山东省滕州市洪绪中学九年级数学上册《3.1.3 三角形的中位线》教学案 北师大版 北师大版.doc

31.3 三角形的中位线 教学目标：1理解三角形中位线的概念2会证明三角形的中位线定理3能应用三角形中位线定理解决相关的问题教学重点：三角形中位线的性质和应用教学难点：正确的理解题意，发现证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用教法及学法指导：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法，先获得结论再去证明在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性本课时的学习内容，关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，发展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.课前准备：教师：多媒体课件，若干个一般三角形，作图工具一套；学生：若干个一般三角形，剪刀，作图工具一套教学流程图创设情境，提出问题合作交流，尝试探究拓展创新，智海扬帆梳理回放，反思提高当堂达标，巩固拓展教学流程教学过程：一、创设情境，提出问题师：同学们先看一组图片，这些图片给你留下了怎样的印象？ 生:观察得出：三角形的中位线的形象.师：板书课题.设计意图：教师通过多媒体展示现实生活中的三角形中位线形象,让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系,提高学生的学习兴趣.二、合作交流，尝试探究师：提出问题 1.（大比拼）你能把任意一个三角形剪一刀，分成两部分，再拼成个一平行四边形吗？生:操作（1）剪的一个三角形，记为ABC（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE (3)沿DE将ABC剪成两部分，并将ABC绕点E旋转180，得四边形BCFD师： 2思考：四边形ABCD是平行四边形吗？生:是师： 3探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？启发学生逆向类比猜想：DEBC，DEBC由此引出：三角形中位线的定义和性质.师：三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.生：请画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同（三角形中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形中线一端点是三角形的顶点、另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点）师：三角形的中位线定义的两层含义D、E分别为AB、AC的中点DE为ABC的中位线 DE为ABC的中位线 D、E分别为AB、AC的中点师： 问题：学生观测前面画出的三角形的中位线，并回答问题：一个三角形共有几条中位线？师：提出问题：假若刚才操作能成功，那么三角形的中位线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？学生活动：用拼图来辅助思考和观察，得出初步结论.教师活动：根据学生结论，操作几何画板，观察结论是否正确；最后得出一个命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.师：这个结论是否具有普遍性，还得从理论上加以证明。证明这个命题：命题：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半已知：如图，DE是ABC的中位线求证：DE/BC，DEBC(教师活动：利用多媒体显示引导学生分析，得出证明思路，后由学生口述出定理的证明过程，教师板书出证明格式)证明：延长DE至F，使EFDE，连接CFAECE，AEDCEF，ADECFEADCF，ADEFBDCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DEBC定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半应用时书写：DE是ABC的中位线， DE/BC，DEBC师：还有其他方法进行证明吗？多种思路来探索生:思路1如图1，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，去证ADECFE生:思路2如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，连结AF、DC，去证，四边形ADCF是平行四边形生:思路3如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结CF、CD、FA，去证，四边形ADCF是平行四边形生:以上三种思路，关键是证明四边形BCFD是平行四边形师小结：以上各种证明方法，都是将问题转化到平行四边形中去解决不同的转化方法引出了不同的证明方法，这体现了数学中的转化归纳的重要思想师拓展：利用这一定理，你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗？生:（口述理由）设计意图：由通过学生探究教学，自然顺畅地引出三角形中位线的概念通过画图，让学生熟悉图形特征，加强对三角形中位线的感知，并通过与已学的三角形中线概念作比较，以及对定义的两层含义的分析加强对三角形中位线概念的理解鼓励学生，积极思考、大胆猜想，证明完善后提出三角形中位线定理，这符合定理产生的过程，让学生学会科学地研究问题和解决问题，培养学生严谨的学习作风 BCDGFEHA三、拓展创新，智海扬帆师：同学们请看下面这个图形：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流生:已知：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.BCDGFEHA求证：四边形EFGH是平行四边形生一：连结AC，证：EFGH ，EFGH生二：连结BD，证：EHFG，EHFG生三:连结AC、BD证:EFHG， EHFG生四：连结AC、BD证：EF=HG， EH=FG师生小结：以上各种证法，关键在于添加适当的辅助线，构造出三角形中位线定理的条件，结合平行四边形的各种判定方法，形成不同的证明方法。这里把四边形问题转化为三角形的问题来解决，运用了化归思想。生证明：连接ACE、F分别是AB、BC边的中点G、H分别是CD、AD边的中点EFAC ， EFAC ，GHAC ,GHACEFGH EFGH四边形EFGH是平行四边形师：你敢应战吗？1.顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是_ _2.顺次连结矩形各边中点所得图形是_. 3.顺次连结菱形各边中点所得的图形是_4.顺次连结正方形各边中点所得的图形是_5.顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是_6.顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_7.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.）四、梳理回放，反思提高通过今天的学习，你是否对三角形的中位线有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？课件投影：知识方面：三角形的中位线的定义及其性质定理定理应用时书写时应为：点D、E分别是AB、AC的中点，DE/BC，DEBC技能方面：中位线定理证明过程中辅助线的添加，方法总结：在解决“倍分”问题的时候，或问题中有中点时通常要考虑用三角形的中位线。（学生小结，教师补充）设计意图：提高学生归纳总结能力，让学生在归纳中获取新知，巩固强化本节课所学内容，培养科学的学习习惯五、当堂达标，巩固拓展1如图,AFFDDB，FGDEBC，PE1.5,则BC_2. （2008南京修改）如图，电灯P在横杆的正上方，AB2m，AB在灯光下的影子为CD， 是的PCD中位线，则CD= 3如图3-4-17，A1、B1、C1分别为ABC的三边中点，若ABC的周长为a，则A1B1C1的周 ；A2、B2、C2分别为A1B1C1的各边中点，A3、B3、C3分别为A2B2C2的各边中点，An、Bn、Cn分别为An-1Bn-1Cn-1的各边中点，则AnBnCn的周长为 .BCFEGPDA设计意图：通过针对性的简单应用，加深理解本课新知，而不是仅仅停留在了解记忆的层面 板书设计：3.1.3平行四边形（三）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半应用时书写：DE是ABC的中位线，DEBC，DEBC已知：如图，DE是ABC的 中位线求证：DEBC，DEBC证明：延长DE至F，使EFDE，连接CFAECE，AEDCEF，ADECFEADCF，ADEFBDCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DEBCADBD1.顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是_ .2.顺次连结矩形各边中点所得图形是_. 3.顺次连结菱形各边中点所得的图形是_4.顺次连结正方形各边中点所得的图形是_ 5.顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是_. 6.顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_7.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_教后反思:本节课引导学生自主学习，通过讨论交流进行新知的总结归纳，教师在学生探究学习过程中尽力成为一个引导者、合作者、组织者，适当放开学生的手、口、脑，使学生充分表现总结的潜力与智慧，表现真实的思维和真实的自我，让数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程成功体验：本节课能充分利用现实生活和数学教材中的素材，激发学生学习的积极性，在得出结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量和证明、分类和转化、类比等. 通过小组合作探索定理的证明过程，为学生提供展示自己的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学存在问题：本节课容量较大，教学时要注意好节奏. 在教学中，学生动手操作和画图速度较慢，可以通过提前布置家庭作业让学生复习步骤后自己预习来解决