资源描述
二次函数与一元二次方程
教学目标
1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化．
2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．
3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法．
教学重难点
探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用．
教学过程
导入新课
出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：
1．x为何值时，y＝0?
2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？
3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？
推进新课
一、合作探究
【问题1】 画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？
(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？
(3)你能从中得到什么启发？
教学设计： 1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象．
2．教师巡视，与学生合作、交流．
3．教师讲评，并画出函数图象．
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)．
5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
【问题2】 画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察：
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点；②有一个交点；③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac
有两个交点
有两个相异实数根
b2－4ac＞0
有一个交点
有两个相等实数根
b2－4ac＝0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0
【问题3】 根据问题1的图象回答下列问题：
(1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?
当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0.
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？
能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？
【问题4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？
让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．
【问题5】 利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．
分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)．
方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围．
观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7.
方法二：观察图象发现，当自变量为2时，函数值小于0；当自变量为3时，函数值大于0，抛物线是一段连续曲线，所以在2和3之间的某个值，函数值为0，即在2和3之间有根．
采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5与3之间有一个根；将2.75代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5与2.75之间有一个根；……最后确定这个根大约是2.7.
采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7.
点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导，理清思路．
二、应用示例
【例1】 如图所示，
(1)一元二次方程－x2＋2x＋3＝0的根是多少？
(2)一元二次方程－x2＋2x＋3＝3的根是多少？
(3)不等式－x2＋2x＋3＞3的解集是什么？
(4)一元二次方程－x2＋2x＋3＝k有两个根，则k的取值范围是什么？
解：根据图象知：
(1)方程－x2＋2x＋3＝0的两根为x1＝－1，x2＝3.
(2)方程－x2＋2x＋3＝3的两根为x1＝0，x2＝2.
(3)不等式－x2＋2x＋3＞3的解集是0＜x＜2.
(4)k的取值范围是k＜4.
点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．
【例2】 已知抛物线y＝x2＋(2k＋1)x－k2＋k.
(1)求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当k＝0时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．
分析：(1)证明方程x2＋(2k＋1)x－k2＋k＝0有两个不相等的实数根即可．
(2)通过解方程，求值即可．
点拨：(1)注意利用b2－4ac的值二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的个数．
(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法．
三、巩固提高
1．抛物线y＝－x2＋2kx＋2与x轴交点的个数有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
2．小强从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c＞1；(3)b＞0；(4)a＋b＋c＞0；(5)a－b＋c＞0.
你认为其中，正确信息的个数有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋3与y＝－x2＋3x＋2的两交点关于原点对称，则a、b分别为__________．
4．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－1,0)和B(2,0)，当y＜0时，x的取值范围是__________．
5．抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程x2－6x＋8＝0的根．
6．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
本课小结
1．所学知识：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系．当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解．
2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法．
二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实际上是二次函数y＝ax2＋bx＋c中y＝0时的一种特殊情况．可列表如下：
开口方向
判别式
二次函数图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况
a＞0
Δ＞0
有两个交点
有两不等实根x1，x2
Δ＝0
有一个交点
有两相等实根x1＝x2
Δ＜0
没有交点
无实根
a＜0
Δ＞0
有两个交点
有两不等实根x1，x2
Δ＝0
有一个交点
有两相等实根x1＝x2
Δ＜0
没有交点
无实根
奥赛链接
已知点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是__________．
解析：分两种情况：
(1)因为二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a－3)×1＋3]×[22＋(a－3)×2＋3]＜0.
解得－1＜a＜.
由12＋(a－3)×1＋3＝0，得a＝－1，此时x1＝1，x2＝3，符合题意；
由22＋(a－3)×2＋3＝0，得a＝，此时x1＝2，x2＝，不符合题意．
(2)令x2＋(a－3)x＋3＝0，由判别式Δ＝0，得a＝3±.
当a＝3＋时，x1＝x2＝，不合题意；当a＝3－时，x1＝x2＝，符合题意．
综上所述，a的取值范围是－1≤a＜或a＝3－.
答案：－1≤a＜或a＝3－
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