七年级数学上 科学记数法、混合运算、近似数和有效数字教案.doc

一、教学内容科学记数法、混合运算、近似数和有效数字二、知识要点1. 知识点概要（1）会用科学记数法表示绝对值大于10的数；（2）掌握有理数混合运算的法则，学会熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算（以三步为主），能在运算过程中合理使用运算律简化运算；（3）会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算；（4）了解近似数与有效数字的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求其近似值；2. 重点难点（1）掌握有理数的混合运算顺序，并能应用有理数的运算解决实际问题（2）掌握近似数与有效数字的概念联系与区别，学会准确使用科学记数法。三、考点分析（一） 科学记数法1. 概念一般地，一个绝对值大于10的数可以表示成a10n的形式，其中1|a| 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。2. 注意点（1）记数对象：大于10的数；（2）一般形式：a10n，其中1|a| 10，n是正整数。3. 表示方法科学记数法是表示数的另一种方法，不管是准确数还是近似数，它的形式是固定的。数字用它表示时，就是将结果写成a10n的形式，其中 1|a|10，确定时只要把小数点移到左起第一、二位数之间即可，n是比要表示的数的整数位数少1的数.如：398700000可表示成3.987108。（二） 有理数的混合运算1. 运算顺序在做有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算时，其运算顺序和在算术中的规定是相同的，它们是：有理数混合运算的运算顺序规定如下：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方（今后将会学到）叫做第三级运算。2. 运算律与简便运算有时为了计算的方便，我们也会改变以上的运算顺序，但改变运算顺序，不能随心所欲，要以运算律和运算性质为根据。例如，进行有理数加减运算时，往往可以把结果为整数的两数先加减；把分母相同的数先加减；把正数、负数分别集中相加减，这些方法都可以使运算简便。 （三） 近似数和有效数字1. 四舍五入四舍五入是确定近似值的常用方法，利用四舍五入法取近似值时，要在要求精确到的数位的下一位（即右边一位）上进行，满5进一，不满5舍去.切不可在最末一位上逐步四舍五入。 2. 精确度的确定（1）常规近似数的精确度，直接根据数的位数来确定；（2）用科学记数法表示的近似数的精确程度，一般由a10n还原成一般数字后的数来确定；（3）确定以万、亿位单位的近似数的精确程度，一般也是化为一般数字近似数，再确定它的精确度。3. 有效数字确定方法（1）一般近似数的有效数字确定有两个原则：一是非零数字都是有效数字；二是非零数字前面的“0”都不是有效数字，三是非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字。（2）对科学记数法表示的近似数的有效数字，由a10n（1a10）中的a来确定，而与10n中的n无关. 如3.987108的有效数字由3.987来确定，与后面的108无关，3.987的有效数字有4位，所以3.987108的有效数字也是4位，分别是3、9、8、7。（3）对于带单位的近似数的有效数字，只看单位前面的数字，与单位无关；而 4.10万的有效数字也是由4.10来确定，与后面的万无关，4.10的有效数字有3位，所以4.10万的有效数字也是3位，分别是4、1、0.注意：有效数字的个数越多，精确程度越高.如近似数1.6与1.60，两个近似数有效数字不同：1.6只有两个有效数字，而1.60有三个有效数字，因而它们所表示的精确度也是不同的：1.6精确到十分位，与准确数的误差不超过0.05，它所代表的准确值在1.55到1.65之间，即小于1.65而大于或等于1.55；1.60精确到百分位，它与准确数误差不超过0.005，它所代表的准确值在1.595到1.605之间，即小于1.605而大于或等于1.595。4. 精确度的描述一种是精确到哪一位，有两种说法，其一：直接说成“精确到位”，其二：说成“精确到0.001”，即精确到千分位；另一种是保留几个有效数字。（四） 计算器的运用1. 计算器的结构计算器的面板由键盘和显示器两部分组成.键盘的每个键上都标明了这个键的功能，在计算时要熟悉功能键盘，“ON/C” 是开机键，“OFF”是关机键，“”是乘法运算键等等。有些键的旁边还注明这些键兼有别的功能（第二功能）.