资源描述
平行线及其判定（二）
三维目标
1．会判断内错角、同旁内角．
2．掌握直线平行的第二种方法和第三种方法及其应用．
3．创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神，并从中获得成就感．
教学重点:判定两条直线平行的第二种和第三种方法．
教学难点:两条直线平行的条件的应用．
导入新课
活动1．小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB．（如图1所示）
小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
设计意图：上一节我们学习了判定两直线平行的第一种方法“同位角相等，两直线平行”，但右图中并没有同位角，有没有别的方法可以判断两直线平行呢？为学生创造了一个发现问题、解决问题的空间，提供了一个实践和创新的机会．
师生行为：学生分组讨论、寻找解决问题的方法；教师可参与到学生的讨论中，或引导学生寻找解决问题的途径．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否积极地寻求解决问题的方案；
（2）学生能否在小组内交流合作，虚心听取听人意见．
生：我们说：两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行．所以我想把这个图形中的上下边缘及线段AB都变成直线，则图形变为图2．
在图2中可以看到：∠1与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，所以只要∠1=∠3，即直线CD∥EF．
生：实际上只需要把线段AB延长即可．
师：同学们讨论得很精彩，知道只要量出如图3所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行．那这两个角是什么样的角呢？两直线平行还有哪些条件呢？这节课我们来继续探讨：直线平行的条件．
推理新课
活动2．如图4，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成直线．在直线a、b被直线c所截成的角中，∠1和∠2是同位角．∠2和∠3有怎样的位置关系？∠2和∠4呢？转动木条a或b，这些角之间还保持这种关系吗？
设计意图：两条直线被第三条直线所截所组成的“三线八角”中除了同位角，还有内错角、同旁内角．本活动通过学生实际操作或直观演示，更好地复习同位角、内错角、同旁内角的位置关系，为进一步研究直线平行的第二种和第三种方法打基础．
师生行为：生：如图4所示，∠2和∠3是内错角，“错”是交错的意思，内错角在被截两直线之间，称为“内”，第三条直线即截线的两旁、交错，很形象地称为内错角．
而∠2和∠4是同旁内角，我们不难发现，∠2和∠4在截线同旁，在被截两条直线之间（之内）．
生：转动a和b，这些角之间仍保持着这种关系．
师：图中还有其他的同旁内角和内错角吗？
生：有．例如∠3和∠6是同旁内角、∠4和∠6是内错角．
师：我们继续研究同位角、内错角、同旁内角的位置关系．
活动3．思考：
（1）如图5，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2+∠4=180°，能得出a∥b吗？
设计意图：此活动是由方法一经过简单推理得出方法二，而由方法一或方法二得出方法三．这里由学生完成，目的是让学生学着自己去进行简单的推理证明，而不仅仅是观察、实验、探究得出结论．
师生行为：由学生独立完成，然后小组交流、归纳、总结；教师可引导学生分析思路，寻求解决问题的一般途径．
教师应关注：
（1）学生能否进行简单的推理；（2）学生能否实现由新知识到旧知识的转化；（3）学生能否体验到情感、态度、价值观．
生：（1）因为∠1=∠3（对顶角相等），
又∠2=∠3，所以∠1=∠2．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：好．我们由此可得“内错角相等，两直线平行”即两直线平行的判定方法2．
生：（2）因为∠1+∠4=180°，
又∠2+∠4=180°，
所以∠1=∠2（同角的补角相等）．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：很好．我们得到“同旁内角互补，两直线平行”的第三种判定两直线平行的方法．
到此为止，我们学习了判定两直线平行的三种方法：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
师生共析：遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已经解决的）问题来解决．这一节中，我们是怎样利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”的？你能利用“内错角相等，两直线平行”得到“同旁内角互补，两直线平行”吗？
即如图19，已知∠2+∠4=180°，能得出a∥b吗？
生：可以．因为∠3+∠4=180°（邻补角定义），
又∠2+∠4=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的补角相等）．
所以a∥b（内错角相等，两直线平行）．
活动4．思考：这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分（如图6），其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
练习：在铺设铁轨时，两要直轨必须是互相平行的．如图7，已经知道∠2是直角，那么再度量图7中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由．
设计意图：目的在于应用直线平行的判定方法解决问题．选取生活中有趣的例子能激发学生的学习兴趣，开阔思维，增强数学的应用意识．
师生行为：由学生独立思考，然后小组交流；教师注重对不同层次学生给予指导．
在此活动中，教师需关注：
（1）不同的学生得到不同的发展；
（2）鼓励用自己的语言说明理由；
（3）鼓励学生交流，充分表现学生各自的发现．
