八年级数学上册 第2章 一次函数 第2章综合名师教案2 湘教版.doc

八年级数学上册 第2章 一次函数 第2章综合名师教案2 湘教版
教学目标：
1. 知识与技能：
（1）会根据已知条件，运用待定系数法确定一次函数的表达式。
（2）了解一次函数模型，初步学会建立一次函数模型的方法。
（3）能用一次函数解决简单的实际问。
（4）能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
（5）能根据一次函数的图像，求二元一次方程组的近似解。

2. 过程与方法：
通过建立函数模型的概念，掌握建立一次函数模型的待定系数法，图像法等方法。

3. 情感态度与价值观：
结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，培养应用数学的态度和能力，渗透数学建模的基本思路。

二. 重点、难点
重点：了解两个条件确定一个一次函数，能由两个条件求出一次函数的表达式。
难点：应用一次函数解析式解决有关问。

教学知识要点：
1. 函数建模的概念：
求出表示某个客观现象的函数，称为建立函数模型。
2. 待定系数法
（1）待定系数法的定义：
通过确定函数模型，然后列方程组求待定系数，从而求出函数的解析，这种方法称为待定系数法。
（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数的函数解析式
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）
③解方程（组），求出待定系数
④将求得的待定系数的值代回所设的解析式
强调指出：a）正比例函数y＝kx中，只有一个待定系数k，一般只需一个条件即可求出k值。
b）一次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要两个条件，才能求出k和b的值。
3. 用图象法求二元一次方程组的近似解
两直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的交点坐标即方程组

的近似解，这种解二元一次方程组的方法叫做图象法。
强调指出：用图像法求二元一次方程组的解通常先画出两直线的图象（在同一坐标系中），求得交点坐标，且得出的通常是方程组的近似解。

【典型例】
基础知识
例1. 求下列一次函数的解析式
（1）过点A（0，－1）和B（2，1）

（3）图像过点P（5，0），且与坐标轴截得的直角三角形的面积为25
分析：（1）已知两点求一次函数的解析式，可用待定系数法解，先设出函数的解析式，然后把两点A、B的坐标代入解析式中，从而求出待定系数。
（6，2），求出b值。
（3）将P（5，0）代入解析式y＝kx＋b中可得关于k、b的一个方程，而还需得到另一个关于k、b的方程才能解出k、b，这就要借助目中给出的三角形的面积得出。
解：（1）设所求函数的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）
∵函数图像经过A（0，－1）和B（2，1）点

∴所求函数解析式为：y＝x－1
（2）设所求函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）

又∵图像经过点（6，2）

（3）设所求函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）

∵图像过点（5，0）
∴0＝5k＋b ①
又∵直线与y轴交点B的坐标为（0，b）
与x轴交点坐标A（5，0）

将①②组成方程组

解之得：

∴所求一次函数解析式为：y＝－2x＋10或y＝2x－10

例2. 如图所求
（1）求出直线l1、l2的函数表达式

分析：（1）由图象可以看出l1、l2都经过（2，2）点，l1还经过（1，0）点，l2还经过（0，1）点，将这三点分别代入到l1和l2的解析式中即可求得l1和l2的解析式。

可知（2，2）是方程组的解
解：（1）设l1的解析式为y＝k1x＋b1（k1≠0）
∵直线l1经过（2，2）和（1，0）点
∴将其代入y＝k1x＋b1（k1≠0）中可得：

∴直线l1的解析式为：y＝2x－2
设直线l2的解析式为：y＝k2x＋b2（k2≠0）
∵直线l2经过（2，2）和（0，1）
∴将其代入y＝k2x＋b2（k2≠0）中可得：

发现方程组中的每一个方程左右两边都相等

能力发展：
例3. 如图的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者九点离开家，十五点回家，根据这个曲线图，请你回答下列问：

（1）到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
（3）第一次休息时，离家多远？
（4）11：00到12：00他骑了多少米？
（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？
（6）他在何时至何时停止前进并休息午餐？
（7）他在停止前进后返回，骑了多少千米？
（8）返回时的平均速度是多少？
（9）11：30和13：30时，分别离家多远？
（10）何时距家22千米？
分析：这个曲线图，与课本上函数图像的不同点在于：横轴表示的时间不是从0开始的，而是从9开始；横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含意，曲线上每一点的坐标（t，S）中，t表示时间，S表示离家的距离。
解：（1）从曲线可以看出，骑车者到达E点时，是离家最远的地方，这时时间是12点，离家30千米。
（2）骑车者从C点至D点之间，没有行走，距离始终保持17km不变，∴在C至D之间，他在休息，时间是10：30至11：00，所以第一次开始休息时休息了半小时。
（3）第一次休息时，离家17km。
（4）从11：00到12：00也就是从D点至E点，在此期间，他骑了（30－17）＝13km。
（5）在9：00～10：00和10：00～10：30之间，他分别骑了10km和（17－10）＝7km，因此他骑车的速度分别为10/1＝10km/小时和。
（6）从E点到F点，也就是从12点到13点间停止前进，并休息午餐较为符合实际情形。
（7）从F点至G点是骑车者停止前进后返回的路程，此间返回骑了30km。
（8）返回时路程为30km，返回时间是从13点到15点共用了2小时，∴返回的平均速度为30/2＝15km/小时。
（9）因为在11：30和13：30时，通过图形不能准确地看出离家的路程，因此我们可以通过求出线段DE和FG所在直线的解析式
设直线DE解析式为：S＝kt＋b（k≠0）
将D（11，17），E（12，30）的坐标值代入解析式得：

