山东省邹平县实验中学八年级数学上册《第12章 轴对称》总复习教案及经典例题 新人教版.doc

山东省邹平县实验中学八年级数学上册《第12章 轴对称》总复习教案及经典例题 新人教版
一、教学目的与考点分析：
1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：①探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；②欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；③在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.
2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.
3.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.
二、教学内容：
（一）、复习 三角全等形条件
（二）、教学内容
　　知识网络图示

基本知识提炼整理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
4.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.
4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
5.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
四、[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）． 设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得x=36°． 在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[例2]在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边三角形CDE，使它与三角形ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点。
求证：三角形CNM为等边三角形。

分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN=BE，AM=AD（中点定义）
∴BN=AM ∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等） ∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
专题总结及应用
一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如图所示.
求证：BC=AB.

证明：如图所示.
作出△ABC关于AC对称的△AB′C.
∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.
∴AB=BB′=AB′
又∵AC⊥B′B，
∴B′C=BC=BB′=AB.
即BC=AB.

例2 如图所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=AB.

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，∠B=60°.
又∵CD⊥BA，
∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=BC.
∴BD=·AB=AB.
即BD=AB.
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.
解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，
∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.
在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，
由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，
∴α=，∴∠A=.
∴∠A的度数为.
例4 如图所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.

解：∵AD=BD，AB=AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA.
设∠B=∠C=∠BAD=α，
则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.
在△ABC中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，
∴3α+α+α=180°，
∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°.
∴∠BAC的度数是108°.
三、作辅助线解决问题
例5 如图所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.

证明：连接AE.
∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.
∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.
∴∠C=∠DEC=∠45°.
∴DE=DC，∴BE=DC.
例6 如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.

证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
∴∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.
又∵BE=CF，∴EM=FC.
在△MEG和△CFG中，

∴△MEG≌△CFG（AAS）.
∴EG=FG.
例7 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形.
（分析）欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°即可.
证明：取AB的中点D，连接CD.
∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.
∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.
又∵∠BDC是△DCA的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.
∴∠A=30°，
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°∴△ABC是直角三角形.