九年级数学上 第十九章：相似形教案.doc

一. 教学内容：
第十九章：相似形
19.4 相似多边形
19.5 相似三角形的判定

教学目标：
1. 了解相似多边形的概念、性质。
2. 理解相似三角形的概念，探索并掌握相似三角形的判定、性质。
3. 能利用相似三角形的基本性质解决一些简单的问题。

二. 重点、难点：
重点：相似三角形的判定。
难点：相似三角形成比例线段的选取。

教学过程：
（一）知识要点：
1. 相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。
“相似于”用“∽”表示。
由相似多边形定义可知：相似多边形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形
相似三角形是最简单的相似多边形。
三个角对应相等，三边对应成比例的三角形是相似三角形。
如：△ABC∽△A'B'C'
由定义可知：
注：相似多边形，相似三角形对应元素应写在对应的位置上。
3. 相似三角形的判定
（1）预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形和原三角形相似。
如图：△ABC中，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC

（2）判定定理1：两角对应相等，两三角形相似
如图：

∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'
（3）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
如上图：

∴△ABC∽△A'B'C'
（4）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
如上图：

∴△ABC∽△A'B'C'

【典型例题】
例1. 如图，已知△ABC中，D是AB上一点，∠B＝∠ACD，求证：
（1）；
（2）若AD＝DB＝2，求AC的长。

证明：（1）∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC

（2）∵AD＝DB＝2，∴AB＝4

∵AC>0

例2. 已知，如图，AA'，BB'，CC'相交于O点，且，求证：△ABC∽△A'B'C'。

证明：在△AOB和△A'OB'中

∴△AOB∽△A'OB'

同理
又

∴△ABC∽△A'B'C'

例3. 已知，如图△ABC中，D是BC上一点，EG//BC，分别交AB、AD、AC于E，F、G，求证：EF·DC＝FG·BD

分析：将等积式改写成比例式，得，设法利用相似三角形解得，，从而使问题得到解决。
证明：在△AEF和△ABD中
∵EF//BD
∴△AEF∽△ABD

同理

∴EF·DC＝FG·BD

例4. 已知，如图△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E是AB中点，求证：

分析：由于图中相等线段及线段中点较多，可设法利用三角形相似加以解决。
证明：∵AB＝AC＝BD，AE＝EB

又∵∠EAC＝∠DAC
∴△AEC∽△ACD

即

例5. 已知，如图平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，求证：BC·CD＝AF·CE

分析：由于△ADF∽△CED，可得，再通过AD＝BC，由等量代换即可得证。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD//CE
∴∠ADF＝∠E
∴△ADF∽△CED

∴BC·CD＝AF·CE

例6. 已知，如图AB、CD交于O点，AC//BD，E是AC中点，EO的延长线交BD于F点，求证：F是BD中点。

分析：利用图中AE＝CE，设法找到DF、BF与AE、CE的联系，即证出
证明：∵AC//BD
∴△AOE∽△BOF

同理

∵AE＝CE
∴BF＝DF
即F是BD中点

三. 小结：
在相似三角形成比例线段中，较线段相等线段多了。同学们要特别注意，另外同学们要注意方法的总结，证明相似三角形的方法，线段相等的方法，角相等的方法、比例式、等积式、等比代换（如何选取中间比）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 已知，如图平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：BC·CD＝CF·AE。

2. 已知，如图△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F，求证：AE：ED＝2AF：FB。

3. 已知，如图△ABC中，D是BC上一点，EG//BC，分别交AB、AD、AC于E、F、G。求证：EF·DC＝FG·BD。

4. 已知，如图△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，求证：。

5. 已知，如图梯形ABCD中，AB//CD，AE//BC交BD的延长线于E，AC交BD于F，求证：FB2＝FD·FE。

试题答案
1. 提示：证△ADE∽△CFD，得有AD·CD＝AE·CF，由AD＝BC可得结论。
2. 提示：过D作DM//CF交AB于M点。
3. 提示：证△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，可得，可得结论。
4. 提示：连结AF，证△ABF∽△ACF。
5. 提示：证△DFC∽△AFB，△AEF∽△CBF。