物理班静电部分作业参考解答.doc

电磁学练习 学号 姓名
练习一
1、 三个电量为的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，电荷放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，之值应为多大？
解：如图，

2、 一均匀带电直线长为，线电荷密度为。求直线的延长线上距中点为处的场强。
解：如图，电荷元在P点的场强为
， 水平向右
整个带电直线在P点的场强为

方向沿方向。

3、 一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的半径为0.5m，杆的两端有2cm的缝隙，C的正电荷均匀地分布在杆上，求圆心处电场的大小和方向。
解：圆心处的电场应等于完整的均匀圆周电荷和相同线电荷密度填满缝隙的负电荷的电场的叠加，由于前者在圆心处的电场为零，所以圆心处的电场为

方向指向负电荷，即指向缝隙。

4、 一个电偶极子的电矩为，证明此电偶极子轴线上距其中心为处的一点的场强为。
证：

方向与同
即： ，证毕。

5、 电偶极子电场的一般表示式。将电矩为的电偶极子所在位置取作原点，电矩方向取作轴正向。由于电偶极子的电场具有对轴的轴对称性，所以可以只求平面内的电场分布。以表示场点的径矢，将分解为平行于和垂直于的两个分量，并用例3和上题结果证明 。
解：如图所示，的两个分量为 ，
它们在P点的场强分别是

由叠加原理可得P点的场强为

6、 两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a，线电荷密度分别为和，求每单位长度的带电直线受的作用力。
解：一根带电直线在另一带电直线处的电场为，方向垂直于直线。另一单位长度带电直线受此电场的力为
此力垂直于直线，为相互吸引力。
R
O
θ
λ
x
y
θ

7、 如图，一个细的带电塑料圆环，半径为，所带线电荷密度和有的关系。求在圆心处的电场强度的方向和大小。
解：如图1.6 所示，电荷元在圆心处的电场为

此电场的两个分量为

将两分量分别对从0到积分，可得

于是
8、 如图所示，两根平行长直线间距为2a，一端用半圆形线连起来。全线上均匀带电，试证明在圆心O处的电场强度为零。
解：以表示线上的线电荷密度，如图1.7所示，考虑对顶点的所对应的电荷和在O点的场强，在O点的场强为

方向由O指向远离。在O点的场强为

方向由O指向远离。

练习二
1. 在一均匀电场E中，有一半径为R的半球面, 半球面的轴线与场强E的方向成的夹角，求通过此半球面的电通量。
解：

2. 大小两个同心球面，半径分别为0.10m和0.30m，小球面上带有电荷，大球面上带有电荷。
（1） 求空间各处的电场强度；
（2） 求离球心为0.05m、0.20m、0.50m各处的电场强度；
（3） 作出E ~ r曲线；
（4） 试分析电场强度不连续的原因。
解：(1) 各处场强方向都是方向
由高斯定理

(2)

(3) 见右上图
(4) 因为两球面处有电荷，所以电场强度在球面处不连续。
3. 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2，带有等值异号电荷，每单位长度的电量均为（即电荷线密度），试分别求出（1）r< R1；（2）r> R2；（3）R1<r<R2时，离轴线为r处的电场强度。
解： 各处场强方向都是方向
由高斯定理

4. 一无限长的均匀带电圆柱体，截面半径为a，电荷体密度为r，设垂直于筒轴方向从中心轴向外的径矢的大小为r，求其电场分布并画出E-r曲线；
解： 作与带电圆柱同轴而截面半径为，长度为的圆柱面（两端封顶）的高斯面
由高斯定理

时 ，，　
时， 　

5. 一均匀带电球体，半径为R，体电荷密度为ρ，今在球内挖去一半径为r(r<R)的球体，求证由此形成的空腔内的电场是均匀的，并求其值。已知大球心指向小球心的径矢为常矢量。
解：由高斯定理求均匀带电球体内场强

沿方向，可用矢量表达式：
用补偿法求空腔内场强：
右图中，P在、内，则

6. 如图示，电荷以面密度均匀地分布在一无限大平板及中心O在板上，半径为R的球面上（注意：球内无电荷），求与O点的垂直距离为的P点的场强。
解：
用补偿法求P点的场强：

