材料力学练习4.doc

  第七章 应力状态与强度理论1
　重点
 1、 一点的应力状态的概念； 2、 主应力、主平面的概念； 3、 应力状态的分类； 4、 平面应力状态分析的解析法； 5、 平面应力状态分析的应力圆法； 6、 广义虎克定律以及其应用；
难点
 1、提取一点的应力状态； 2、主平面的方位； 3、最大剪应力的数值及其所在的方位； 4、广义虎克定律的应用；
基本知识点
 1、 一点的应力状态的表示方法和应力状态的分类； 2、 主应力、主平面、主单元体的概念； 3、 压力容器；4、 解析法和图解法分析平面应力状态； 5、 三向应力状态的概念； 6、 已知一个主应力求另外二个主应力； 7、 三向应力圆草图； 8、 复杂应力状态下的广义胡克定律及其工程应用； 9、 复杂应力状态下应变比能的概念；
      判断           一点的应力状态      
1、“包围一点一定有一个单元体，该单元体各面只有正应力而无剪应力。”
　 答案     此说法正确
　 答疑    包围一点的单元体一定有一个主单元体。
2、“单元体最大剪应力作用面上必无正应力”
　 答案     此说法错误
　 答疑 在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。
3、”单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面”
　 答案     此说法错误
　 答疑无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零。
4、“通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面。”
　答案     此说法正确
　 答疑     任何的点都可以找到它的主单元体。
5、“受拉构件内B点的正应力为σ=P/A”

　 答案     此说法错误
　 答疑    受拉构件内的B点在α＝0度的方位上的正应力为σ=P/A。
6、受拉构件内，过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体，“此单元体的四个面上均有正应力和剪应力，此单元体处于二向应力状态“

　 答案    此说法错误
　 答疑 过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体的四个面上均有正应力和剪应力存在，但此单元体是单向应力状态，不是二向应力状态。判断单元体是几向应力状态的依据是单元体的主应力有几个不为零，该单元体的主应力为σ1= P/A、σ2=0、σ3=0，固是单向应力状态。
7、“弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态。”
　 答案   此说法正确
　 答疑     最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。
8、“在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上剪应力一定是零”
　 答案    此说法正确
　 答疑     最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零。
9、“过一点的任意两平面上的剪应力一定数值相等，方向相反”
　 答案     此说法错误
　 答疑     过一点的两相互垂直的平面上的剪应力一定成对出现，大小相等，方向同时指向共同棱边或同时远离共同棱边
10、“梁产生纯弯曲时，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力均等于零”
　 答案 此说法错误
　 答疑 梁产生纯弯曲时，横截面上各点在α＝0的方位上剪应力为零，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力不一定为零。
11、“从横力弯曲的梁上任意一点取出的单元体均处于二向应力状态“
　 答案   此说法错误
　 答疑   从横力弯曲的梁的横截面上距离中性轴最远的最上边缘和最下边缘的点取出的单元体为单向应力状态。
12、“受扭圆轴除轴心外，轴内各点均处于纯剪切应力状态”
　 答案   此说法正确
　 答疑   在受扭圆轴内任意取出一点的单元体如图所示，均为纯剪切应力状态。

      选择            一点的应力状态       
1、在单元体中可以认为： 。
A：单元体的三维尺寸必须为无穷小；     B：单元体必须是平行六面体。
C：单元体只能是正方体。               D：单元体必须有一对横截面
　 答案         正确选择：A
　 答疑     单元体代表一个点，体积为无穷小。
2、滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为 应力状态。
A：二向； B：单向 C：三向 D：纯剪切
 　答案        正确选择：C
　 答疑     接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。
3、厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于 。
A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间
 　答案        正确选择：B
　 答疑     厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。
4、在1、2、3、4四点的应力状态中， 是错误的。

