七年级数学有理数的除法(第1课时)湘教版.doc

有理数的除法(第1课时)一、教学目标1知识目标：掌握有理数的除法法则，并正确地进行有理数的除法运算。2能力目标：理解有理数倒数的意义，能熟练地进行有理数的乘除混合运算；能利用有理数除法解决实际问题。3情感目标：体会转化思想在解决问题中的重要作用。二、教学重点及难点重点：除法法则和倒数概念。难点：对零不能作除数与零没有倒数的理解以及乘法与除法的互化。三、教学过程（一）创设情境，自然引入1、小学学过的倒数意义是什么？ 4和的倒数分别是什么？0为什么没有倒数。 答：乘积是1的两个数互为倒数，4的倒数是，的倒数是，0没有倒数是因为没有一个数 与0相乘等于1等于。 2、小学学过的除法的意义是什么？105是什么意思？商是几？05呢？ 答：除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，155表示一个数与5的积是15，商是3，05表示一个数与5的积是0，商是0。 3、小学学过的除法和乘法的关系是什么？ 答：除以一个数等于乘上这个数的倒数。 4、50？00？ 答：0不能作除数，这两个除式没有意义。 （二）设问质疑，探究尝试由小学除法知：除法是乘法的逆运算。引例：由（-2）（4）=8知：8（4）=-2又有：8（）=-2所以由结果得8（4）8（）同样可得：848，8（4）8（）又（4）1，41则与此同时互为倒数，与4互为倒数。从而得：（1）乘积为1的两个数互为倒数，对有理数同样适用。提问：2，1的倒数各是多少。（三）归纳总结，概括知识求法：求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要把分母，分子位置交换即可，a的倒数为（a0）注：0没有倒数，1的倒数是它本身，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，a的倒数是（a0）除以一个数等于乘上这个数的倒数，0乘以任何数都得 0，0除以任何数都得0，对吗？汇总：有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数 ，注0不能作除数。（四）精讲细练，巩固提高例1、计算：（1）（36）9 （2） （3） （4）另一法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。例2、化简下列分数：（1）（2）说明：（1）除法与分数可以互化，所以可利用除法化简分数。（2）除法可写成下列几种不同的形式。如横式（23），分式，比式（23）例3、计算 -2.251(8)分析: 把小数化为分数,除法转化为乘法,带分数化为假分数,即-(-8)再乘.解： 2.251(8) =(8)=16注：有理数的乘除法运算是同一级运算,因此应按照从左到右的顺序进行运算.错误的解是2.251(8)= 2.25(8)=-2.25(9)= ,原因是先乘后除了，为了防止这类错误,应化除为乘.例3、计算()()错解: 原式=()+()() =+ = =正确: 原式= =- =-注：乘法对加法满足分配律,但除法对加法并不满足分配律.只有当把除法转化为乘法以后,才能运用分配律.例4、某公司去年13月平均每月亏损1.5万元，46月平均每月赢利2万元，710月平均每月赢利1.7万元，1112月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？解：记赢利额为正数，亏损额为负数。公司去年全年盈亏额（单位：万元）为（1.5）3+23+1.74+（2.3）2=4.5+6+6.84.6=3.7这个公司去年总的盈利3.7万元。（五）发散思维，解决问题1、当，b=7，时，求下列代数式的值：（1）（2）答案：（1）2； （2）。2、若ab0，则可能的取值是_点拨：由ab0可知a与b都不是0，都可做除数由于此题有绝对值，所以应考虑清楚分子与分母的关系：是相等还是互为相反数？将所有的情况一一列出来，找出所有的可能的取值解：ab0，因为|a|a(a0)，|a|a(a|b|b(b0)，|b|b(b所以：|a|a，|b|b时，2|a|a，|b|b时，0|a|a，|b|b时，0|a|a，|b|b时，2答：可能的取值有2，0，2三种结果（六）总结串联，纳入系统由于有理数的除法和有理数的乘法互为逆运算，所以有理数的除法法则可以叙述为：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。这样，有理数的除法运算就化归为有理数的乘法运算了。有理数的除法法则还可以这样叙述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这样，有理数的除法运算又可以化归为算术中的除法运算了。一般来说，在整除的情况下，往往采用法则的后一种形式，先确定商的符号，再直接除。在不能整除的情况下，则往往将除数换成倒数，再转化为乘法。最后应特别注意：（1）零不能做除数，零没有倒数；（2）零除以任何一个不等于零的数都得零；（3）对a、b、c三个不为零的有理数，有下列结论：(a+b) c=ac+bc成立；a(b+c)=ab+ac不成立。（七）布置作业，落实目标P44 下面T1 T2四、教学检测(一)请你选一选。1、两个不为0的有理数相除，如果交换被除数和除数的位置，它们的商不变，则（ ） A两数相等 B两数互为相反数C两数互为倒数 D两数相等或互为相反数2、如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数是（ ） A互为相反数 B互为倒数C互为相反数，但不等于0 D都等于03、如果，那么x是（ ）A负数 B正数 C非负数 D非正数4、若两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，那么这两个数相除的商（ ） A一定是正数 B一定是负数C等于零 D正、负数不确定5、若，则的取值不可能是（ ）A0 B1 C2 D-2（二）请你填一填。1、两数的积是-1,其中一个数是-1,那么另一个数是.2、和的和的倒数是 ; 和的倒数和是 .3、若1,则a的取值范围是;若1,则a的取值范围是 .4、若a、b、c、d、e、f是六个有理数，并且，则_。（三）请你来思考。1、分类讨论比较a与的大小。2、借助乘法的运算律说明式子的正确性，并计算下列各题：（1）；（2）；（3）。答案： (一)请你选一选。1、D； 2、C； 3、B； 4、B； 5、B （二）请你填一填。