生：用一条直线截英语抄写纸上的横格线，就可得到同位角或内错角或同旁内角，再用量角器测量同位角或内错角或同旁内角的度数关系，从而判断它们是否平行．
生：我们在前面画平行线时，曾用过推三角板的方式，在这里也可以．
师：很好．同学们下面不妨先看一个例题．
例题：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总是与直角联系在一起．
答：这两条直线平行．理由如下：
因为b⊥a，c⊥a，所以∠1=∠2=90°，从而b∥c（为什么）．
你还能利用其他方法说明b∥c吗？
师：我们回到前面的问题，利用例题的结论更简单．
生：练习：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”就可判断两条直轨平行．类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
课堂小结
1．谈谈本节课有哪些收获？
2．重点掌握平行线的判定．
3．理解平行公理．
布置作业
习题5．2 4、5．
活动与探究
如图9（1），∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，问：CD∥AB吗？为什么？
解：CD∥AB．
所以∠FAB+∠BAC=180°，∠FAB=46°，
所以∠BAC=134°，又因为CE⊥CD，
则∠DCE=90°．又因为∠DCE+∠DCA+∠ACE=360°，∠ACE=136°，
所以∠ACD=134°．因此∠ACD=∠BAC，从而得AB∥CD．
或：把CD反向延长，如图9（2），则∠ACE=∠ACG+∠GCE．
因为CE⊥CD，所以∠DCE=∠ECG=90°．
又因为∠ACE=136°，所以∠ACG=46°．
又因为∠FAB=46°，所以∠ACG=∠FAB．
从而得AB∥DG，即AB∥CD．
备课资料
一、行车中的平行路线
一座城市的一部分交通路线，如图10所示：
一辆汽车沿公路a行驶至交叉道口处，向右拐120°角行驶到公路c上，在下一个交叉路口处，汽车怎样拐弯才能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行？
在研究实际应用中的具体问题时，为了研究方便，我们常常需要把实际问题抽象成一个“数学模型”般的“纯数学题”．对于此题，我们可以假设汽车在下次拐弯时行驶到公路b上，那么上述问题就成为探索直线a，b平行的条件了．
在这个实际问题中，为保证汽车拐弯后能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行，则会出现两种情况：
一种情况是两次拐弯前后行驶方向相同．此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图11中的实线箭头所示，两次拐角成为同位角．由于“同位角相等，两直线平行”，所以汽车应该在交叉道口处向左拐120°角．
另一种情况是两次拐弯前后行驶方向相反．此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图11中的虚线箭头所示，所以汽车应该在交叉道口处向右拐60°．
下面，我们再来研究一个问题：如图12所示，甲、乙两辆汽车在公路c上同向行驶（图12中的粗线箭头表示甲车行驶路线，细线箭头表示乙车行驶路线），甲车在公路b，c的交叉道口拐到公路b上行驶，乙车在公路a，c的交叉道口拐到公路a上行驶．若公路a∥b，且公路a，c的交叉道口所成锐角为60°，试问分别向哪个方向拐弯，拐了多大的角度？
可以仿照上一道题的思维方式，建立“数学模型”后，再分情况讨论：
当乙车在a，c的交叉道口向左拐120°角时，如果甲车拐弯后与乙车同向，如图4中实线箭头所示，则两车的拐角形成同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可知，甲车也是向左拐了120°角；如果甲车拐弯后与乙车反向，如图13中虚线箭头所示，则此时的拐角与刚才那种情况介绍的拐角形成邻补角，根据邻补角定义可知，甲车是向右拐了60°角．
当乙车在a，c的交叉道口向右拐60°角时，如果甲车拐弯后与乙车同向，如图5中虚线箭头所示，则两车的拐角形成同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可知，甲车也是向右拐了60°角；如果甲车拐弯后与乙车反向，如图14中实线箭头所示，则此时的拐角与刚才那种情况介绍的拐角形成邻补角，根据邻补角定义可知，甲车是向左扣了120°角．
以上所谈只是我们日常生活中蕴含平行知识的小例子，同学们读完这段短文，除了知道“建立数学模型”解决实际问题外，还应该能体会到一种非常重要的数学思想方法──分类讨论，看一下它在解题中起到什么作用，你还能说出在哪些问题的解决过程中，也用到了分类讨论的数学思想方法，把你的想法与同伴交流一下吧．
二、一道思考题解法的探究
题目：这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分（如图15），其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
解法一：（不使用任何工具，用折叠法）在明亮处对着光线，将抄写纸折叠，使一条横格线的折痕两旁的部分重合，再检查其他横格线在折痕两旁的部分是否重合．若都重合了，则横格线互相平行，否则不平行．
解法二：（用一个三角板）先将三角板如图16所示放置，标出点A，B，C，D，连接线段BC，再用三角板的直角来检验∠BCD是否为直角，若∠BCD为直角，则L1∥L2，若∠BCD不是直角，则L1不平行于L2．
解法三：（用直尺和量角器）如图17，任意作直线L与L1，L2都相交，用量角器分别测量出∠1和∠2的度数．若∠1=∠2，则L1∥L2；若∠1≠∠2，则L1不平行于L2．
解法四：（用直尺和三角板）将三角板和直尺如图18放置，三角板的斜边紧靠直尺，直角边AC与直线L1重合．沿直尺平移三角板，使顶点A与点B重合．若直角边AC与L2重合，则L1∥L2；若直角边AC与L2不重合，则L1不平行于L2．
聪明的同学们，你们还有其他的方法吗？动手试试，会有新发现．
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