　 答案          正确选择：4
　 答疑 在点4处由弯矩产生压应力；在剪力Q的作用下产生剪应力；但点4处的剪应力的方向错误。在单元体的右侧截面上剪应力的方向向上。
5、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中 。
A：纵、横两截面均不是主平面；  B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；
C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；
　 答案正确选择：C
　 答疑 在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx=pD/4t、σy=pD/2t。单元体上无剪应力的作用，固纵、横截面均为主平面。
6、水管结冰，管冻裂而冰不坏。是因为 。
A：冰强度高； B：冰处于三向受压； C：冰的温度高； D：冰的应力等于0； 　 答案         正确选择：B 　 答疑 水结冰后体积增大，向三个方向膨胀，而水管阻碍了冰的膨胀，使得冰处于三向压缩应力状态，固冰不易发生破坏；而水管简化为圆柱型容器，处于二向拉伸应力状态，容易发生破坏。
        填空        一点的应力状态         
1、钢制直角曲拐的直径为d，受力如图，用单元体表示危险点的应力状态为： 。

　 答案
　 答疑
危险点位于固定端处截面的最上端。内力的大小为：弯矩M=PL、扭矩T=Pa。在危险点的横截面上有弯矩产生的拉应力σ=M/Wz=32PL/πd3，有由扭矩产生的扭转剪应力τ=T/Wt=16Pa/πd3。
2、图示中的a、b两点的应力状态是否正确？

　 答案  错误
　 答疑 扭转剪应力的作用面错误。在此二点的横截面上存在由扭矩产生的剪应力，此剪应力应该位于横截面上，而图示中单元体的扭转剪应力的位置不是横截面。正确的应力状态是：

3、图示中矩形截面悬臂梁的a、b两点的应力状态是否正确？

 　答案        正确。
　 答疑 a点所在的截面既有剪力又有弯矩，但a点位于中性层处，弯矩产生的正应力为零，只有剪力产生的剪应力，应力状态为纯剪切；b点位于中性层偏上处，但b点所在的截面只有弯矩，没有剪力，弯矩在该点产生拉应力。
4、单向拉伸时的横截面、斜截面；圆轴扭转时表面上一点；弯曲变形时最上、最下、及中性层上的点各处于 向应力状态
 　答案        单向、单向；二向（或纯剪切应力状态）；单向、单向、二向（或纯剪切）。 　 答疑 单向拉伸时的横截面、斜截面上的点均处于单向应力状态，其三个主应力分别为σ1=P/A、σ2=0、σ3=0；
圆轴扭转时表面上一点为纯剪切应力状态，是二向应力状态，其三个主应力分别为σ1=τ、σ2=0、σ3=－τ；
弯曲变形时最上边的点处于单向拉伸应力状态，其三个主应力分别为σ1=M/WZ、σ2=0、σ3=0；最下边的点处于单向压缩应力状态，其三个主应力分别为σ1=0、σ2=0、σ3= －M/WZ；
中性层上的点只有剪力产生的剪应力，处于纯剪切应力状态，是二向应力状态，其三个主应力分别为σ1=τ、σ2=0、σ3=－τ。
5、梁的总长为L，受力如图，外伸部分长为ａ。画出A、B、C、D、E五点的应力状态。

　 答案
　 答疑梁的内力图为：

A点所在的截面弯矩为零，剪力为零，固A点无应力的作用。
B点所在的截面弯矩为负，且B点位于中性层的上部，固弯矩在B点产生拉应力；B点位于横截面的任意位置处，固剪力在B点产生剪应力。
C点所在的截面剪力为零，固C点无剪应力；C点所在的截面弯矩为负，且C点位于中性层的下部，固弯矩在C点产生压应力。
D点所在的截面处剪力为零，固D点无剪应力；D点位于中性层处，固弯矩在D点不产生正应力。
E点所在的截面弯矩为负，且E点位于中性层的上部，固弯矩在E点产生拉应力；E点所在的截面剪力不为零，但E点位于截面的最上端，固剪力在E点不产生剪应力。
   简述          一点的应力状态       
1、如图所示，A、B两点的应力状态是否相同？为什么？

