山东省滕州市洪绪中学九年级数学上册《1.4 角的平分线（1）》教学案 北师大版 北师大版.doc

1.4角的平分线（1） 学习目标：1通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力教学重点:掌握角平分线定理及逆定理.教学难点:运用角平分线定理及逆定理进行证明、计算、作图.教法与学法：我设计的思路是先让学生去猜测结论，然后再动手验证自己的猜想，遇到困难时可以在组内相互交流、探讨，然后以组为单位汇报成果或困惑，最终达成共识.对于本节课的难点，我设计了三个层次，先运用事例激发学生兴趣，再根据知识回顾小组合作进行对知识推理论证，第三个层次是通过应用来感受逻辑推理过程.这样设计，是为了给学生们足够的思维空间，当学生“够不到”时，我就设计一个“台阶”，如果还“够不到”，就再设计一个台阶.我设计了第一个层次，为他们提供了这样一个平台，体现了教师是数学学习的组织者.而第二、第三个层次，则体现了教师是数学学习的引导者.在这三个层次中，学生始终是数学学习的主人.教学准备:直尺、量角器、圆头剪刀.教学过程:一、创设情景，导入新课 师：演示课件：两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人.小猪看重了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它么？ 生：（非常感兴趣）生1：任意选一点.生2：在角平分线线上的任意一点.师：把河的两边近似看成角的两边，房子到河边的距离 就是角平分线上的点到角两边的距离（演示课件），大家注意，这些距离它们之间有什么关系，这就是今天我们要研究的内容.师：板书课题 1.4角的平分线（1）【设计意图】从实物中抽象出数学模型，体现出数学来源于实践，展现了学生由“感性”到“理性”的认识过程.教学效果：学生积极性都很高，为本课的学习开了个好头.二、复习回顾，合作探究（先自主，再小组合作：分析出已知求证证明，组内交流，相互释疑，再以组为单位，汇总成果或困惑，全班展示）1前置准备角平分线的定义：_2自主学习：问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？师我们得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流生已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E求证：PDPE证明：12，OPOP，PDOPEO90，PDOPEO(AAS)PDPE(全等三角形的对应边相等)(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)师我们用公理和已学过的定理证明了我们得出的结论我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？师我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题你能写出这个定理的逆命题吗？我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题生如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上生我觉得这个命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点师这位同学思考问题很仔细事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180的角的内部，其余部分为角的外部如上图所示，到AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在AOB内部的射线)才是AOB的平分线因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？生在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上师它是真命题吗？生没有加“在角的内部”时，是假命题但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题师你能证明它吗？(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)生证明如下：已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D、E为垂足且PDPE，求证：点P在AOB的角平分线上证明：PDOA，PEOB，PDOPEO90在RtODP和RtOEP中OPOP，PDPE，RtODPRtOEP(HL定理)12(全等三角形对应角相等)师逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理给它起个名字吗？生我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了师很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下它的内容：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上定理归纳：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上问题3合作交流：（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.师我们证明了角平分线的性质定理和判定定理你能用什么办法平分一个已知角呢？请在小组内交流生可以用量角器生使用三角尺，也可以平分一个已知角生如果有角尺的话，用角尺也可以平分一个已知角师很好！但我们今天要学习的是用直尺和圆规平分一个已知角你能写出这个尺规作图的已知和求作吗？已知：AOB(如图)求作：射线OC，使AOCBOC作法：1在OA和OB上分别截取OD、OE，使ODOE2分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C3作射线OCOC就是AOB的平分线(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)师我们能用尺规作一个已知角的平分线，请你说明OC为什么是AOB的平分线，与同伴交流生从作图的过程中，不难发现ODOE，CECD，OCOC，OCEOCD(SSS)12，即OC是AOB的角平分线问题4归纳总结：1.角平分线的性质及判定的内容是什么？ 2.如何用尺规作已知角的平分线？【设计意图】设计这一环节，是为了让学生经历探索角平分线性质定理及逆定理的过程，通过猜想、验证、交流等一系列活动既发展学生的逻辑思维能力，同时有利于学生对角平分线性质定理及逆定理的理解.