资源描述
23．1 成比例线段
23．1.1 成比例线段
【知识与技能】
1．掌握比例线段的概念及其性质．
2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．
【过程与方法】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题．
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．
【教学重点】
线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质．
【教学难点】
用引入比值k的方法，探索比例的性质．
一、创设情境，导入新知
1．如何确定四个数成比例？数的比例式有什么基本性质？
2．下面格点中的两个矩形相似吗？
二、合作探究，理解新知
探究一：成比例线段
1．做一做
(1)①在上面的格点图中，如果设水平(或竖直)的相邻两格点间的距离为1，那么AB＝________，BC＝________，A′B′＝________，B′C′＝________；
②计算＝________，＝________；
③显然AB、BC、A′B′、B′C′不相等，那么它们之间有什么关系呢？
学生通过交流，得出结论：＝.
(2)思考：换成其他线段如AD、CD、A′D′、C′D′是否也有类似的结论？若有，是什么？
＝.
2．结论
线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比．
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另两条线段的比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此外也称这四条线段成比例．
3．议一议
(1)在上面的格点图中，如果把格点去掉，通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？
(2)如果在测量时，AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米，那么它们的比有没有变化？
(3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？
4．知识运用
例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
(1)a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
(2)a＝2，b＝，c＝2，d＝5 .
分析：利用成比例线段的定义求．
解：(1)∵＝＝，＝＝，
∴≠.
∴线段a、b、c、d不是成比例线段．
(2)∵＝＝，＝＝，
∴＝.
∴线段a、b、c、d是成比例线段．
例2：根据图示求线段的比：、、，并指出图中成比例的线段．
解：由图可知：AC＝1 cm，CD＝2 cm，DB＝4 cm，CB＝CD＋DB＝6 cm，
故＝，＝，＝＝.
则有＝.
所以AC、CD、CD、DB是成比例线段．
探究二：比例的性质
1．在数的比例式中，若四个数a、b、c、d满足＝，那么我们就说这四个数成比例，并且知道若＝，则有ad＝bc；若ad＝bc，则＝.那么若线段成比例，是否也有上述结论？
通过学生类比、讨论得出比例的基本性质．
2．比例的基本性质
如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么＝.
3．议一议
(1)你会证明这两个命题吗？(引导学生从正反两个方面去证明)
(2)由ad＝bc，除了得到＝外，你还能得到哪些比例式？
4．知识运用
例3：证明(1)如果＝，那么＝；
(2)如果＝(a≠b)，那么＝.
证明：(1)∵＝，在等式的两边同时加上1，
∴＋1＝＋1，∴＝.
(2)∵＝，∴ad＝bc.
在等式的两边同时加上ac，∴ad＋ac＝bc＋ac.
∴ac－ad＝ac－bc，a(c－d)＝c(a－b)，
∵a≠b，由＝得c≠d，
∴a－b≠0，且c－d≠0.
两边同时除以(a－b)(c－d)，∴＝.
练习：已知＝，求、的值．
引导学生练习，总结解题方法，最后教师归纳用设k值的方法解与比例有关的题目．
三、尝试练习，掌握新知
1．若x是3和12的比例中项，则3、x、8的第四比例项为__±16__．
2．已知：3a＝4b，则＝____．
3．若＝＝＝(b＋2d－3f≠0)，求的值．(答案：)
4．若＝＝＝k(a＋b＋c≠0)，试求k的值．(答案：2)
5．如图，已知＝＝＝，且△ABC的周长为36 cm，求△ADE的周长．(答案：24 cm)
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获和困惑？
1．内容总结
(1)成比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，就称这四条线段是成比例线段．
(2)比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么＝.
2．方法归纳
(1)在解决比例的有关问题中，用设k值的方法；
(2)判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，相等则成比例，否则不成比例．
3．注意的问题
(1)在求两条线段的比时，单位必须统一；
(2)线段a、b、c、d成比例，其表示方法是有顺序的，即＝.
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第55页习题23.1的第1～6题．
23．1.2 平行线分线段成比例
【知识与技能】
在理解的基础上掌握三角形一边平行线的性质、平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理，并会灵活应用．会做已知线段成已知比和把线段进行等分的作图题．
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
【情感态度】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美．
【教学重点】
理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题．
【教学难点】
平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形．
一、创设情境，导入新知
[温故而知新]问题：一组等距离的平行线截直线a上所得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段有什么关系呢？(请同学们观看课件中的验证过程)
[学生活动]学生观察、分析、思考、探究并与同学进行交流．
[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．
[小结]教师引导学生总结出如下结论：
一组等距离的平行线在直线a上所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等．
[教师点拨]这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线截得的线段相等的情况，那么如果截得的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理．
【教学说明】通过对平行线等分线段定理的复习，为新课中引导学生归纳出平行线分线段成比例定理做铺垫．
二、合作探究，理解新知
[师生合作探究]师：同学们，请翻开数学作业本，我们可以发现每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，下面请同学先在作业本上任意画出一条直线m，如图所示：
师：从图形上我们可以看出直线m与相邻的三条平行线相交于A、B、C三点，由平行线等分线段定理可知AB＝BC.如果再任意画一条直线n与这一组平行线相交，那么同样可知DE＝EF.
由此我们可得＝.
[思维提升]如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，如图，当m、n这两条直线平行时，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系？如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？
[学生活动]学生自主探究并与同学进行交流．
[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．
[小结]教师引导学生探究并归纳出如下结论：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
用几何语言表示为：
∵AD∥BE∥CF，
∴＝.
[教师点拨]点拨一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？
点拨二 ：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？
[小结]教师引导学生归纳出如下结论：
三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
用几何语言表示为：
∵DE∥BC，
∴＝.
∵DE∥BC，
∴＝.
[教师点拨]这两幅图可以简称为“A”型和“X”型．
例题讲解
例1：如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝6，求BC的长．
分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝(平行线分线段成比例)．
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴＝.
∴BC＝8.
例2：如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F.
求证：＝.
分析：由于比例式＝中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出和的值．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝.
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第55页练习．
2．如图，DE∥AF∥BC，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快， 找得多．
第2题图
第3题图
3．已知：如图所示，l1∥l2∥l3，＝，求证：＝.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．本节课主要学习了平行于三角形一边的平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及平行线等分线段定理，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行于三角形一边的平行线的性质来解决的．
2．使用平行线分线段成比例定理，一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则会产生错误．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第55页习题23.1的第7题．
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