显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的.只要我们从高位到低位依次输入一个多位数，这个多位数就会在显示器上显示出来，当然如果输入的是一个算式的话，只要输入方法正确，这个算式也会有显示器上显示出来的。2. 利用计算器进行混合运算各种计算器使用时，按键的方法有时会有不同.但做加、减、乘、除四则运算的方法通常都是一样的，用计算器进行四则运算，只要按算式的书写顺序按键，输入算式，再按等号键，显示器上就显示出计算结果。【典型例题】例1. 光的速度为300 000 000米/秒，计算1年等于多少秒（1年按365天计算）？1光年等于多少千米？现在我们所感知的宇宙为13 000 000 000光年，相当于多少千米？（最后结果保留两位有效数字）分析： 300 000 000是9位数，300 000 000米写成科学记数法的形式则为300 000 000=3108米=3105千米。解： （1） 1年=365246060秒=3.1536107秒；（2）1光年=3105千米/秒3.1536107秒=9.46081012千米；（4）我们所感知的宇宙为1.310109.46081012=1.22990410231.21023（千米）。点评： 牢记确定指数的方法，可以有效减少科学记数法方面的错误。例2. 计算下列各题：（1） ；（2） 。分析： （1） 题以加、减分段， 应分为三段：，.这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除；（2）题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。解： （1） 原式=；（2） 原式=。点评：做有理数混合运算时，如果算式中不含有括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率；如果有了括号，则要注意到括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题。例3. 计算下列各题：（1） ；（2） 。分析： 小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算，如（1）题中的0.46要化成，要化成；（2）题右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值。解： （1） 原式=20；（2） 原式=。点评：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题（1）要注意区别小括号与绝对值的运算；（2）要熟练掌握乘方运算，注意（0.1）3，0.22，（2）3，32在意义上的不同。例4. 计算。分析： 这一题看起来式子较长，似乎一下子也找不到解题的思路，运用换元的办法，可以让我们的思维更清晰。解： 设x =，则原式=x（y+）（x+）y=xy+xy=。将x =，代入，得：原式=。点评：在运算中要先观察，看题中有些什么运算；再思考，想一想，先算什么，后算什么，运算法则是什么等问题，再动手去算.合理使用运算技巧是解决本题的关键。例5. 计算（1） 19.812512.5118；（2）0.7+（14）+3.2514；（4）4（123）（5）1251274755。分析： （1） 前后两部分因数中似乎都含有125的影子，把原式化为19.812512511.8，这样就可以逆用乘法分配律把125先提出来；（2）注意到各部分分别有公因数0.7和14，逆用乘法分配律可分别提取；（4）属于乘法分配律的多项逆用。解： （1） 原式=125（19.811.8）=1258=1000；（2） 原式=0.7（+）14（+3.25）=0.720146=1484=70；（4） 原式4（123127）5（12575）4（250）5（200）=2000。点评：同学们在运算时一定注意了运算律的使用，但你注意了运算律的逆用了吗？本例一定会给你带来很多有益的启示。例6. 把37.0485取近似值，精确到十分位。分析： 要把37.0485精确到十分位，则要看百分位上的数是大于5还是小于5，决定四舍五入。因为十分位上的数字为0，百分位上的数字是4，所以应将4及后面的数字舍去。而十分位上的0要保留。解： 37.048537.0。点评：本题不能这样做：先由37.048537.05，再由37.0537.1；也不能这样做37.048537。例7. 下列四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ （1） 0.03051； （2） 7.32103； （4） 5.81万.分析： （1） 0.03051是常规近似数，要看精确到哪一位，则需要从它的数位入手.