概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案word.doc

习题7.1
1. 设总体X服从指数分布
fx;λ=λe-λx, x≥0,λ>0;0, x<0.
试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):
16,
19,
50,
68,
100,
130,
140,
270,
280,
340,
410,
450,
520,
620,
190,
210,
800,
1100.
求λ的估计值.
解:
似然函数为Lλ=i=1nλe-λxi=λne-λi=1nxi
lnLλ=nlnλ-λi=1nxi
令
d lnLλdλ=nλ-i=1nxi=0
得
λ=ni=1nxi=1x=1118(16+19+,⋯,1100)=1318
2. 设总体X的概率密度为
fx=θxθ-1, 0<x<1;0, 其他. θ>0
试求(1) θ的矩估计θ1; 2θ的极大似然估计θ2.
解:
(1)
EX=-∞+∞xfxdx=01x∙θxθ-1dx=01θxθdx=θθ+1
EX=x=θθ+1
θ的矩估计θ1=x1-x
(2)
似然函数为Lθ=i=1nθxiθ-1=θn(x1,x2,⋯xn)θ-1
lnLθ=nlnθ+θ-1lnx1+lnx2,⋯lnxn=nlnθ+θ-1i=1nlnxi
令
d lnLθdθ=nθ+i=1nxi=0
解得
θ2=-ni=1nxi
3. 设总体X服从参数为λλ>0的泊松分布,试求λ的矩估计λ1和极大似然估计λ2.(可参考例7-8)
解: 由X服从参数为λ的泊松分布 ∴E(X)=λ
由矩法,应有x=λ
∴λ1=x
似然函数为Lλ=i=1nλixie-λ=λxix1!x2!⋯xn!e-nλ
lnLλ=xilnλ-nλ-ln⁡(x1!x2!⋯xn!)
d lnLλdλ=xiλ-n=0
解得λ的极大似然估计为
λ2=1ni=1nxi=X

习题7.2
1. 证明样本均值x是总体均值μ的相合估计.
证:
∵Ex=μ,Dx=σ2n→0(n→∞)
∴由定理7-1知x是μ的相合估计.
2. 证明样本的k阶矩Ak=1ni=1nxik是总体k阶矩Exk的相合估计量.
证:
∵EAk=E1ni=1nxik=Exk, DAk=D1ni=1nxik=1n2i=1nD(xik)→0(n→0)
∴Ak=1ni=1nxik是Exk的相合估计.
3. 设总体X~Nμ,1,-∞<μ<∞,x1,x2,x3为其样品.试证下述三个估计量:
(1) μ1=15x1+310x2+12x3;
(2) μ2=13x1+14x2+512x3;
(3) μ3=13x1+16x2+12x3
都是μ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小?
证:
∵Eμ1=15E(x1)+310Ex2+12Ex3=15μ+310μ+12μ=μ
Eμ2=13E(x1)+14Ex2+512Ex3=13μ+14μ+512μ=μ
Eμ3=13E(x1)+16Ex2+12Ex3=13μ+16μ+12μ=μ
∴μ1,μ2,μ3都是μ的无偏估计.
Dμ1=125D(x1)+9100Dx2+14Dx3=125+9100+14=1950
Dμ2=19D(x1)+116Dx2+25144Dx3=19+116+25144=2572
Dμ3=19D(x1)+136Dx2+14Dx3=19+136+14=718
故μ2的方差最小.
4. 设总体X~uθ,2θ,其中θ>0是未知参数,又x1,x2,⋯xn为取自该总体的样品,x为样品均值.
(1) 证明θ=23x是参数θ的无偏估计和相合估计;
(2) 求θ的极大似然估计.
(1) 证:
Eθ=E23x=23Ex=23*32θ=θ
∴θ=23x是参数θ的无偏估计
又
Dθ=D23x=49Dx=49*θ212n=θ227n→0(n→∞)
∴θ=23x是参数θ的相合估计.
(2) X~uθ,2θ故其分布密度为
fx=1θ, 0≤x≤2θ (θ>0)0, 其他
似然函数
Lθ=1θn, 0≤xi≤2θ (i=1,2,⋯n)0, 其他
因对所有xi有0≤xi≤2θ i=1,2,⋯n
∴0≤max{x1,x2,⋯xn}≤2θ