　 答案         相同
　 答疑 尽管A、B两点的原始单元体不同，但主应力的大小和方位相同，其σ1＝N/A=q、σ2=0、σ3=0，均为单向应力状态。

2、节日里儿童玩的气球有近似于球形和圆柱形的。若二者的强度极限、厚度、直径均相同，充气时它们的爆破压力是一样的吗？为什么？
　 答案     不一样
　 答疑近似球型的气球处于二向等值拉伸应力状态，其最大应力为pD/4t；

近似圆柱型的气球处于二向不等值拉伸应力状态，其最大应力为pD/2t；

  3、由钢板铆接而成的压力容器，为什么在纵向接缝处单位长度上所需的铆钉数要比周向接缝处多？

　　 答疑 取纵向接缝处的一个铆钉间距为研究对象，在横截面上有内压引起的拉应力，大小为pD/2t，如图所示。

再取周向接缝处的一个铆钉间距为研究对象，在横截面上有内压引起的拉应力，大小为pD/4t如图所示。

在一个铆钉的间距内，纵向接缝处的铆钉承受的剪力大小为Q1＝(pD/2t)×S1t＝pDS1/2 ；周向接缝处的铆钉承受的剪力的大小为Q2＝(pD/4t)×S2t＝pDS2/4；如果纵向接缝与周向接缝处的铆钉间距相同，则纵向接缝处的铆钉承受的剪力大，固纵向接缝处的铆钉的间距要小。
4、有一球体表面受均布压力，另一立方体表面也受均布压力，压力的压强均为p，问二者的应力状态是否相同？球心与立方体中心的主应力是多少？

　 答案         应力状态相同；在中心点处σ1=σ2=σ3=－p
　 答疑    均处于三向等值压缩应力状态，三个主应力的大小相等。
   判断        二向应力状态分析          
1、“单元体最大剪应力作用面上必无正应力”
　 答案 此说法错误
　 答疑         在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。
2、“纯剪状态是二向应力状态”
　 答案 此说法正确
　 答疑     纯剪切状态的三个主应力为σ1=τ、σ2=0、σ3=－τ，是二向应力状态。

3、“在任意的二向应力状态中， σx+σy=σmax+σmin=σα+σα+90“
　 答案 此说法正确
　 答疑 在任意的二向应力状态中，任意的两个相互垂直方向的正应力的代数和为常量。
4、“两个二向应力状态叠加仍然是一个二向应力状态“
　 答案 此说法错误
　 答疑    应力可以叠加，应力状态不能叠加。
5、“单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或三向均匀压缩应力状态的应力圆相同，且均为σ轴上的一个点”
　 答案 此说法错误
　 答疑 单向应力状态的应力圆为与铅垂轴相切的圆；三向均匀拉伸或三向均匀压缩的应力圆为点圆。
6、“纯剪切应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力的数值相等，且作用在同一平面上。”
　 答案 此说法错误
　 答疑 由纯剪切应力状态的应力圆可见：纯剪切应力状态的单元体的最大正应力和最大剪应力的数值相等，但作用面成45度角。

　7、“铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰却不会破坏，这是因为冰的强度比铸铁的强度高”
　 答案 此说法错误
　 答疑 冰处于三向几乎等值压缩应力状态，此种应力状态不易发生破坏；而水管处于二向不等值拉伸应力状态，且铸铁材料不抗拉，导致铸铁水管因冰膨胀被胀裂。
8、“若单元体的σx=σy=τxy=50Mpa，则该单元体必定处于二向应力状态。”
　 答案   此说法错误
　 答疑 根据二向应力状态的解析法分析，主应力的大小为σmax=(σx+σy)/2+[((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=50+(02+502)1/2=50＋50=100 MPa，σmin=(σx+σy)/2-[((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=50-(02+502)1/2=50－50=0。固单元体的三个主应力为σ1=100 MPa、σ2=0 MPa、σ3=0 MPa，为单向应力状态。
    选择        二向应力状态分析     1、图示中的单元体属于 应力状态。
A:单向；    B：二向；        C：三向；    D：纯剪切；

