资源描述
29.2 三视图
第3课时 由三视图确定几何体的面积或体积
1．能根据三视图求几何体的侧面积、表面积和体积等；(重点)
2．解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题．(难点)
一、情境导入
已知某混凝土管道的三视图，你能根据三视图确定浇灌每段这种管道所需混凝土的体积吗(π＝3.14)?
二、合作探究
探究点：由三视图确定几何体的面积或体积
【类型一】 由三视图求几何体的侧面积
已知如图为一几何体的三视图：
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．
解析：(1)根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；(2)根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
解：(1)该几何体是圆柱；
(2)∵从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π(cm2)．
方法总结：解题时要明确侧面积的计算方法，即圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型二】 由三视图求几何体的表面积
如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，求这个几何体的表面积．
解析：先由三视图得到两个长方体的长，宽，高，再分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面面积即可．
解：根据三视图可得：上面的长方体长6mm，高6mm，宽3mm，下面的长方体长10mm，宽8mm，高3mm，这个几何体的表面积为2×(3×8＋3×10＋8×10)＋2×(3×6＋6×6)＝268＋108＝376(mm2)．
答：这个几何体的表面积是376mm2.
方法总结：由三视图求几何体的表面积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律—“长对正，高平齐，宽相等”，确定几何体的长、宽、高等相关数据值，再根据相关公式计算几何体的面积．注意：求解组合体的表面积时重叠部分不应计算在内．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型三】 由三视图求几何体的体积
某一空间图形的三视图如图所示，其中主视图是半径为1的半圆以及高为1的矩形；左视图是半径为1的四分之一圆以及高为1的矩形；俯视图是半径为1的圆，求此图形的体积(参考公式：V球＝πR3)．
解析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为下部是底面半径为1，高为1的圆柱，上部是半径为1的球组成的组成体，代入圆柱体积公式和球的体积公式，即可得到答案．
解：由已知可得该几何体是一个下部为圆柱，上部为球的组合体．由三视图可得，下部圆柱的底面半径为1，高为1，则V圆柱＝π，上部球的半径为1，则V球＝π，故此几何体的体积为.
方法总结：由三视图求几何体的体积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”确定几何体的长、宽、高等相关数据值．再根据相关公式计算几何体各部分的体积并求和．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型四】 由三视图确定几何体面积或体积的实际应用
杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8g/cm3，1kg防锈漆可以涂4m2的铁器面，三视图单位为cm)?
解析：从主视图和左视图可以看出这个几何体是由前后两部分组成的，呈一个T字形状．故可以把该几何体看成两个长方体来计算．
解：∵工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000cm3，∴重量为8000×7.8＝62400(g)＝62.4(kg)，∴铸造5000件工件需生铁5000×62.4＝312000(kg)＝312(t)．∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800cm2＝0.28m2.∴涂完全部工件需防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．
方法总结：本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的面积；关键是得到几何体的形状，得到所求的等量关系的相对应的值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．由三视图求几何体的侧面积；
2．由三视图求几何体的表面积；
3．由三视图求几何体的体积．
本节重在引导学生总结解决此类问题的方法和规律，探究其实质．在小组讨论的过程中，学生了解了三视图中相关数据的对应关系，即“长对正，高平齐，宽相等”，找到了解决问题的根本，通过具体的例题，让学生进行练习，巩固学习效果.
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