对勾函数的几点分析.doc

对勾函数的几点分析
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”
奇偶性与单调性
　　当x>0时，f(x)=有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当的时候
奇函数。
　　令，那么：
　　增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}
变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
渐近线：耐克函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。
对勾函数：图像，性质，单调性
均值不等式，

导数求解，

其它解法
对于这个函数f(x)=,
（1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；
（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；
（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。

高考例题：
已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞ )上是增函数．
（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值；
（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[&frac12; ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
　　当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值
　　f(x)=x+1/x
　　首先你要知道他的定义域是x不等于0
　　当x>0,
　　由均值不等式有：
　　f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
　　当x=1/x取等
　　x=1,有最小值是：2，没有最大值。
　　当x<0,-x>0
　　f(x)=-(-x-1/x)
　　<=-2
　　当－x=-1/x取等。
　　x=-1,有最大值，没有最小值。
　　值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
　　－－－－－－－－－－－－－－
证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2<b/a 则ax1x2-b<b-b=0 所以f(x1)-f(x2)<0，即x∈(0，√(b/a）)时，f(x)=ax+b/x单调递减； 当x∈(√(b/a），+∞)时，x1x2>b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。

重点（窍门）
　　其实对勾函数的一般形式是：
　　f(x)=x+a/x(a>0)
　　定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
　　值域为(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)
　　当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a
　　当x<0,有x=-根号a,有最大值是：－2根号a
　　对钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)
　　下面分情况讨论
　　(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,-根号a)上是增函数
　　(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数
　　(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数
　　（4）当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(根号a，+∞)上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。