　 答案正确选择：B
　 答疑     最大、最小主应力的值不相等。
2、下图中： α+β=90，则
A：σα>0 σβ>0 ； B：σα<0 σβ<0 C：σα=σβ    D:σα=-σβ

 　答案        正确选择：D
　 答疑在此二向应力状态中σx＋σy＝0。根据在二向应力状态中任意两个相互垂直方向上的正应力的代数和为常量，固有σα＋σβ＝σx＋σy＝0。
3、图示中的拉板，A点应力状态的应力圆是 。

   　 答案         正确选择：B
　 答疑     A点位于尖角处，既无正应力又无剪应力。
4、图示中的单元体最大剪应力的作用面是 的阴影面。

　 答案 正确选择：B
　 答疑 图示中的三个主应力为σ1=120、σ2=80、σ3=－40。最大剪应力所在的面分别与σ1、σ3所在的面互成45度角。σ1位于前后侧面，σ3位于左右侧面，固最大剪应力位于B所示的平面内。
5、图示中的单元体的最大主应力σ1和最大剪应力τmax的大小情况分别为： 。
A：σ1>σ、τmax>τ；                 B：σ1>σ、τmax<τ；
C： σ1<σ、τmax>τ；                D： σ1<σ、τmax<τ；

 　答案  正确选择：A
　 答疑 图示中的单元体σ1＝σmax=σ/2+((σ/2)2+τ2)1/2 >σ、 τmax=((σ/2)2+τ2)1/2>τ
6、图示中的单元体的最大主应力和最大剪应力分别为： 。
A：80MPa、55 MPa               B：80 MPa、30 MPa
C：90 MPa、50 MPa              D：90 MPa、100 MPa

　 答案         正确选择：A
　 答疑 80MPa所在的截面无剪应力，固80MPa是其中的一个主应力；将三维图形向左视图上投影得到纯剪切应力状态，纯剪切应力状态的最大最小正应力为＋30 MPa、－30MPa。固该单元体的三个主应力分别为σ1=80 MPa、σ2=30 MPa、σ3=－30 MPa。最大剪应力为[80－(-30)]/2=55 MPa。
7、图示中的各点的应力状态中，属于单向应力状态的是 。

　 答案         正确选择：a
　 答疑     σmax =(σx+σy)/2+ [((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=20+ (02+202)1/2=20+20=40 MPa；
    σmin=(σx+σy)/2-[((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=20-(02+202)1/2=20-20=0。
    固单元体的三个主应力为σ1=40 MPa、σ2=0 MPa、σ3=0 MPa。
8、图示中的单元体，如剪应力的方向改变，则 。
A：主应力大小和主平面方位都将改变；       B：主应力大小和主平面方位都不改变；
C：主应力大小不变、主平面方位改变；       D：主应力大小改变、主平面方位不变；

  　 答案         正确选择：C 　 答疑    主应力的大小与剪应力的方向无关，但主平面的方位与剪应力的方向有关。
      填空        二向应力状态分析          
1、图示中的单元体σα＝50MPa，则σβ＝ 。

 　答案σβ＝0
　 答疑 在此二向应力状态中σx＋σy＝100－50＝50。根据在二向应力状态中任意两个相互垂直方向上的正应力的代数和为常量，有σα＋σβ＝σx＋σy＝50,而σα＝50MPa，固σβ＝0。
2、图示中单元体的应力状态，材料的弹性模量E、泊松比ｕ均已知，则该单元体的最大剪应变为： 。

 　答案    γ＝σ(1+μ)/E
　 答疑 最大剪应变为γ＝τma x/G，而剪变模量G=E/2(1+μ)，最大剪应力为τma x=(σ1-σ3)/2=(σ-0)/2=σ/2。固最大剪应变γ＝σ/2/ E/2(1+μ)= σ(1+μ)/E。
3、图示中的单元体的三个主应力为： ， ， ；最大剪应力为 。

