华理高数答案第8章.doc

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第8章（之1）
第37次作业
教学内容：§8.2.1无穷级数的基本概念 §8.2.2收敛级数的基本性质

1． 选择题：
*（1）若级数的部分和，其一般项是 （ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
答：( D )

*（2）设级数收敛，其和为，则级数收敛于 （ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
答：（ B ）

*（3）若级数收敛，其和，则下述结论成立的是 （ ）
（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛．
答：（ C ）

**（4）指出下列命题中之正确者为 （ ）
（A）若，则收敛； （B）若，则收敛；
（C）若收敛，则； （D）若发散，则．
答：（ C ）

*2．若，则级数之和为______ ．
答：

**3．设单调减少，且收敛于0，问级数是否收敛？
答：不一定收敛。例如都单调减少而收敛于0，但发散，
而级数收敛．

4．利用定义判断下列级数的敛散性，若收敛则求其和：
*（1）；

解：级数的部分和

所以，故级数为发散．

*（2） ．
解：级数的一般项

级数部分和

所以，此即级数收敛，且其和为．

5．判断下列级数的敛散性：
**（1）；
解：，
因
故，所以发散．

**（2）；
解：记，由于，故发散．

**（3）．
解：发散．

**6．求级数之和．
解：已知
又 ，可得的部分和

从而， 因此原级数收敛，且
．

第8章（之2）
第38次作业
教学内容：§8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法

1． 选择题：
*（1）下列级数中，发散的是 （ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
答：（ B ）

*（2）下列级数中，收敛的是 （ ）
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
答：（ D ）

*（3）下列级数中，发散的是 （ ）
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
答：（ D ）

2. 判断下列级数的敛散性：
*（1）；
解：由于 ， 而 发散，
所以 发散．

*（2）；
解：由于 ，
故由比值判断法知 收敛．

*（3）．
解：，
由根值判断法知级数收敛．

**（4）；
解：由比值判别法

可见当时，级数收敛；当时，级数发散．

*（5）；
解：记，则 ,
而收敛，因此收敛．

*（6）；
解一：, 而收敛 , 故原级数收敛．
解二： ,
由于 ，故而级数收敛．

**（7）；
解：记，则 ，
而发散，故所论级数发散．

**（8）；
解：由于，而收敛，
所以原级数也收敛．

**（9）；
解：，
而发散， 故级数也发散．
**（10）；
解：
所以
又发散, 故发散．
***3．利用级数理论，证明时，是比高阶的无穷小．
证明：先判断级数的敛散性，由于 ,
所以，级数收敛，于是有 , 上式又可变为 ,
故当时，是比高阶的无穷小．
***4．将方程的正根按递增次序排列，得数列，试证明级数收敛，
而级数却发散．
证明：设， ，
则 在上严格单调，
又因 ， ，
则在内有且仅有一个实根．
又因 为上的一个根， 所以最小正根在上，
从而必有 ，
所以 ，而收敛，故收敛。
又 ，而 发散，故 发散．
***5．若数列为单增有界的正项数列，试证明级数收敛．
证明：首先我们知道级数收敛，
事实上，级数的部分和为，
所以以上结论显然成立。
设的界为，即任何有，
由于
故有收敛．

第8章（之3）
第39次作业
教学内容： §8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛 §8.2.5交错级数 §8.3.1函数项级数的一般概念

1． 选择题：
*（1） 若级数收敛，则 （ ）
（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛．
答：（ A ）
*（2）当级数收敛时，级数 （ ）
（A）必绝对收敛； （B）必发散；
（C）部分和序列有界； （D）可能收敛也可能发散．
答：（ D ）
*（3）若级数和都发散，则下列级数中必发散的是 （ ）
（A）； （B）；
（C） ； （D）．
答：（D）
*（4）设为常数，则级数 （ ）
（A）绝对收敛； （B）条件收敛；
（C）发散； （D）敛散性与取值有关．
答：（ C ）
2. 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？
**（1）；
解：记 则
故原级数绝对收敛．
**（2） ；
解：记 ，因为 ，且 ，
所以原级数收敛．
由于 ，
故 发散，因此原级数条件收敛．
**（3）；
解：设 ，
时，，
而当时，为单调递减数列，且，
故级数收敛．
另一方面 ，而发散。
综合以上讨论知，级数 条件收敛．
**（4）；
解：记， 则 ，
当时，，即单调递减．
故当时，数列单调递减。
且， 所以级数收敛。
显见此级数不绝对收敛，故级数条件收敛。
3．***（1）若是收敛的正项级数，试证 一定收敛。
证明：因为 为收敛的正项级数， 则 ，
所以，当 时，有 ，
则 ，
从而由比较判别法知 收敛。
***（2）若级数收敛，一定收敛吗？
解：不一定。反例收敛，但发散。
***（3）若级数收敛，一定收敛吗？
解：不一定。反例收敛(莱布尼兹型级数)，但 发散。
***（4）设都是收敛的正项级数，试证明级数必收敛。
证明：由于， 且 都是收敛的正项级数，
从而收敛， 故级数必收敛。