因为1在十万分位，所以0.03051精确到十万分位或精确到0.00001；（2）7.32103=7320，因为2在十位上，所以7.32103精确到十位；（4）5.81万=58100，因为1在百位上，所以5.81万精确到百位。解： （1） 0.03050精确到十万分位或精确到0.00001；（2）7.32103精确到十位；（4）5.81万精确到百位。点评：注意7.32103不能光看“”前面的数，而说成精确到百分位；5.81万不能光看数字5.81而说成精确到百分位，应注意后边的单位。例8. 说出下列各近似数的有效数字?（1） 40.32；（2） 3.05104；（4） 5.6万.分析： （1） 根据有效数字的意义，可知40.32共有4个有效数字，分别是4，0，3，2；（2）因为“”前面的数字有3个，分别是3，0，5，所以3.05104有三个有效数字；（4）万前面的数字有两个，分别是5，6，所以5.6万有两个有效数字。解： （1） 40.32有四个有效数字，分别是4，0，3，2；（2）3.05104有三个有效数字，分别是3，0，5；（4）5.6万有两个有效数字，分别是5，6。点评：对于3.05104不能说成有3，0，5，0，0五个有效数字；同样5.6万也不能化为56000，而说成有五个有效数字。.例9. 银行规定，5年定期存款的年利率是10.17，1年定期存款的年利率是7.8435.某人有10000元钱，如果用两种不同的方式存款5年，一种是存5年定期，另一种是存1年定期，次年再把上年所得的本和利都存入银行，直到5年期满为止。试计算一下，哪一种存款方式获得的利息较多？多得多少？（精确到1元）分析： 一次存5年定期，期满时所得的利息是110.175；从第二年开始，每年把本利和再存一年定期的方法，5年期满所得的利息是1（17.8435）51，哪一种存款方式获得的利息较多只要看一看它们的利息差就行了。解： 两种存法所得利息的差为10.101751（10.078435）51 =10.10175（1+0.078435）51。用计算器计算：所以两种存法所得的利息的差约为0.0498万元，这就是说，第一种存款方式获得的利息较多，约多498元。点评：许多实际生活问题笔算都是不经济的，有些干脆就解决不了.但如果是使用计算器运算就非常简单方便。例10. 在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：x210123y5214710上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是_。分析： 解决本题首先是读题，并能根据题意写出等式，并经过分析，寻找出隐藏在数字中的运算规律，做出准确的答案。解： 按照所给的操作程序，可以得到这样一个等式3x=y。结合表格中数据，当x=2时，3（2）=5，则=+1；当x=1时，3（1）=2，则=+1；当x=0时，30=+1，则=+1；于是可以猜想分别为“+”和“1”键。再把x=1，2，3依次代入，结果与相应的y值一致；因而确定以上猜想是正确的。点评：此种题型以计算器程序的形式呈现在学生面前，有利于考查学生对计算器程序的认识和理解；从而发展同学们合情推理能力，培养良好的思维品质，符合时代潮流。五、本讲数学思想方法的学习1.运算律在运算中要根据题意灵活运用，如加法、乘法的交换律、结合律以及分配律.在有理数的运算中，若能合理利用，可以使计算简化；2.运算顺序也是尤其要注意的问题之一，在加、减、乘、除、乘方运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是第三级运算.要先高级再低级，同级运算中，从左向右按顺序计算.若有括号，先括号内再括号外，先小括号，再中括号，最后大括号；3.在运算中要养成先观察，再思考的习惯，做题时要想一想，先算什么，后算什么，运算法则是什么等问题，再动手去算，不要急于下手，否则很容易出现错误；4.在学习近似数与有效数字的时候，我们可以利用比较学习的方法，掌握概念与概念间的联系与差别。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1. 计算器上的 C 键的功能是（ ）。 A. 开启计算器 B. 关闭计算器 C. 清除内容 D. 计算乘方2. 下列说法中，正确的是（ ）A. 相反数等于它本身的有理数只有0；B. 倒数等于它本身的有理数只有1；C. 绝对值等于本身的有理数只有0；D. 平方结果等于本身的有理数只有1. 3. 计算：（ ）。A. 9 B. 9 C. 1 D. 14. 把78536000经四舍五入保留三个有效数字可写成（ ）。 A. B. 78500000 C. 78600000 D. 5. 