 　 答案     三个主应力分别为 ：54 MPa、26 MPa、 0；最大剪应力为：27 MPa
　 答疑
    σmax=(σx+σy)/2+[((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=40+(102+102)1/2=40+14=54 MPa，
    σmin=(σx+σy)/2-[((σx-σy)/2)2+τ2]1/2=40-(102+102)1/2=40-14=26 MPa。
    固单元体的三个主应力为σ1=54 MPa、σ2=26 MPa、σ3=0 MPa。最大剪应力为τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2＝27 MPa。
4、二向等值拉伸应力状态（a）和三向等值拉伸应力状态（b）的最大剪应力的关系

　 答案     τ2向max>τ3向max
　 答疑 二向应力状态的最大剪应力为τ2向max＝(σ1-σ3)/2＝σ/2；三向应力状态的最大剪应力为τ3向max＝(σ1-σ3)/2＝0；
5、某单元体的应力圆如图，其中：σ2= ,τmax= 。

  　 答案     σ2=－100 MPa、τｍａｘ＝100 MPa。
　 答疑 根据应力圆，得到单元体的三个主应力分别为σ1=0、σ2=－100、σ3＝-200。最大剪应力为τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2 ＝[0－(-200)]/2=100 MPa。
6、单元体的最大正应力为σmax= ，最大剪应力为τmax= 。

　 答案     σmax= 50 MPa、最大剪应力为τmax=50 MPa。
　 答疑 30MPa所在的截面无剪应力，固30MPa是其中的一个主应力；将三维图形向左视图上投影得到纯剪切应力状态，纯剪切应力状态的最大最小正应力为＋50 MPa、－50MPa。固该单元体的三个主应力分别为σ1=50 MPa、σ2=30 MPa、σ3=－50 MPa。最大剪应力为τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2 ＝[50－(-50)]/2=50 MPa。
7、简支梁在集中力P的作用下，中央截面下底边处B点的最大剪应力为 。

   答案    τｍａｘ＝3PL/8bh2
　 答疑 B点所在的截面弯矩为正，且B点位于截面的最下边缘处，固弯矩在B点产生拉应力，剪力在B点不产生剪应力；固B点的应力状态为单向拉伸，其三个主应力分别为：σ1=M/Wz=PL/8/bh2/6=3PL/4bh2、σ2=0、σ3＝0。其最大剪应力为τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2＝σ/2＝3PL/8bh2。
8、图示为一单元体的应力状态，若E、G、μ已知，则该单元体的最大剪应变γＭａｘ＝ 。

 　答案    γＭａｘ＝σ/G
　 答疑     三个主应力分别为σ1=σ、σ2=0、σ3＝-σ。其最大剪应力τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2＝σ。
    固最大剪应变γ＝τｍａｘ/G=σ/G。
9、用单元体画出图示应力圆所表示的应力状态，其中 σ2＝ ，τmax= 。

　 答案     σ2＝ -100MPa ，τmax=100MPa

　 答疑 应力圆与水平轴的交点坐标为主应力的大小，此时交点的横坐标均为负值，固判定单元体的σ1＝0，两个交点的坐标分别为σ2、σ3。
10、图示中的单元体的应力单位为Mpa，其中(a)为 ；(b)为 ；(c)为 ；
A：纯剪切应力状态； B：单向应力状态； C：二向应力状态； D：三向应力状态

　　 答案    正确选择：   B、D、A 答疑通过对a图分析得到它的三个主应力的大小分别为：σ1＝100、σ2＝0、σ3＝0，固为单向应力状态。对b图分析得到它的三个主应力的大小分别为：σ1＝40、σ2＝20、σ3＝-20，固为三向应力状态。对c图分析得到它的三个主应力的大小分别为：σ1＝25、σ2＝0、σ3＝-25，其单元体的两个主应力的数值相等，应力圆的圆心在原点、半径为25，固为纯剪切应力状态。
11、受力构件内一点的应力状态如图，若已知一个主应力为5MPa，则另一个主应力是 。
 A：－85 MPa B：85 MPa C：－75 MPa D：75 MPa

　 答案     正确选择：A
　 答疑     在二向应力状态中，任意两个相互垂直方位上的正应力的代数和为常量
 12、某二向应力状态的应力圆如图，其最大剪应力τｍａｘ＝ 。

