九年级数学上册 第二十二章一元二次方程全章教案 人教新课标版.doc

第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程 单元要点分析单元要点分析 教材内容教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目标教学目标 1 1知识与技能知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题 2 2过程与方法过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解 ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即（m-4）2+10 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 五、五、归纳小结归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业六、布置作业 1教材 P34 习题 221 1、2 2选用作业设计 作业设计作业设计 一、选择题一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（）3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数 二、填空题二、填空题 1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 三、综合提高题三、综合提高题 1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4 x2-3x-1-3-3 所以，_x_ 第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_x_ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_，十分位为_ 答案答案:一、1A 2B 3C 二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0）3a1 三、1化为：ax2+（a-3+1）x+1=0，所以，当 a0 时是一元二次方程 2可能，因为当21220mmm，当 m=1 时，该方程是一元二次方程 3（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3 22221 1 一元二次方程一元二次方程 第二课时 教学内容教学内容 1一元二次方程根的概念；2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 重难点关键重难点关键 1重点：判定一个数是否是方程的根；2难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题 问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？108 设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 xm，则长为_m 根据题意，得_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略）二、探索新知二、探索新知 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？老师点评：（1）问题 1 中 x=6 是 x2-36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0 的解 （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根一元二次方程的根 回过头来看：x2-36=0 有两个根，一个是 6，另一个是6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 例例 1 1下面哪些数是方程 2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可 解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程2x2+10 x+12=0 的两根 例例 2 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义 解：（1）移项得 x2=64 根据平方根的意义，得：x=8 即 x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得 x2=2 根据平方根的意义，得 x=2 即 x1=2，x2=-2 （3）因为 x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-3=0 即 x1=0，x2=3 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P33 思考题 练习 1、2 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3 3要剪一块面积为 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x2-5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解：（1）x 不可能小于 5理由：如果 x5，则宽（x-5）0，不合题意 x 不可能等于 10理由：如果 x=10，则面积 x2-5x-150=-100，也不可能（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150-100-84-66-46-24 0 26 54 （3）铁片长 x=15cm 五、归纳小结五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根 六、布置作业六、布置作业 1教材 P34 复习巩固 3、4 综合运用 5、6、7 拓广探索 8、9 2选用课时作业设计 作业设计作业设计 一、选择题一、选择题 1方程 x（x-1）=2 的两根为（）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2=1a Cx1=a，x2=1a Dx1=a2，x2=b2 3已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0），则acbb=（）A1 B-1 C0 D2 二、填空题二、填空题 1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=_，x2=_ 2已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为_ 3方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根 x1=_；x2=_ 三三、综合提高题、综合提高题 1如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值 2如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根 3在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx）2-2x21xx+1=0，令21xx=y，则有 y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0 中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0 的根 答案答案:一、1D 2B 3A 二、19，-9 2-13 3-1，1-2 三、1由已知，得 a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9 2a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1 代入得 ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，-1 必是该方程的一根 3设 y=x2-1，则 y2+y=0，y1=0，y2=-1，即当 x2-1=0，x1=1，x2=-1；当 y2=-1 时，x2-1=-1，x2=0，x3=x4=0，x1=1，x2=-1，x3=x4=0 是原方程的根 22.2.1 22.2.1 直接开平方法直接开平方法 教学内容教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程 重难点关键重难点关键 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 2 难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2 问题 2如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？BCAQP 老师点评：问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p）2 2p 问题 2：设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得：12x2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得 x=22 即 x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程12x2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值 所以 22秒后PBQ 的面积等于 8cm2 二、探索新知二、探索新知 上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=22，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=22 即 2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为 t1=2-12，t2=-2-12 例例 1 1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例例 2 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为 x一年后人均住房面积就应该是 10+10 x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习三、巩固练习 教材 P36 练习 四、四、应用拓展应用拓展 例例 3 3某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x 那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=256 x+32=1.6，即 x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0），那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么 mx+n=p，达到降次转化之目的 六、布置作业六、布置作业 1教材 P45 复习巩固 1、2 2选用作业设计:一、选择题一、选择题 1若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（）Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（）A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程 x2-23x+1=0 正确的解法是（）A（x-13）2=89，x=132 23 B（x-13）2=-89，原方程无解 C（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253 D（x-23）2=1，x1=53，x2=-13 二、填空题二、填空题 1若 8x2-16=0，则 x 的值是_ 2如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数，满足34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1解关于 x 的方程（x+m）2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成，木栏长 40m （1）鸡场的面积能达到 180m2吗？能达到 200m 吗？（2）鸡场的面积能达到 210m2吗？3 在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案答案:一、1B 2D 3B 二、12 29 或-3 3-8 三、1当 n0 时，x+m=n，x1=n-m，x2=-n-m当 n0 时，无解 2（1）都能达到设宽为 x，则长为 40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180 整理，得：x2-20 x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理 x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为 40-20=20 （2）不能达到同理 x（40-2x）=210，x2-20 x+105=0，b2-4ac=400-410=-100 2244baca0 直接开平方，得：x+2ba=242baca 即 x=242bbaca x1=242bbaca，x2=242bbaca 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca 就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例例 1 1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x=(4)2442 6262 242 x1=262，x2=262 （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x=(5)49572 36 x1=2，x2=-13 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-439=130 x=(11)1311132 36 x1=11136，x2=11136 （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P42 练习 1（1）、（3）、（5）四、应用拓展四、应用拓展 例例 2 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0 提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？