方向与平面垂直。

7. 在厚度为D无限大平板层内，均匀地分布着正电荷，体密度为，求空间各处场强分布。
解：面对称，可由高斯定理求解

当时，,
当时，，

8. 在图示的球形区域a < r < b中，已知电荷体密度，式中A为常数，r是距球心的距离。在其半径为a的封闭空腔中心 (r = 0) 处，有一点电荷Q，求：空间各r处的电场强度。
解：高斯定理

练习三
1. 如图所示，，OCD是以B为中心，为半径的半圆，A点有正电荷+q，B点有负电荷-q，求：
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作的功？
（2）把单位正电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它作的功？
解：(1)

(2)
2. 一边长为a的正三角形，其三个顶点上各放置q,-q和-2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电量为+Q的点电荷，由无限远处移到重心上，外力要做多少功？
解：重心上的电势为

所求外力做的功为

3. 一均匀带电细杆，长l=15.0cm，线电荷密度，求：细杆的延长线与杆的一端a =5.0cm处的电势；
解： 沿杆取轴，其反向端点取作原点，由电势叠加原理，可得

4. 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1=5.00cm, R2=10.0cm，电量分别为。求内、外球面及空间各r处的电势。
解：(1) ，

，
，
，

5. 如图示，三块互相平行的均匀的带电大平面，电荷面密度为,,。A点与平面Ⅱ相距为5.0cm，B点与平面Ⅱ相距7.0cm。
（1）计算A、B两点的电势差；
（2）设把电量的点电荷从A点移到B点，外力克服电场力作多少功？
解：(1)

(2)

6. 一均匀带电球体，半径为R，体电荷密度为ρ。
（1）用高斯定律求出球内外电场强度分布；
（2）求球内外电势分布，以无穷远处为电势零点；
（3）画出E-r和V-r的函数曲线；
解：(1) 各处场强方向都是方向
由高斯定理 ,

(2) 当时

当时

7. 半径为R的细圆环，均匀带电荷q，求
（1） 与环面垂直的中心轴线上，距环心为x处的A点的电势；
（2） 利用电场强度和电势的关系，计算A点的电场强度。
解：(1)

(2)

8. 一无限长均匀带电圆柱，体电荷密度为ρ，截面半径为a 。
（1）用高斯定律求出柱内外电场强度分布；
（2）求出柱内外电势分布，以轴线为电势零点；
（3）画出E-r和V-r的函数曲线；
解：(1) 作与带电圆柱同轴而截面半径为，长度为的圆柱面（两端封顶）的高斯面。
由高斯定理

当时
，　
时, 　
(2) 当时

时

(3)和曲线如右图所示。

练习四
1. 一导体球半径为R1，其外同心地罩以内、外半径分别为R2和R3的厚导体球壳，此系统带电后内球电势为U，外球所带电量为Q，求
（1） 内球所带电量q；
（2） 各处的电势和电场分布（用r、q和Q等表示）。
解：（1）内球带电为，则球壳内表面带电为，而球壳外表面带电为
有
解得
（2）　： ，
：

： ，
： ，

2. 一个接地的导体球，半径为R，原来不带电。今将一点电荷q放在球外距球心的距离为r的地方，求球上的感生电荷总量。
解：接地的导体球的电势（包括球心处电势）为零
点电荷在球心的电势为：　
设导体球上的感生电荷总量为
则在球心的电势为：　　
由电势叠加原理可得

3. 两块导体平板AB，平行放置，间距d=4.00mm，面积相同且S=200cm2，A板带电，B板带电，略去边缘效应。
（1）求两板四个表面上的电荷面密度和两板的电势差；
（2）用一导线将两板联接起来，再求电荷面密度；
（3）断开导线后把B板接地，再求电荷面密度和两板的电势差。
解：(1)
解之得：

(2) ， ，
(3) ，

4. 无限大不计厚度的带电介质平板A，电荷面密度为( > 0 )，无限大导体平板B与A板平行放置，间距为d。
（1）求电荷面密度和各处的电场强度；
（2）把B板接地，再求电荷面密度和各处的电场强度。
解： (1) 设B板两侧电荷面密度分别为和

解之得：
， 向左
， 向右
， 向右
(2)
， ， 向右

5. 两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径R1=5.0cm，带电，外球壳内半径R2=7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电量。(1)求距离球心3.0cm、6.0cm、8.0cm、10.0cm各点处的电场强度和电势。(2)如果用导线把两个球壳联接起来，结果又如何？
解： (1) 由高斯定理、电荷守恒定律和静电平衡条件可知
三层表面带电量分别为