 　答案        σ1/2
　 答疑     三个主应力分别为σ1>0、σ2>0、σ3＝0。其最大剪应力τｍａｘ＝(σ1-σ3)/2＝σ1/2。
13、图示中的单元体的应力状态是：

　14、图示中的单元体为 向应力状态。

 　答案        二向
　 答疑     图示中的单元体为纯剪切应力状态，三个主应力分别为σ1＝τ、σ＝0、σ3＝－τ。
5、与图示的应力圆对应的单元体为 向应力状态。

　 答案         二向
　 答疑    单元体的二个主应力不为零。
16、单元体的最大剪应力＝ 。

 　 　 答案    30MPa 　 答疑    σ1＝40、σ2＝20、σ3＝-20，τmax=(σ1－σ3)/2
   简述            二向应力状态分析        
1、分别画出铸铁试件在拉伸、压缩、扭转试验中，危险点的应力状态；在单元体上标出破坏面的方位；在应力圆上标出所对应的破坏点，并说明引起破坏的原因。
 　答案

　 答疑
拉伸破坏由危险点处的最大拉应力引起；压缩破坏由与轴线成45度角的最大剪应力引起；扭转破坏由与轴线成－45度角的最大拉应力引起。
2、用应力圆证明：在平面应力状态中，若某点的两个主应力的正负号相反，则该点必有两个正应力等于零的截面。
　 答疑 在平面应力状态中，若某点的两个主应力的正负号相反，说明应力圆与水平轴有两个交点，一个在原点的左侧，一个位于原点的右侧，如图所示。此圆与纵轴必定有两个交点，此二交点处的横坐标为零，纵坐标不为零；由于应力圆上的任何一点均代表一个平面。固两个交点处的横坐标为零说明：应力圆与纵轴的两个交点所代表的两个截面上的正应力为零。

　 3、根据剪应力互等定理，并结合杆表面上无剪应力的实际情况论证有任意形状截面的等直杆受扭时：①横截面上外棱角处（凸角）必无剪应力；②横截面上内棱角处（凹角）可能有剪应力
　　 答疑     设带有外棱角的构件的形状和受力如图

    取尖角处的应力状态

    由于单元体的两个面均为自由表面，固有σα＝0、τα＝0、σβ＝0、τβ＝0。因而得到尖角处的点应力圆如下

由此可见，该点处的应力圆为一个位于原点的点，应力圆的半径r=0，固得到尖角处τ＝0。
    设带有内棱角的构件的形状和受力如下图

    取图示中的点的应力状态 为

    由于单元体的上表面为自由表面，有σy＝0、τyx=τxy=0、σx≠0。单元体的应力圆为

由此可见，该点处的应力圆为一个与纵轴相切的圆，应力圆的半径r≠0，应力圆上除了与水平轴的两个交点之外的所有点的纵坐标均不为零，从而确定在该点除了与水平轴的两个交点所代表的方位之外的任何截面上τ≠0。
4、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪应力，那么斜边表示的截面上的正应力σ、剪应力τ各有多大？

 　 答疑
根据原始单元体的情况可得：σx=0、σy=0、τxy=τ，α=45o，代入任意斜截面的应力计算公式得到：σ45＝－τ；τ45＝0。
 5、在何种情况下，平面应力状态下的应力圆符合以下特征①一个点圆；②圆心在原点；③与铅垂轴相切； 
　 答疑     二向等值拉伸或二向等值压缩时应力圆是一个点圆；
当σ1＝－σ3或纯剪切时应力圆的圆心在原点处；
单向拉伸或单向压缩时应力圆与铅垂轴相切；
　 6、图示中的两种应力状态，是否有存在的可能？如有可能，则当α为何值时才有可能，并简述原因。应力的单位为MPa

　 答案 a图不存在； B图当α＝45度时存在。
　 答疑 代表a图中的两个平面的点在σ－τ坐标系下的位置分别如图。此二点在同一条铅垂线上，不能位于同一个圆上。固该两个平面上应力值对应的点不在同一个应力圆上，所以此种应力状态不存在。

