《随机信号处理》重点题目、题型及相关知识点简介.docx

第一组上台讲解题目（第2、7题）
2. 复随机过程，式中为常数，是在上均匀分布的随机变量。求：(1)和；(2)信号的功率谱。
解：
(1)

(2)

备注:主要考察第二章P37,功率谱计算,第一步求期望用数学积分方法,得到
即输出的自相关,对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱。

7. 一零均值MA(2)过程满足Yule-Walker方程：

试求MA参数： ，，
解：
由于对于零均值MA(q)过程而言，均值为0，令方差为1，其自相关函数
（公式：3.2.5）
（公式：3.2.6）
则可得：

故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为

由此不难求得MA(2)过程的功率谱
（公式：2.4.14）
其因式分解为：

根据功率谱分解定理（公式：2.5.2a），
比较得传输函数：
即

备注：本题主要考察MA模型满足Yule-Walker方程的模型参数求解，根据P54页3.2.6求得自相关函数值，由P38页2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与P39页2.5.2a 比较得出结果。

第二组上台讲解题目（第1、2、5、7题）

1. 某离散时间因果LTI系统，当输入时，输出
（1） 确定系统的函数H(Z)
（2） 求系统单位序列相应h（n）
（3） 计算系统的频率特性H（ejθ）
（4） 写出系统的差分方程
解：
（1） |Z|>

(2) |Z| >

(3) 因为H（z）收敛域为 |Z| > ，包含单位圆,所以H（ejθ）存在:

（4）
==>

备注:考察第一章数字信号基础,比较完整。

2. 一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:
，求该系统的传递函数，差分方程。
解：由给定信号的功率谱，得
（公式：2.5.8）
其中 ，
，
，
因此 与之对应的最小相位系统为：
（公式：2.5.7）
系统的传递函数为：
差分方程为：
（公式：2.5.9）

备注：参考P41页例2.5.1。题目会有改动，谱分解+一个系统 再对输出求功率谱，：P39页，新息滤波器去噪。：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。
再根据P38页2.4.22式对输出求功率谱。

5. 有一个自相关序列为 的信号s(n)，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声v(n)干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n) = s(n)+v(n) 中尽可能恢复s(n)，求出一阶FIR滤波器的系数和最小均方误差。
解：
由白噪声与信号不相关，因此有

并且有

对于一阶FIR维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为
（公式：5.3.12）
（公式：5.3.11）
解Wiener-Hopf方程，得
（公式：5.3.13）
维纳滤波器的最小均方误差：
（公式：5.2.16）

备注：典型例题，本题出自第五章。考察最优线性滤波器设计方法。参考P97页例5.3.1。根据P97页5.3.12,5.3.13。计算上有点麻烦，复习数学逆阵算法。可能改动：需求解自相关序列，白噪声方差。系统评估：从均分误差和信噪比分析。

7. 已知信号的4个样值为（2,4,1,3）,试用自相关法估计AR(1)模型参数。
解：
AR(1)的参数就是一阶预测误差滤波器的预测系数。一阶预测误差滤波器的结构如图所示。

一阶预测误差滤波器
滤波器的输出是预测误差，其中的长度是N=4, 的长度是2，所以的长度是4+2-1=5(=0,1,2,3,4)，有
==

上面各式中，为已知数据，和是未知数据。的选择应使预测误差功率达最小。
自相关法：
自相关法认为假定已知数据段之外的数据为0，预测误差功率为：
==
=
=
令，得，所以。
备注：主要考察第5，7章。线性预测误差滤波器+AR模型+自相关法（P137页式7.2.2）。
改动：将题中使用到的自相关法换成协方差法（P139页）

第三组上台讲解题目（第2、6题）
2. 已知随机信号，为常数，是的均匀分布随机变量，讨论当A满足系列条件时，的广义平稳性。
（1）A为常数；
（2）A为时间常数；
解：
（1） 当A为常数时：
①；（公式：2.2.1）
②（公式：2.2.2）
其中，故此时是广义平稳的；（广义平稳=宽平稳，指随机过程的1阶矩和2阶矩与起始参考时间无关）
（2）当为时间函数时：
①；
②
其中，此时不是广义平稳的。

