秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第5课时 判定两个直角三角形相似教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

22.2 相似三角形的判定
第5课时 判定两个直角三角形相似
教学目标
【知识与技能】
使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
重点难点
【重点】
直角三角形相似定理的应用.
【难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
教学过程
一、复习引入
师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?
学生回答:5种.
师:哪5种?
教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.
师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?
生:作相似证全等或作全等证相似.
师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?
生:记得.
师:请你叙述一下.
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.推理证明.
师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?
教师多媒体课件出示:

如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?
师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?
学生思考、讨论后回答.
师:我们知道了哪些条件?
生甲:两个直角对应相等.
生乙:两边对应成比例.
师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?
生:还有剩下的一边也是对应成比例的.
师:为什么要这样添加呢?
生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.
师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?
学生思考.
生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.
师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.
学生证明并修改.
证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.
∵BC===k=kB'C',
∴===k,
∴△ABC∽△A'B'C'.
师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
2.例题.
教师多媒体课件出示:
【例】　如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?

解:∵∠ABC=∠CDB=90°,
当=时,△ABC∽△CDB.
即=,BD=.
又当=时,△ABC∽△BDC,
即=,CD=.
BD2=a2-()2,BD=.
答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.
三、练习新知
师:请同学们看课本84页练习1后回答.
生甲:△ABF和△ACE.
生乙:△EDB和△FDC.
师:下面请同学们完成第2题.
证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.
∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),
又∠ADC=∠CDB=90°,
∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).
(2)∴∠B=∠B(公共角),
∠ACB=∠CDB,
∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).
∴∠A=∠A(公共角).
∠ACB=∠ADC,
∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).
师:很好!现在请同学们看第3题.
学生计算后回答,然后集体订正得到:
解:(1)相似.证明如下:
∵BC===6,
∴==,==,
∴=,
∴这两个直角三角形相似.
(2)相似.证明如下:
∵A'B'===15,
∴==,==,
∴=,
∴这两个直角三角形相似.
四、巩固提高
师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.

1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为(　　)
A.3m
B.0.3m
C.0.03m
D.0.2m
【答案】B
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC的长为(　　)

A.2
B.
C.2
D.4
【答案】B
3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是(　　)
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3BC,A'B'=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8
【答案】D
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF=　　　　. 
【答案】

第4题图

第5题图

5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM=　　　　时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点) 
【答案】或

　　6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.
【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.
五、课堂小结
师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.
教学反思
教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:
(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?
(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)
(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?
(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)
探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.