代表b图中的两个平面的点在σ－τ坐标系下的位置分别如图。此二点在同一条水平线上，作此二点的连线的垂直平分线与水平轴的交点既为应力圆的圆心，此二点可以位于同一个圆上。通过几何分析得到该两点处的半径之间的夹角为90度，固当α＝45度时此种应力状态存在。

7、单元体各面上的应力如图，(1)分析该点的应力状态是平面应力状态还是空间应力状态；
(2)求最大剪应力；（应力的单位取MPa）

　 答案     平面应力状态， τ＝120
　 答疑40所在的平面为主平面，在另外两个方位上σx=σy=τxy，固最大最小正应力为200、0；单元体的三个主应力分别为σ1＝200 σ2＝0 σ3＝－40 ，τmax=(σ1－σ3)/2
判断      广义虎克定律
1、“一点沿某一方向上的正应力为零，则沿该方向的线应变也为零“
　 答案 此说法错误
　 答疑 某方向的线应变除了与本身方向上的正应力有关以外，还与另外两个与该方向相互垂直方位上的正应力有关。固沿此方向上的正应力为零，不能确定本身方向上的线应变也为零。
2、“纯剪状态的体应变为零“
　 答案 此说法正确
　 答疑     体应变与三个主应力的代数和成正比。纯剪切状态的三个主应力的代数和为零，固体应变为零。
3“应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立。”
　 答案 此说法正确
　 答疑         广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。
4、“若各向同性材料单元体的三个正应力σX>σY>σZ，则相应的三个线应变也是εX>εY>εZ。”
　 答案 此说法正确
　 答疑        在正应力较大的方位上线应变也一定较大。
5、“设一点处为非零应力状态，但三个主应力之和为零时，那么单元体的体积不变，而其形状将发生变化。”
　 答案 此说法正确
　 答疑 体应变与三个主应力的代数和成正比，固当三个主应力之和为零时单元体的体应变值为零，单元体的体积不变；
单元体为非零应力状态，其形状改变比能μf=(1+μ)[(σ1-σ2)2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2]/6E不等于零，固其形状将发生变化。
6、“在单元体的某个方向上有应变就一定有应力，没有应变就一定没有应力“
　 答案 此说法错误
　 答疑     该方向的线应变除了与本身方向上的正应力有关以外，还与另外两个与该方向相互垂直方位上的正应力有关。
7、“在构件中凡是剪应变不为零时，则相应的剪应力一定不为零”
答案此说法正确
　 答疑     某一面内的剪应变只与该面内的剪应力有关γ＝τ/G，剪应变不为零，则相应的剪应力一定不为零。
8、“纯剪切状态的单元体既有体积改变，又有形状改变”
　 答案     此说法错误
　 答疑 单元体的体应变与三个主应力的代数和成正比，而纯剪切状态的三个主应力的代数和为零，固没有体积改变；形状改变比能μf=(1+μ)[(σ1-σ2)2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2]/6E≠0，固纯剪切状态的单元体有形状改变。
   选择            广义虎克定律        
1、广义虎克定律εi=(σi-u(σj+σk)/E 适用于 。
A：弹性体； B：线弹性体； C：各向同性弹性体； D：各向同性线弹性体； 　
答案     正确选择：D
　 答疑     广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。
2、图示中单元体处于纯剪切状态，关于45度角方向上的线应变，现有四种说法，正确说法为 。
A：等于零；        B：大于零；        C：小于零；        D：不能确定；

　 答案     正确选择：C
　 答疑 根据斜截面上的应力计算公式得到σ45＝－τ、σ－45＝τ，代入广义虎克定律得到：ε45=(σ45-u(σ45+σz)/E=(－τ- uτ)/E=-τ(1+u)/E<0。
3、图示应力状态，下列各式中，正确的是 。
A: εZ>0            B: εZ=0            C:εZ<0            D: 不能确定