把0.082457表示成四个有效数字的近似数是（ ）。A. 0.08246 B. 0.082 C. 0.0824 D. 0.08256. 张玲身高h，由四舍五入后得到的近似数为1.5米，正确表示h的值是（ ）。A. h=1.43米 B. h=1.56米 C. 1.41 h 1.51 D. 1.45 h 1.55*7. 已知则边长为51.4 cm的正方形面积为（ ）。（保留两个有效数字）A. 2600 B. 2642 C. 2.6103 D. 2.46103*8. 若a+b0，且ab0，b0 B. a，b异号，且负数的绝对值较大 C. a，b异号 D. a0，b3，则_。三、认真算一算 （每题6分，共24分）21.计算下列各题（1）（2）（3）* （4） 四、努力解一解（共36分）22.（5分）某数的30%与3的和是3的倒数，求某数。23.（5分）如果规定扑克牌上面的数字黑色表示正数，红色表示负数，现给你四张扑克牌：黑桃3，梅花4，方块6和梅花10，请你列出一个有理数的混合运算式子（加、减、乘、除、乘方），使最后结果为24。24.（6分） 已知一个长方形木块里面挖出三个圆，尺寸如图所示，求阴影部分的面积。*25.（6分）用计算器计算：（1）计算：1+23+33+43+53；1+23+33+43+53+63；1+23+33+43+53+63+73；并分别与1+2+3+4+5；1+2+3+4+5+6；1+2+3+4+5+6+7比较，看能得出什么结论？（2）计算：1.222；12.22；1222，观察计算结果，找出规律，猜测0.1222的结果，再用计算器计算验证你的猜测。*26.（6分） 有两位农夫相约一起到集市上卖鸡蛋，已知两人的鸡蛋都是60个，但农夫甲的鸡蛋稍大一点，因此，他要求2个鸡蛋卖1元钱；乙农夫的鸡蛋稍小一点，他要求3个鸡蛋卖1元钱。到了市场后，农夫甲突然有事要先回去，他就请求农夫乙帮助他把鸡蛋一起卖，农夫乙不好推辞，便答应了农夫甲。等农夫甲走后，聪明的农夫乙想：我如果把5个鸡蛋卖2元钱，就可以快一点卖完。于是，他把俩人的鸡蛋混在一起卖，果然，鸡蛋很快就卖完了。回家后，农夫乙正想把农夫甲应得的30元钱送去的时候，才发现少了2元钱，他苦思苦想也想不出哪里出错，聪明的同学们，你知道农夫乙为什么少了2元钱吗？*27.（8分） 股民李明上周五买进股票2000股，每股11.2 元，下表为本周内每日该股的涨跌情况 （星期六. 日股市休市） （单位：元）星期一二三四五每股涨跌/元+0.4+0.450.10.250.4（1）星期四收盘时，每股是_元；本周内最高价是每股_元。（2）到星期五为止，该股票的涨跌情况是_元。（3）已知李明买进股票时付了成交额0.5%的手续费，卖出时付了成交额0.5%的成交费和0.1%交易税，如果李明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？试题答案1.C2.A3.A4.D5.A6.D7.C8.B9.A10.D11. 1.06109 12. 2.80 13. 17.9 14. 1，. 15. ，0.16. 7或5. 17. 125. 18.，2. 19. 8 20. 221. （1） （2） （3）（4）22. 23. ，.24. （提示：阴影部分的面积=长方形的面积三个小圆的面积）25.（1）1+23+33+43+53=225；1+23+33+43+53+63=441；1+23+33+43+53+63+73=784；1+2+3+4+5=15；1+2+3+4+5+6=21；1+2+3+4+5+6+7=28， 1+23+33+43+53=225=152=（1+2+3+4+5）2；1+23+33+43+53+63=441=212=（1+2+3+4+5+6）2；1+23+33+43+53+63+73=784=282=（1+2+3+4+5+6+7）2.（2）1.222=1.4884；12.22=148.84；1222=14884，0.1222=0.014884.规律是：一个数先扩大或缩小10n倍，再平方，结果是原数扩大或缩小102n倍。26.按照3个小鸡蛋1元，2个大鸡蛋1元，60个大鸡蛋，60个小鸡蛋共卖50元，按5 个鸡蛋卖2元钱，在小鸡蛋都卖完后，剩下的20个大鸡蛋应卖10元，而只卖了8元，2元钱就少在这里.602（603）2602（603）52=108=2。27. （1）11.2+0.4+0.450.10.25=11.7（元），11.2+0.4+0.45=12.05（元）；（2）0.4+0.450.10.250.4=0.1（元）；（3）0.1200011.220000.5%（0.5%+0.1%）（11.2+0.1）2000=200112135.6=47.6（元）他亏了47.6元.（提示：收入的钱支出的钱结果是正数，收益情况是赚了，否则是亏了。）