教学效果：引导学生复习回顾，先自主后合作地分析已知求证和证明过程，既加深了对角平分线性质定理及逆定理的理解，同时也加强了学生的演绎推理能力.三、问题探究，合作竞学1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且12，.求证：OB=OC分析：要证OB = OC，只需要证明RtBODRtCOE，为此,还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得.证明: 12， CDAB，BEAC，垂足分别为D、E OD = OE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） CDAB，BEAC OBDOEC=90在ODB和OEC中OBDOEC OD = OE BOD=COEBODCOE (SAS)OB=OC2如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC.求证：1 =2.分析：要证OB = OC，只需要证明RtBODRtCOE，为此,还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得.证明：CDAB，BEAC OBDOEC=90 在ODB和OEC中OBDOEC BOD=COE OB=OCBODCOE (AAS)OD = OE又CDAB，BEAC1 =2（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）3（选做）如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E.(1)已知CD = 4cm，求BE的长；(2)求证：AB = AC + CD.分析：此题较难，但通过上面的分散难点的例题，降低了难度。(1)解：AC = BC，C = 90 B=45 又 DEABBDE=B=45BE=DEC = 90，AD是ABC的角平分线，DEABCD=DE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）CD = 4cmBE= 4cm(2)证明：AD是ABC的角平分线 CAD=BADDEAB C = 90C =AED= 90又AD=ADACDAED(AAS)AC=AE由（1）可知 CD=BEAB = AC + CD【设计意图】：“几何难题”，开阔学生的视野，体会数学字的探索精神。鼓励学生独立思考，规范解题过程。学生勇跃的回答，在思维碰撞的过程中，学生思维敏捷性得到了训练，学的知识得到巩固.“让好学生吃饱，学困生吃好.”教学效果：通过解决问题，学生能够熟练定理，进一步强化演绎推理能力。四、归纳小结，认知升华教师活动：本节课你学会了什么？教师：加以强调定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).、逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).用尺规作角的平分线.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.【设计意图】：通过对以上问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，让学生对知识有一个沉淀、吸收的过程.让学生畅谈自己学习的体会，通过教师为学生提供的交流互动的平台，使学生倾听别人的想法、意见，从而不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.五、当堂达标1与相交的两直线距离相等的点在（ ） A、一条直线上 B、一条射线上 C、两条互相垂直的直线上 D、以上都不对2AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_.3在RTABC中，C=90，AD是BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是_.4如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A、B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.五、拓广探索 如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CEAG于E，CFAB于F， （1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外） （2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.六板书设计：1.4角的平分线（1） 一、基础知识 1 定理 角平分线上的点到这个角 2 . 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相的的两边距离相等. 点,在这个角的平分线上.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点, PA=PB, PDOA,PEOB, (已知),PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) 点P在AOB的平分线上.PD=PE (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.) 点,在这个角的平分线上. ) 3 . 能用尺规作一个已知角的平分线 二、典型题目三、质疑解惑 七教学反思：就学生目前所学的情况来看，要想独立书写推理过程还是有困难的，特别是写出已知求证.但是，如果不进行这方面的训练，学生永远不会进步.因此，每学一个定理，我都引导学生写出定理的符号表示，给学生今后书写推理过程奠定基础.同时，我总会设计一些简单的题目，推理步骤一般仅限于两步到四步，让学生很轻松地就能完成.目的是帮助学生建立信心，让学生在学习的过程中体验到成就感，满足感 .以往的教学证明，有一些学生通过这种训练，真的可以书写出完整或不完整的两步或三步的推理过程，这让我惊喜.因此，我一直坚持这种训练方式.注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程在证明的选题上，注意了减缓坡度，循序渐进在开始阶段，证明方向明确，过程简单，书写容易规范化，这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容通过精心角平分线的证明问题，减缓学生几何证明的坡度二、不足之处1、学生缺乏具体的自主探究几何的机会，只是培养了学生的几何证明思路2、没有理论结合实际生活通过确定小猪房子的位置的问题引出“到角平分线的两边距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际需要，但是教学上由于时间紧并没有很好体现