 　答案    正确选择：B
　 答疑     单元体中σx=0、σy=0、σz=0。代入广义虎克定律得到εz=(σz-u(σx+σy)/E=0。
4、工字形截面梁E＝200GPａ，在力偶M的作用下测定A处纵向线应变ε=3×10-4,那么梁内最大的正应力＝ 。
A：30MPａ ；B：60 MPａ；     C：120 MPａ D：180 MPａ

 　 答案     正确选择：C
　 答疑 由于A处应变片贴于纵向，固A处的纵向线应变ε=3×10-4相当于在0度方位上的线应变ε0。考虑到A点位于横截面的最上端，且A点所处的横截面上的弯矩为负，固弯矩在A点产生拉应力，且为单向应力状态，固A点的三个方位上的正应力分别为：σx=M/Wz、σy=0、σz=0。代入广义虎克定律有ε0=εx= (σx-u(σy+σz)/E,得到A处的纵向应力为σx=Eε0=60 MP。梁的危险截面发生在力偶作用面的右侧，其弯矩是A点所在截面的弯矩的2倍，固梁内的最大正应力发生在力偶作用面右侧的最上端，其大小为σx=2M/Wz＝120 MPａ。
5、在下列说法正确的是      。
A：在有正应力的方向必有线应变；            B：无正应力的方向必无线应变；
C：线应变为零的方向正应力必为零；        D：正应力最大的方向线应变也一定最大；
　 答案     正确选择：D
　 答疑    根据广义虎克定律εx=(σx-u(σz+σy)/E可知，在正应力最大的方向线应变也最大。
6、已知图示中单元体的σ1、σ2、E、μ,主应变ε1、ε2均已知，那么ε3＝。
A：-μ(ε1+ε2) B：-μ(σ1+σ2) /E                    C：-μ(σ1+σ2) /E D：0

 　答案    正确选择：B
　 答疑     由图示中的单元体得到σ3＝0，根据广义虎克定律ε3=(σ3-u(σ1+σ2)/E＝-μ(σ1+σ2) /E
7、现有两个单元体，比较εx与εy 。
A：εx、εy均相等； B：εx、εy均不等；
C：εx相等、εy不等； D：εx不等、εy相等。

 　答案          正确选择：A
　 答疑     根据广义虎克定律εx=(σx-u(σz+σy)/E可得线应变与剪应力无关，只与正应力有关。
8、图示中的应力状态的体应变分别为θ1、θ2、θ3，这三者的关系为： 。
A: θ1>θ2>θ3； B:θ1<θ2<θ3；        C: θ2<θ1<θ3； D:θ1=θ2=θ3；

　 答案     正确选择：D
　 答疑     体应变与三个主应力的代数和成正比，三图中的三个主应力的代数和均为120，固三图中的体应变相同。
9、某点的应力状态如图，当三个正应力不变，剪应力增大，那么关于εZ的说法正确的是： 。
A：不变；        B：增大；            C：减小；        D：无法判断。

　 答案     正确选择：A
　 答疑     线应变只与正应力有关，与剪力无关。
10、单向应力状态如图，材料的弹性摸量E，泊松比μ。σα、εα分别表示沿ｎ方向的正应力和线应变，下列四各结论正确的是： 。
A：α＝0，σα＝σ、εα＝σ/E            B：α＝45，σα＝σ/2、εα＝σ/2E
C：α＝90，σα＝0、εα＝0               D：α＝135，σα＝σ/2、εα＝(1-μ)σ/2E

　 答案     正确选择： A、D
　 答疑 α＝0表示的是截面的外法线与x轴重合，即以x轴为截面的外法线，此时σα＝σ、σα＋90＝0，代入广义虎克定律有εα＝(σn-u(σn+90+σz)/E=σ/E；
当α＝135时，代入任意斜截面的应力计算公式得到σα＝σ/2、σα＋90＝σ/2，代入广义虎克定律有εα＝(σn-u(σn+90+σz)/E=(σ/2- uσ/2)/E=(1-μ)σ/2E；
11、一个受静水压力的小球，下列结论