8.B 9.C 10.C

二、填空题
　　11．无数，无数，线段PQ的垂直平分线，一个，三边中垂线
　　12．外 　　　　 13．20° 　　　　 14．，，，，，120° 　　15．10
　　16．6 　　　　　17．垂直平分线　　18．内切 　　　　19．4cm或16cm 　　　　　20．6cm

三、解答题
　　21. 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点O即为垃圾回收站所在的位置．

　　22．证明：连结OC，
　　　　　　　∵AB为小圆的切线，
　　　　　　　∴OC⊥AB，
　　　　　　　∴AC=BC，即C 为AB的中点.

　　23．证明：连结AB、AD，
　　　　　　　由AC为⊙O1直径，得∠ABC=90°，
　　　　　　　则AD为⊙O2直径，即O2为AD中点，
　　　　　　　∴CD=2O1O2=4．

能力提升
　　1. B(提示：连结OD) 　　2. D　　 3. 7.5 　　4. 40°(提示：连结OC)　　 5. 　　6. 外离
　　7．解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，
　　　　　 ∵O是△ABC内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
　　　　　　∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°，
　　　　　　∴∠BOC=180°-55°=125°.
　　　　　　(1)变