***4． 设级数收敛，证明绝对收敛。
证明：由假设，有 ,于是 ,
而 收敛，因此 绝对收敛。
***5．求函数项级数 的收敛域.
解: 级数可写成,这是一个的级数, 其收敛的充要条件是,即,这就是给定函数项级数的收敛域.

第8章（之4）
第40次作业
教学内容：§8.3.2幂级数及其收敛域 §8.3.3幂级数的性质 §8.3.4幂级数的求和
1．填空题：
*（1）如果，则幂级数在开区间 内收敛。
答：
*（2）设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是 。
答：2
**（3）设幂级数在收敛区间上的和函数为，则幂级数 的收敛区间是__________，它在收敛区间上的和函数是 ___________。
解：由条件 ，
以代，得 ，
两边从0到积分，得
即 。
**2．设已知属于幂级数 的收敛区域，问以及是否一定属于收敛域?试解释之。
解：由于属于幂级数的收敛域，
由此知道收敛半径不小于，
而收敛域至少包含有区间，而，
故可判定属于收敛域，而却不一定。
3．求下列幂级数的收敛域：
**（1）；
解：
由，得， 当时， 原级数为 ，由 ，得其发散，
故原幂级数的收敛域为．
**（2）试求幂级数的收敛域。
解：由于 , 所以R=，收敛域是．
**（3）．
解：，
当 即 时，级数收敛；当 即 及时，
级数发散， ∴收敛半径为1，即在收敛。
当时，原级数为收敛，
当时，原级数为收敛，
∴所以该幂级数的收敛域为．

***4．求函数项级数的收敛域．
解：，
则由，得 。
当时，原级数为收敛。
故收敛域为．
****5．设数项级数条件收敛，试证明幂级数的收敛半径。
证明：以代入，
收敛，知收敛半径。
若级数收敛半径，则由阿贝尔定理知必有
在点 处绝对收敛，即必绝对收敛。
得到矛盾。 ∴．
**6．设，试求的幂级数，并指出收敛域。
解：幂级数的收敛域是
当时，有 ，
．
又因为当时，收敛，
所以 ， ．
**7．设分别是下列三个幂级数在实轴上的和函数，即

试证明在整个实轴上有。
证明：显然的定义域为，
且， ， 。
记 ，则

在上为一常数．
由可知 ，
．
8．求下列幂级数在收敛域内的和函数，并求对应数项级数的和：
**（1）， ；
解：考虑由 ，
两边求导，得 ，
令，得 ，
∴．
**（2），．
解：由上题，两边求导，，
令，代入上式得 ，
∴．

第8章（之6）
第41次作业
教学内容：§8.4.1泰勒级数 §8.4.2几个初等函数的麦克劳林展开式
***1. 如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数
的和函数为 ( )
(A) 必是， (B)不一定是， (C)不是， (D)可能处处不存在。
答：（B）
**2、 试求的麦克劳林级数至含的项。
解：由于

所以 ，
．
故麦克劳林级数为：
．
****3． 设的收敛半径为1，试将展开为 的幂级数．
解：因为 ,
．
所以 当时，有
）（）

．

第8章（之6）
第42次作业
教学内容：§8.4.3函数展开为幂级数举例 间接展开法 §8.4.4函数幂级数展开式的应用
***1. 若 ，试证:为偶函数时必有.
解：， ，
∴，
∴（函数０的任意阶导数都为零）．
2．展开下列函数在指定基点处的幂级数：
**（1） ；
解：因为 , 而 ．
所以
．
**（2）；
解：
且

, ．

**（3）。
解：， 由于 ，
∴，
∴．

**（4）；
解：
．

**（5）；
解：．

**（6）；
解：
．

**（7），．
解：

，

，
当时, 级数成为 是莱布尼兹型收敛级数，
∴ ．

**（8）， ．
解：因为 ,
而 , ．
所以当时， ．
而 ．
故 ,
．

***3。试将展开成麦克劳林级数，并计算的值．
解：由于 , ． 所以
．
从而：．

4．求下列幂级数的收敛域及和函数：
**（1）；
解： , 收敛域，

和函数.
***（2）；
解：, 收敛半径为 ；
当时，幂级数收敛, 所以收敛域为.
当或时,有

．
当 ，
∴

5．求下列数项级数的和：
**（1）；
解：原式=.

***（2）.
解：

，
∴ 原式=.

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