则

则

(2) ，
，

6. A、B、C是三块平行平板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地（如图所示）。
（1）设A板带正电，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势；
*（2）若在AB间充以相对介电常数的均匀电介质。求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。
解： (1) 各板带电量如右图

(2)

练习五
1. 在半径为R的金属球之外有一层外半径为的均匀介质层（如图示）。设电介质的相对介电常数为，金属球带电量为Q，求：
（1）介质层内、外的场强分布；
（2）介质层内、外的电势分布；
（3）金属球的电势。
解：(1) 各处场强方向都是方向
由高斯定理

(2)

2. 范得格拉夫静电加速器的球形电极半径为18cm.
(1) 这个球的电容多大？
(2) 为了使它的电势升到2.0×105V，需给它带多少电量？
解： (1)

(2)
3. 同轴传输线由很长的中心导体圆柱和外层同轴导体圆筒组成，圆柱和圆筒之间充以相对介电常数为的电介质。设内圆柱体的电势为V1，半径为R1，外圆柱筒的电势为V2，内半径为R2。求其间离轴为r（R1< r < R2）处的电势（选轴线处电势为零）。
解： 设圆柱单位长度带电，则

轴线处电势为零，即R1处电势为零

4. 一平行板电容器面积为S，板间距离为d，板间以两层厚度相同而相对介电常量分别为εr1和εr2的电介质充满（如图所示）。求此电容器的电容。
解：
，

5. C1、C2两个电容器，分别标明为200 pF、500V和300 pF、900V，(1)把它们串联起来后，等值电容多大？(2)如果两端加上1000 V的电压，是否会击穿？
解：(1)

(2)

结论：，击穿成为导体；
，但击穿后1000V将全部加到上，则击穿。

练习六
1. 试分析在以下两种情况下：
（1） 充电后的电容器和电源断开；
（2） 电容器始终和电源相联。
空气平行板电容器中插入电介质时，电容、带电量、电势差、电场强度、能量的变化规律。
解： (1) q不变、C增加

(2) U不变、C增加

2. 一个电容器，电容，用电压的电源使这电容器带电，然后拆下电源，使其与另一个未充电的的电容器相并联后，求：
（1）两个电容器各带电多少？
（2）第一个电容器两端的电势差？
（3）系统能量损失多少？
解： (1)

(2)
(3)

3. 一个平行板电容器，板面积为S，板间距为d（如图所示）。
（1）充电后保持其电量Q不变，将一块厚为b的金属板平行于两极板插入。与金属板插入前相比，电容器储能增加多少？
（2）导体板进入时，外力（非电力）对它做功多少？是被吸入还是需要推入？
（3）如果充电后保持电容器的电压U不变，则（1）、（2）两问结果又如何？
解： (1) ，

(2) ，被吸入
(3)
需推入

4. 圆柱形电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成，设长直导线的半径为a，圆筒的内半径为b，试证明：这电容器带电时，所储存的能量有一半是在半径的圆柱体内。（式中x是两极间任一点距中心轴线的垂直距离，且a<x<b）。
解： 电容器单位长度带电如图所示，则，

5. 一球形电容器，内、外半径分别为a和b，电势差为V且保持不变，试求：
（1）电容器任一极板所带电量；
（2）内球半径a为多大时，才能使内球面上的场强为最小？（b不变）
（3）求这个最小的电场强度值和满足此条件时电容器的能量。
解：
(1)
(2)

(3)

6. 半径为的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，球壳内、外半径分别为和，内球与球壳间是空气，球壳外是介电常数为的无限大均匀电介质，当内球带电量为Q时，求：
（1）这个系统储存了多少电能？
（2）如果用导线把内球与球壳联在一起，上述答案有何变化？能量变化到那里去了？
解： (1)

(2)
做功、辐射
7. 有一平行板空气电容器，每块极板面积均为S，两板间距为d，今以厚度为、相对介电常数为的均匀电介质板平行地插入电容器中。
（1）计算此时电容器的电容；
（2）现使电容器充电到两极板的电势差为后与电源断开，再把电介质板从电容器中抽出，问需作功多少？
解：(1)
右图所示与题述电容等效

(2) ，

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