习题7.3
1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~Nμ,0.22.现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的x=8.54,求μ的置信度0.9的置信区间.
解:α=1-0.9=0.1,u0.05=1.64
置信度为0.9的置信区间是
x-uα2σn,x+uα2σn
=8.54-1.64*0.26,8.54+1.64*0.26
≈[8.41,8.67]
2. 设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:
4.68
4.85
4.32
4.85
4.61
5.02
5.20
4.60
4.58
4.72
4.38
4.7
试求平均寿命μ的0.95的置信区间.(例7-21, σ未知时μ的置信区间)
解: x=4.7092,S2=0.0615.α=1-0.95=0.05,查t分布表知t0.02511=2.2010
平均寿命μ的0.95的置信区间为:
x-tα2(n-1)sn,x+tα2(n-1)sn
=4.7092-2.2010*0.061512,4.7092+2.2010*0.061512
=[4.5516 , 4.8668]
3. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从Nμ1,σ12,Nμ2,σ22,
其中σi2,μi未知i=1,2.现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得s12=6.38,s22=5.15.
求两总体方差比σ12/σ22的置信度0.90的置信区间.
解:此处n1=25, n2=15, s12=6.38, s22=5.15, α=1-0.90=0.1,α2=0.05
σ12/σ22的置信度0.90的置信区间为:
s12s22∙1Fα2n1-1,n2-1,s12s22∙1F1-α2n1-1,n2-1
=[6.385.15∙1F0.0524,14,6.385.15∙1F0.95(24,14)]
=[1.24*12.35,1.24*]
4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下:
14.6
14.7
15.1
14.9
14.8
15.0
15.1
15.2
14.8
设滚珠直径服从正态分布,若
(1) 已知滚珠直径的标准差σ=0.15毫米;
(2) 未知标准差σ.
求直径均值μ的置信度0.95的置信区间.
解: (1) x=14.91,α=1-0.95=0.05,u0.025=1.96
直径均值μ的置信度0.95的置信区间为:
x-uα2σn,x+uα2σn
=14.91-1.96*0.159,14.91+1.96*0.159
≈[14.812,15.008]
(2)x=14.91,S2=0.041,α=1-0.95=0.05,t0.0258=2.306
置信度0.95的置信区间为:
x-tα2(n-1)sn,x+tα2(n-1)sn
=14.91-2.306*0.0419,14.91+2.306*0.0419
=[14.754 , 15.066]

5. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X服从正态分布Nμ,σ2,其中μ,σ2未知. 令随机地抽取16个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):

1502
1480
1485
1511
1514
1527
1603
1480
1532
1508
1490
1470
1520
1505
1485
1540

求该批灯泡平均寿命μ的置信度0.95的置信区间.
解: x=1509.5,S2=1038.5,α=1-0.95=0.05,t0.02515=2.1315
置信度0.95的置信区间为:
x-tα2(n-1)sn,x+tα2(n-1)sn
=1509.5-2.1315*1038.516,1509.5+2.1315*1038.516
=[1492.328 , 1526.672]

6. 求上题灯泡寿命方差σ2的置信度0.95的置信区间.
解: S2=1038.5,α=1-0.95=0.05,查表知χ0.025215=27.488,χ0.975215=6.262
置信度0.95的置信区间为:
n-1s2χα22n-1,n-1s2χ1-α22n-1=15*1038.527.488,15*1038.56.262=[566.702,2487.624]

7. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):
42.5
42.7
43.0
42.3
43.4
44.5
44.0
43.8
44.1
43.9
43.7
注意这里是求σ的置信区间,结果要开方.
求(1)平均抗弯强度μ的置信度0.95的置信区间.
(2)抗弯强度标准差σ的置信度0.90的置信区间.
解: (1) x=43.4,S2=0.5207,α=1-0.95=0.05,查表知t0.02510=2.2281
置信度0.95的置信区间为:
x-tα2(n-1)sn,x+tα2(n-1)sn
=[43.4-2.2281*0.520711,43.4+2.2281*0.520711]
=[42.915,43.885]
(2) S2=0.5207,α=1-0.90=0.1,查表知χ0.05210=18.307,χ0.95210=3.940
σ2置信度0.90的置信区间为:
n-1s2χα22n-1,n-1s2χ1-α22n-1=10*0.520718.307,10*0.52073.940=[0.284,1.322]
故σ的置信度0.90的置信区间为[0.53,1.15]
8. 设两个正态总体Nμ1,σ2,Nμ2,σ2中分别取容量为10和12的样本,两样本互相独立.经算得x=20, y=24,又两样本的样本标准差s1=5,s2=6.求μ1-μ2的置信度0.95的置信区间.
解:
Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=9*25+11*3610+12-2=5.572
α=1-0.95=0.05,查表知t0.02520=2.086
故μ1-μ2的置信度0.95的置信区间为:
x-y-tα2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+tα2n1+n2-21n1+1n1Sw
=20-24-2.086*110+112*5.572, 20-24+2.086*110+112*5.572
=[-8.975,0.975]
9. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施磷肥,另外10块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下:
不施磷肥的
560
590
560
570
580
570
600
550
570
550
施磷肥的
620
570
650
600
630
580
570
600
600
580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计(α=0.05).
解: x=570,y=600,Sx2=64009, Sy2=24009
α=0.05,查表知t0.02518=2.1009

Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=44009=22.11
x-y-tα2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+tα2n1+n2-21n1+1n1Sw
=600-570-2.1009*110+110*22.11,600-570+2.1009*110+110*22.11
=[9.23,50.77]
10. 有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和11次测定,测定的方差分别为s12=0.5419,s22=0.6065.设A,B两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为σ12,σ22.求方差比σ12/σ22的置信度0.9的置信区间.
解:
α=1-0.9=0.1,查表知F0.059,10=3.02, F0.959,10=1F0.0510,9=13.14=0.318
故σ12/σ22的置信度0.9的置信区间为:
s12s22Fα2n1-1,n2-1,s12s22F1-α2n1-1,n2-1
=[0.54190.60653.02,0.54190.60650.318]
=[0.295,2.81]
自测题7
一、 填空题
设总体X~Nμ,σ2x1,x2,x3是来自X的样本,则当常数a=12时,μ=13x1+ax2+ 16x3是未知参数μ的无偏估计.
解: μ=13x1+ax2+ 16x3是未知参数μ的无偏估计
则Eμ=13Ex1+aEx2+ 16Ex3=13μ+aμ+ 16μ
∴a=12
二、 一台自动车床加工零件长度X(单位:厘米)服从正态分布Nμ,σ2.从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差S2;(2)总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.
(附:u0.025=1.96, u0.05=1.645,χ0.02523=9.348,χ0.97523=0.216,χ0.02524=11.143,
χ0.97524=0.484)
解: (1)
x=12.6+13.4+12.8+13.24=13
S2=1n-1i=1nxi-x2=0.43
(2)σ2置信度0.90的置信区间为:
n-1s2χα22n-1,n-1s2χ1-α22n-1=3*0.439.348,3*0.430.216=[0.04,1.85]
三、 设总体X~Nμ,σ2,抽取样本x1,x2⋯xn,x=1ni=1nxi为样本均值.
(1) 已知σ=4,x=12,n=144,求μ的置信度为0.95的置信区间;
(2) 已知σ=10,问:要使μ的置信度为0.95的置信区间长度不超过5,样本容量n至少应取多大?(附u0.025=1.96, u0.05=1.645)
解: (1) μ的置信度为0.95的置信区间为:
x-uα2σn,x+uα2σn
=12-1.96*4144,12+1.96*4144
=[11.347,12.653]
(2) μ的置信度为0.95的置信区间为x-uα2σn,x+uα2σn,
故区间长度为2uα2σn
∴2uα2σn≤5, 解得n≥61.5≈62
四、 某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
x=175.9,y=172.0;S12=11.3,S22=9.1.假设两市新生身高分别服从正态分布: X~Nμ1,σ2,
Y~Nμ2,σ2,其中σ2未知.试求μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间.(附: t0.025(9)=2.2622,
t0.025(11)=2.2010)
解:
Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=90.79=3.17
x-y-tα2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+tα2n1+n2-21n1+1n1Sw
=175.9-172-2.2622*0.61*3.17,175.9-172+2.2622*0.605*3.17
=[-0.474,8.274]