备注：本题出自第二章《随机信号分析基础》，主要考查的是该章第二节（随机过程）中的随机信号平稳性问题。其中用到的公式（2.2.1/2）在书上P30页。其中用到的概念主要来自式2.2.4以及P31页中的内容。判断平稳性的两个关键性指标是：①信号均值等于常数，与时间无关；②信号的自相关主要取决于时间间隔，与长短和起始位置无关。

6. 用下列的数据矩阵和期望响应信号解LS问题：
已知 和 。
解：
首先计算正则方程的系数矩阵和互相关向量：
（公式：6.2.12/13）
接着对进行分解（参考例6.4.1）。利用MATLAB函数，可以得到：

由式（公式：6.4.26）可得解向量和LSE为：
w=？（公式：6.4.25）

备注：本题出自第六章《最小二乘滤波和预测》，主要考查的是该章第四节（最小二乘线性预测）的相关问题。其中用到的公式分布在书上P117-P130页。本题参考的是P131页的例6.4.2题。本题的主要难点在于，①求解正则方程、②对系数矩阵进行LDL分解。其中正则方程的式6.2.14在P117页，三角分解的例题6.4.1在P130页。

第四组上台讲解题目（第2、3题）
2. 一个广义平稳随机信号的自相关函数 ，该信号通过一个系统函数为的LTI系统，其输出为。
试求：（1） 输入随机信号的功率谱和复功率谱。
（2） 输出随机信号的功率谱

解：
（1） ①功率谱：（公式：2.4.13）
==

②复功率谱：（公式：2.4.14）
==

(2) 功率谱：（公式：2.4.18）
==××

备注：本题出自第二章《随机信号分析基础》，主要考查的是关于功率谱的计算问题。其中用到的公式（2.4.13/14/18）都在书上P38页。

3. 一个AR（2）过程满足如下的差分方差： xn=xn-1-0.5xn-2+ω(n)。其中，ω(n)是一个均值为0，方差为0.5的白噪声。
（1）写出该过程的Yule-Walker方程
（2）求解自相关函数值rx(1)和rx(2)
（3）求出xn的方差
解：
（1）由于rx1=rx(-1)，rx2=rx(-2)，实二阶AR（2）过程xn的Yule-Walker方程为：（公式：3.1.27、3.1.32）
rx0rx1rx2rx1rx2rx0rx1rx1rx01-10.5=0.500
（2）解上述Yule-Walker方程可得：rx0=1.2；rx1=0.8；rx2=0.2（可扩展点：依照已知模型对自相关函数进行递推求解，如求rx3、rx4等。此时用到的公式是P53页的3.1.30式中L＞0的情况。）
（3）因为ω(n)均值为0，所以xn的均值为零（因为AR模型为线性模型，其输入与输出的均值满足线性关系），其方差等于平均功率，即 Var=rx0=1.2。

备注：本题出自第三章《随机信号的线性模型》，主要考查的是关于AR模型的计算问题。其中用到的公式（3.1.27/32）在书上P52-53页。该类题目还可以衍变为简答题，如“对经典谱估计和现代谱估计这两种方法进行比较”、“现代谱估计相比于经典谱估计的优点”（该类谱估计问题的解答请关注P62/P134页的章节简介部分）

第五组上台讲解题目（第6题）
6. 我们希望从观察矢量和中估计序列。确定最优滤波器系数、误差矢量e。
解：
①最优滤波器系数：
（公式：6.2.12） （公式：6.2.13）
由，得：wls=Rx-1rxd=0.8077-0.4231-0.42310.26921018=0.46150.6154
（公式：6.2.14/15）

②误差矢量e：
投影矩阵为：

（公式：6.2.28）
（公式：6.2.29）

备注：本题出自第六章《最小二乘滤波和预测》，主要考查的是该章第二节（线性最小二乘估计）的相关问题。其中用到的公式（6.2.12/13、6.2.14/15、6.2.28/29）在书上P115-P120页。本题参考的是P119页的例6.2.1题。

注：上述题目中的相关知识点及概念如果遗漏或错误欢迎指正。请大家认真复习准备，祝你好运！