1、 2、6, 3、0a1,a1 4、720（三）请你来思考。 1、当a1或1a0时，； 当a=1时，； 当0a1或a-1时，。2、（1）61.7；（2）4；（3）20五、数学史话两位卓越的女数学家翻开数学史，有许许多多的数学家，他们仿佛天上的繁星，在数学王国的上空闪闪发光。可我们不难发现，其中女性的名字寥寥无几。女数学家甚至比女王还要少，这是为什么呢？难道女人的智商真的比男人低吗？当然不是。是旧社会、旧思想对女人的偏见、迫害造成的。下面，我们就来看一看两位卓越的女数学家，她们充满坎坷的一生。 第一位女教授苏菲娅柯瓦列夫斯卡娅 苏菲娅出生在沙皇俄国立陶宛边界的一座贵族庄园里，他父亲是退役的炮兵团团长。她很小就对数学很痴迷，经常对着墙壁上的数学公式和符号，一看就是好半天，原来，她房间里的糊墙纸是用高等数学的讲义做成的。苏菲娅14岁时便能够独立推导出三角公式，被称为“新巴斯卡”。 随着时间的流逝，苏菲娅逐渐长大成人，她对数学的兴趣也与日俱增。但那时正处于沙皇时代，妇女是不允许注册高等学校学习的。而她的父亲又一心想让她像别的贵族姑娘一样，步人社交界，对她想学数学的心愿横加阻拦。于是，苏菲娅不顾父母的反对，与年轻的古生物学家柯瓦列夫斯基“假结婚”，来到德国的海德尔堡。但在那里，妇女听课要有一个专门的委员会认可才行。经过努力，她被允许旁听基础课。在此期间，她勤奋好学，掌握了深奥的数学知识，轰动了整个海德尔堡，成为人们谈论的话题。可她只被允许听了三个学期的课，便不得不离开了那里。 苏菲娅深造心切，又慕名前往柏林工学院，打算去听著名数学家维尔斯特拉斯的课。但遗憾的是，柏林的大学不允许妇女听教授的课，苏菲娅到处吃闭门羹，最后，只好抱一线希望登门到维尔斯特拉斯家求教。维尔斯特拉斯（18151899）是一位德高望重的老数学家，他接见了苏菲娅，并向他提了一些超椭圆方面的问题，这些问题在当时都很新颖，没想到这位貌不惊人的女青年，解题技巧娴熟，思维方法独特，给老教授留下了深刻的印象。于是，维尔斯特拉斯破例答应苏菲娅每星期日在家里给她上课，每周还另抽一日到她的寓所登门授课。这样，苏菲娅在维尔斯特拉斯的悉心指导下学习了4年。她回忆这段经历时说：“这样的学习，对我整个数学生涯影响至深，它最终决定了我以后的科学研究方向。” 苏菲娅得到了维尔斯特拉斯的鼓励和指点。更加有了攀登科学高峰的勇气。她经过了4年的刻苦努力。写出了三篇出色的论文，引起了强烈的反响。这是史无前例的开创性工作。1874年，在维尔斯特拉斯的推荐下，24岁的苏菲娅荣获了德国第一流学府哥廷根大学博士学位，成为世界上首屈一指的女数学家。 获得博士学位的苏菲娅，怀若一颗赤子之心回到了祖国，可俄国还是同她出国之前一样黑暗。她在祖国无法立足，只好又回到柏林。她根据维尔斯特拉斯的建议，研究光线在晶体中的折线问题。在1883年奥德赛科学大会上，她以出色的研究成果作了报告。可命运偏偏与她作对，当年春天。她丈夫因破产而自杀。听到这个不幸的消息，肝肠寸断。她把自己关在房间里，四天不吃不喝，第五天昏迷过去。不幸的遭遇，并没有打跨苏菲娅的斗志，第六天苏醒过后又开始顽强的工作。 在瑞典数学家米达列佛勒的帮助下，经过一番周折，苏菲娅才得以担任斯德哥尔摩大学的讲师，但当地报纸公然对她攻击：“一个女人当教授是有害和不愉快的现象甚至，可以说那种人是一个怪物。”但苏菲娅无所畏惧，像男人那样走上了讲台。以生动的讲课，赢得了学生的热爱，击败了“男人样样胜过女人”的偏见。一年后，她被正式聘为高等分析教授，后来又兼聘为力学教授。 苏菲娅在瑞典的任期满了，她一心想回国任教，可没能成功，只好在国外继续任教。1891年，苏菲娅患肺炎因误诊导致病情恶化，与世长辞。她为争取妇女的自由斗争做出了艰苦努力，是妇女攀登科学高峰的光辉榜样。 在逆境中成长的女数学家诺德 1933年1月，希特勒一上台，就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”。不久，哥廷根大学接到命令，要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人。在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米诺德（AENoether 18821935），她是这所大学的教授，时年5l岁。她主持的讲座被迫停止，就连微薄的薪金也被取消。这位学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中度过的。诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学。1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘。她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士。 诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献。但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师。接下来，由于她科研成果显著，又是在希尔伯特的推荐下，取得了“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“教授”更有实力。 诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考。她终生未婚，却有许许多多“孩子”。她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”。我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个。 在希特勒的淫威下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作。在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”。1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金。不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁。她的逝世，令很多数学同僚无限悲痛。爱因斯坦在纽约时报发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性数学天才。”