分析分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足:21 1(1)(2)0mmm 或21020mm 或1020mm 解：解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=20 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x=(1)91 32 24 x1=，x2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-12 （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0，m 不存在 当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30 所以 m=-1 也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-13 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1时，其一元一次方程的根为 x=-13 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业六、布置作业 1教材 P45 复习巩固 4 2选用作业设计:一、选择题一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（）Ax=362 Bx=362 Cx=32 32 Dx=32 32 2方程2x2+43x+62=0 的根是（）Ax1=2，x2=3 Bx1=6，x2=2 Cx1=22，x2=2 Dx1=x2=-6 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（）A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导 x1+x2=-ba，x1x2=ca；（2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费 （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？答案答案:一、1D 2D 3C 二、1x=242bbaca，b2-4ac0 24 3-3 三、1x=22224442aaba=ab 2（1）x1、x2是 ax2+bx+c=0（a0）的两根，x1=242bbaca，x2=242bbaca x1+x2=22442bbacbbaca =-ba，x1x2=242bbaca 242bbaca=ca （2）x1，x2是 ax2+bx+c=0 的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=0 3（1）超过部分电费=（90-A）100A=-1100A2+910A （2）依题意，得：（80-A）100A=15，A1=30（舍去），A2=50 22.3 22.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程(1)(1)教学内容教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题 教学目标教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题 重难点关键重难点关键 1重点：用“倍数关系”建立数学模型 2难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）问题问题 1 1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：星期 一 二 三 四 五 甲 12 元 12.5 元 12.9 元 12.45 元 12.75 元 乙 13.5 元 13.3 元 13.9 元 13.4 元 13.75 元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加 200 元，星期三比星期二增加 1300 元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 x 或 y 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 200 元，星期三比星期二增加 1300 元，便可列出等式 解：设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张 则0.5(0.2)2000.40.61300 xyxy 解得1000(1500(xy股)股)答：（略）二、探索新知二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题 （学生活动）问题问题 2 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x因为一月份是 1 万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为 x，则 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型 例例 1 1某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系 解：设平均增长率为 x 则 200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50%答：所求的增长率为 50%三、巩固练习三、巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为_ 四、应四、应用拓展用拓展 例例 2 2某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是1000+2000 x80%；第二次存，本金就变为 1000+2000 x80%，其它依此类推 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000 x80%+（1000+2000 x8%）x80%=1320 整理，得：1280 x2+800 x+1600 x=320，即 8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是 125%五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它 六、布置作业六、布置作业 1教材 P53 复习巩固 1 综合运用 1 2选用作业设计 作业设计作业设计 一、选择题一、选择题 12005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共 250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（）A100（1+x）2=250 B100（1+x）+100（1+x）2=250 C100（1-x）2=250 D100（1+x）2 2 一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价为（）A（1+25%）（1+70%）a 元 B70%（1+25%）a 元 C（1+25%）（1-70%）a 元 D（1+25%+70%）a 元 3某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（）A100pp Bp C1001000pp D100100pp 二、填空题二、填空题 1 某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为_ 2某糖厂 2002 年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为 x，那么预计 2004 年的产量将是_ 3我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在 1999 年涨价 30%后，2001年降价 70%至 a元，则这种药品在 1999年涨价前价格是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002 年一年退耕还林 1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率 2洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16 台，从二月份起，甲型每月增产 10 台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量 3某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营 （1）如果第一年的年获利率为 p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金100%）（2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与 10%的和），第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率 答案答案:一、1B 2B 3D 二、16（1+x）6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2 2a（1+x）2t 310039a 三、1平均增长率为 x，则 1600（1+x）2=1936，x=10%2设乙型增长率为 x，甲型一月份产量为 y：则210316(1)2(20)16(1)65yxyx 224141632290yxxyx 即 16x2+56x-15=0，解得 x=14=25%，y=20（台）3（1）第一年年终总资金=50（1+P）（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得 P=10%22.3 22.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程(2(2)教学内容教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况 教学目标教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法 重难点关键重难点关键 1重点：如何全面地比较几个对象的变化状况 2难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况 教具、学具准备 小黑板 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目 问题：问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：老师点评：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+0.1x100）解：解：设每张贺年卡应降价 x 元 则（0.3-x）（500+1000.1x）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元 二、探索新知二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减少库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系 例例 1 1某售价每降价 0.25 元，那么商场平均每天可多售出 34张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大 分析分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元；0.30.751000.10.2534，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题 解解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应降价 0.1元 （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元，则：（0.75-y）（200+0.25y34）=120 即（34-y）（200+136y）=120 整理：得 68y2+49y-15=0 y=4964812 68 y-0.98（不符题意，应舍去）y0.23 元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律 （学生活动）例（学生活动）例 2 2 两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t乙种药品的成本是 6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t乙种药品的成本是 3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）2=1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题 解解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元 依题意，得 5000（1-x）2=3000 解得：x10.225，x21.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为 y 则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等 三、巩固练习三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展四、应