资源描述
三角形的中位线
1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)
一、情境导入
如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？
二、合作探究
探究点：三角形的中位线
【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
A. B．3 C．6 D．9
解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用三角形中位线定理求角
如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故选A.
方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解析：为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝(5－3)＝1.
方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型四】 中位线定理的综合应用
如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．
解：AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.
方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
1．三角形的中位线
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.
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