广东省中山市八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式(1)教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级下册数学教案.doc

《19.2.3一次函数与方程、不等式》
（第一课时）
教学目标：
1．使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；
2．引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识；
3．通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识.
教学重点：探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系．
教学难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示．
教学过程：
一、复习旧知、提出课题
前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系，复习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的形式,师生共同回答
这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法.
注:点明学习本节内容的必要性：(1)函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；(2)用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本节内容的大致框架.
二、创设情境、讲授新课
探究一：我们先来看下面的两个问题有什么关系：
(1)解方程2x+20=0.
(2)当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零?
1、问题：
① 对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方?

2x+20=0
y=2x+20
形式上
 一元一次方程
 一次函数
② 从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系?

2x+20=0
y=2x+20
本质上
（从“数”的角度）
解方程 2x+20=0，
得x=-10.

 当函数值y为0时，所对应的自变量x的值.也就是：当y=0时，即2x+20=0，解得x=-10.
快乐演练：从“数”的角度
序 号
一元一次方程问题
一元函数问题
1
 解方程2x+20=0
 当x为何值时，
y=2x+20的值为0?
2
 解方程 -2x+2=0
 当x为何值时，
y=-2x+2的值为0?
3
 解方程 -2x+2= -1
(先转化为-2x+3=0)
 当x为何值时，
y=-2x+3的值为0?
4
 解方程 ax+b=0
 当x为何值时，
y=ax+b的值为0?
③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),看看(1)与(2)是怎么样的一种关系?
从形的角度 ：直线y=2x+20的图象与x轴的交点坐标为（_-10_,_0），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_-10__.

快乐演练：从“形”的角度
序号
一次函数问题
一次函数问题
1

当x为何值时，
y=2x+20的值为0

2

当x为何值时，
y=2x-2的值为0

3

当x为何值时，
y=-2x+3的值为0

4
当x为何值时，
y=ax+b的值为0
直线y=ax+b与x轴交点
的横坐标（即x=-b/a)
注:用具体问题作对比,帮助学生理解.
在学生议论的基础上,教师结合教科书揭示：(1)与(2)实际上是同一个问题.
探讨归纳
从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题是同一的?学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上怎么看?)
师生共同归纳：
一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看：
求ax+b=0(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为0
从形的角度看：
求ax+b=0(a≠0)的解确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.
让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.
2、思考一：
下面3个方程有什么共同点与不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3； （2）2x+1=0； （3）2x+1=-1．（同桌的两个同学互相交流）
相同点：等式左边都是一元一次方程而且左边都是2x+1
不同点：等式右边有3,0和-1，即有正数、零和负数.
追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？（引导学生通过图像共同完成，理解和体会一元一次方程与函数的关系）

归纳：（更具有一般性）
从数的角度看：
求ax+b=k(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为k
从形的角度看：
求ax+b=k(a≠0)的解当函数y=ax+b纵坐标为k时，所对应的横坐标x的值
从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.
让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.
3、例题讲解：
已知一次函数y=-2x+2，根据图像回答：
（1）当y=0时，求x的值.
（2）当y=2时，求x的值.
解：(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x 轴的交点 为（1,0）；∴当y=0时，x=1
(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y 轴的交点为（0,2）；∴当y=2时，x=0
4、快乐演练：
⑴根据下列图像，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解？

⑵当x为何值时，y=ax+b的值？

（1）引导学生从函数图像上，如何将图像问题转化为代数问题，从而达到理解数形结合思想的目的.
（2）引导学生从函数图像上直接看出，左边的由图像可以得到当x=-1时，y=0；当x=0时，y=2；右边的由图像可以得到当x=-2时，y=0；当x=0时，y=-1；
（通过实例来巩固一次函数与一元一次方程的关系，学会怎么进行转化）
探究二：刚刚我们已经研究了一元一次方程与一次函数的关系，主要是从“数”和“形”两个角度来探讨，下面我们看这样两个问题
1、问题一：从“数”的角度议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？
(1)解不等式：2x-4>0
(2)当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0
解：（1）解得x>2；
(2)就是要使2x-4>0，解得x>2时，函数y=2x-4的值大于0
师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题
2、快乐演练：根据一次函数与不等式的关系填空：
(1) 解不等式3x－6<0，可看作
(2) “当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作
解答：（1）求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围
（2）解不等3x+8>0
3、问题二：从“形”的角度议一议：如何用函数图象来解释：自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0？
解：画出直线y=2x-4,可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0
师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题
4、快乐演练：
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集

（1） （2）
①、由图像（1）回答下列问题：
⑴3x+6>0，从“数”的角度，等价于y>0；
从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x>-2
⑵3x+6≤0，从“数”的角度，等价于y≤0；
从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x≤-2
②、由图像（2）回答下列问题：
⑴-x+3≥0，从“数”的角度，等价于y≥0；
从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x≤3
⑵-x+3<0，从“数”的角度，等价于y<0；
从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x>3
5、共同归纳：
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.
一般的一元一次不等式与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.
从数的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值
对于（<0、≥0、≤0）的情况,让学生自己口述,使其真正理解.
注:数形结合,揭示本质.
6、思考二：
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2； （2）3x+2＜0； （3）3x+2＜-1．（同桌的两个同学互相交流）
相同点：等式左边都是一元一次不等式而且左边都是3x+2
不同点：等式右边有2,0和-1，即有正数、零和负数；且有大于和小于符号
追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？（引导学生通过图像共同完成，理解和体会一元一次方程与函数的关系）

归纳：
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
7、例题讲解：
如图, 一次函数的图象y=kx+b(k≠0)经过点（-3，-2）,则关于x的不等式kx+b＞-2的解集为________________.
解：x＜-1
分析：在只知道一次函数图像上一个点的情况下如何求解它的解集，发现不能够通过从“数“的角度求解，只能够从”形“的角度，通过函数图像得到解集。
8、快乐演练：
如图是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则关于x的方程kx+b=0的解为 ；关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集为 .
分析：在知道一次函数图像上2个点的情况下如何求解它的解集，
⑴可以能够通过从“数“的角度求解，先求出一次函数的解析式，再通过解不等式得到；
⑵可以能够从”形“的角度，通过函数图像直接得到解集，图像与x轴的交点横坐标就是方程kx+b=0的解；kx+b>0对应于函数图像在x轴上方，即x＞2；kx+b＜0对应于函数图像在x轴下方，即x＜2；
三、课堂小结、提升新知
1．今天这节课你有哪些收获
2．你觉得应该要注意什么问题？
四、布置作业、内化新知
习题19.2.3 第1题