∴DE所在直线的解析式为：S＝13t－126
∴当t＝11.5时，S＝13×11.5－126＝23.5km
设直线FG的解析式为：S＝k’t＋b’
把（15，0）（13，30）代入：

解之：k’＝－15，b＝225

当t＝13.5时，S＝－15×13.5＋225＝22.5（km）
∴11：30和13：30时，分别离家23.5km和22.5km。
（10）由（9）的解答可知，直线DE的解析式为S＝13t－126
而S＝22km落在DE所在线段内
∴将S＝22km代入解析式S＝13t－126得t＝11.3
∴11点18分时离家22km
在FG上同样有一点离家22km，我们可以这样考虑：13点至15点的时速为15km/小时，此间走了（30－22）＝8km，所以此段所用时间为：

故在13点32分时同样离家22千米。
∴当时间是11点18分和13点32分时，骑车者距家22千米。

创新应用
例4. 在弹性限度内，弹簧的长度y（cm），是所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长12cm，请写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为6kg时弹簧的长度。
分析：因为弹簧的长度y是所挂物体的质量x的一次函数，所以可设y＝kx＋b
解：（1）设y＝kx＋b，根据意得：

∴y与x的关系式为：y＝x＋9
（2）当x＝6时
y＝6＋9＝15cm
即物体的质量为6kg时，弹簧长度为15cm。

【模拟试】（答时间：40分钟）
一. 填空
1. 若一次函数经过点（3，0），则k＝__________，该图像还经过（0，_____）和（1，______）
2. 当m＝______时，函数是关于x的一次函数。
3. 当m________时，一次函数的y随x的增大而增大。

二. 选择
1. 已知函数的图象如下图所示，那么k、b符号正确的是（ ）
A. k>0，b>0 B. k<0，b>0
C. k>0，b<0 D. k<0，b<0

2. 早晨，小兰从家出发，以v1的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点之后，以v2速度向学校行进，已知v1>v2，下面的图象中表示小兰从家到学校的时间t（分钟）与所走路程S（千米）之间的关系是（ ）

3. 下列函数中，y与x成正比例关系的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.

三. 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，求常数m的值。

四. 已知与成正比例，且当时
（1）求出y与x之间的函数关系式
（2）设点（a，－2）在这个函数的图像上，求a
（3）如果x的取值范围，求y的取值范围

五. 某市教委决定分别送给A县教育局10台电脑，B县教育局8台电脑，但现仅有12台，需在C市买6台，经协商从某市教委运一台电脑到B县、A县的运费分别为30元和50元，从C市运一台电脑到B县、A县的运费分别为40元和80元，要求总运费不超过840元，问有几种调运方案，并指出运费最低的方案。

【试答案】
一. 填空
1. k＝1，（0，－3），（1，－2）
2. m＝0或m＝－3或
提示：或或
3. k<2

二. 选择
1. D 2. B 3. C 4. A

三. 解：直线（m<0）与两坐标轴的交点坐标分别为A（0，2）和B（，0）

四. 解：（1）与成正比例函数
可设

当时，y＝4

（2）点（a，－2）在这个函数图像上

（3）的取值范围是
当时，，当时，
的取值范围是

五. 分析：此的总运费由四部分组成，即：
（1）某市教委送往B县教育局的费用
（2）某市教委送往A县教育局的费用
（3）从C市运往B县教育局的费用
（4）从C市运往A县教育局的费用
分别将以上费用的代数式列出来，就可以把它们全部相加即可得总运费。
解：设从市教委运送x台电脑给B县教育局，其费用为30x元
则从市教委运送（12－x）台电脑给A县教育局，其费用为元
从C市运送（8－x）台电脑给B县教育局，其费用为元
则从C市运送台电脑给A县教育局，其费用为
设总运费为y元，根据意，得：

即
∵根据实际从市教委至少运送2台电脑给B县教育局，至多送8台给B县教育局。
故x的取值范围为：的整数
又∵总运费要求不超过840元
∴经验证：x＝2，3，4时满足此条件
即当x＝2时，
当x＝3时，
当时，
显然，当x＝2时，y＝800元运费最低
此时12－x＝10，8－x＝6，
答：有3种调运方案：
其中，从市教委运2台电脑给B县教育局，运10台电脑给A县教育局，从C市运6台给B县教育局，这种方案运费最低，此时运费为800元