资源描述
3.2特殊的平行四边形（3）
课 题
课型
新授课
授课时间
教 学 目 标
(一)教学知识点．
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用
(二)能力训练要求．
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
(三)情感与价值观要求．
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．
2．体会数学与生活的联系．
重点、难点
教学重点： 特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用 .
教学难点：特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
教法及学法
启问——交流式教学法． 探索—发现—猜想—证明
课前准备
教师制作课件
教学过程
一．巧设情境 引入新知
师: 通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．
生：大多数同学能够说出定理。
师: 这节课我们来应用它们证明和计算一些题．下面大家来猜一猜，想一想
依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
设计意图：让学生回忆前面曾讨论的一个问题的特殊化，使学生经历猜测、证明的过程，提高学生的学习兴趣。
二．小组合作 共同探索
[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．
[生乙]证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°，
AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
师: 很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
生[生丙]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．
老师，你说这样可以吗?
[生齐声]可以．
[师]对，证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来同学们来想一想，议一议
设计意图:鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提高学生的逻辑思维水平。并鼓励学生积极探索结论的方法，感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，激发学生的学习兴趣。
师: 1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．
(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系．
[生甲]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形：如图．
已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，
求证：四边形A1B1C1D1是矩形．
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
证明：连结AC、BD．
∵点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点，
∴A1B1AC，C1D1 AC.
∴A1B1C1D1．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD．
∴∠A1B1C1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
[生乙]依次连结矩形四边的中点能得到菱形．如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD．则A1B1AC，C1D1AC，A1D1BD，B1C1BD．
A1
A
B
B1
C
C1
D
D1
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC＝BD．
∴A1B1＝B1C1.
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)
设计意图:鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提高学生的逻辑思维水平。并鼓励学生积极探索结论的方法，感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，激发学生的学习兴趣。
三．学以致用 解决问题
[师]同学们总结得很好，接下来我们来做一做在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
[生]可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决．
解：∵△XAD是等边三角形，
∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，
XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°，
XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
[师]很好，同学们通过推理证明、计算解决了实际问题，由此我们进一步了解了数学与生活的联系．
设计意图:帮助学生独立运应变化的思想，发展思维的全面性，使学生在变化中探索新知，进步体验探索创新的快乐。
四 随堂练习 巩固深化
下面我们通过练习来进一步巩固本节所
学的内容．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P90，随堂练习1．
1．已知D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点，四边形DECF是菱形．
A
B
C
D
E
F
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，
∵D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点
∴DF=BC，DE=AC．
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF．
∴AC=BC．
∴△ABC是等腰三角形．
设计意图：检查学生本节课的学习情况，突出学生的主体地位。
五. 盘点收获
1. 通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？
2. 本节课的学习值得思考的还有是什么？
六．课堂检测 当堂达标
（1）下列判定正确的是 （ ）
A . 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两角相等的四边形是等腰梯形
C .四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D .两条地对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
（2）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D .AC=BD
（3）下列四边形中，对角线不可能相等的是( )
A．直角梯形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形
二 见助学87页第6题
七．作业
必做：课本习题3．6的第1题.
选作：习题3．6的第2题.
板书设计
§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)
1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．
依次连结正方形各边的中点，能得到一个怎样的图形呢?
2．议一议：
所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关
3. 做一做：
八．教后记
上完这节课后，我从教学设计、学生学习方式、教学重点难点的落实、学生学习情况的把握二个方面做了反思：
㈠本节课的设计较为合理，安排比较紧凑。“问题是数学的心脏”。本节课由问题“为什么说任意四边形的中点四边形都是平行四边形”的解决引入，再运用新知识来探索“特殊四边形的中点四边形的特殊性”，学生的注意力随着问题的提出和学习的深入而得到不断加强和调节，学生整节课的学习热情比较高。
㈡学生动手实践、自主学习和合作探究的学习方式落实比较到位。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，所以教师必须为学生创造自主学习、自主活动、自主发展的条件，让学生积极主动地参与数学教学的全过程，使每个学生都在原有的基础上得到发展，获得成功的体验，树立学好数学的自信心。教学中，无需老师多讲，我只是对他们的发现给予充分肯定和表扬，激发他们进一步探索的欲望，采取小组合作探究的形式进行，每小组探索两种情况，要求画出图形，作出判断，给出证明。每个同学的积极性很高，小组同学在一起画图、思考…最后由小组来汇报探索的结果，老师只需要作出适当的补充和完善，学生的学习积极性在本节课得到了充分的体现。
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