七年级数学寒假辅导教案 第四讲讲 图形初步认识人教版.doc

教案

教师：__________ 科目： __________ 学生：________ 上课时间：________
第四讲 图形初步
【本将教学内容】
第四章 图形初步 第五章 相交线、平行线
物体
点、线、
面、体
几何图形
立体图形
平面图形
角
射线
线段
直线
角
的
画法
角
的
平分线

角
的
比较
角
的
特殊关系

概念与
表示法
概念与
表示法
线段的中点
线段的作法与和差
大小比较
性质
两点间的距离
概念与
表示法
性质
概念与
表示法
平行线
相交线
垂线
画法
概念与
表示法
性质
点到直线的距离
概念与
表示法
画法
性质
性质
知识网络：

【例题精讲】
例1 如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求：∠F。

分析：现在并没有学习关于其它关于角的几何知识所以∠E与∠F应有关系，从图上看DF与AE应是平行的，想到平行线可以把角大小不变的移动，所以∠F应与∠E相等，关键是证明∠E与∠F相等。
解：
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠CDA=∠BAD（两直线平行，内错角相等）
又 ∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠CDA—∠2=∠BAD—∠1（等式性质）
∴ ∠FDA=∠DAE
∴ DF∥AE（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠F=∠E=37°（两直线平行，内错角相等）
例2 如图：AB∥CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°。

分析：欲证∠B+∠E+∠D=360°观察而两直线平行，同旁内角互补，所以应想办法构造两组平行线。
证明：
过E作EF∥AB
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∵ AB∥CD（已知）
∴ EF∥CD（平行公理的推论）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∴
∴
说明：如图两条平行线之间有折线，那么辅助线一般是过折线的节点做平行线，下面是常见的折线问题。

折线在两条平行线内部 折线在平行线外部
例3已知AB∥CD，∠1=3∠2，∠2=，求的度数。

分析：这是一个折线问题E是节点，过E作平行线即可。
证明：
过E作EG∥AB
∴ ∠AEG=∠1（两直线平行，内错角相等）
又 CD∥AB（已知）
∴ EG∥CD（平行公理的推论）
∴ ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
∠3+∠CEF=∠AEG ∠2+∠CEF=∠1
∠CEF=∠1—∠2=3∠2—∠2=2∠2=
例4 如图，已知C是线段AB上的一点，AD∥BE，∠ADC=∠ACD，∠BCE=∠BEC，求证：DC⊥CE。

分析：欲证DC⊥CE即证∠DCE=，又∠ACB=，所以只需证
，注意到这仍是一个折线问题，只要去掉AB，同学们即可观察出来，还原之后如上右图。
证明：
过C作CF∥AD
∴ ∠ADC=∠1（两直线平行，内错角相等）
又 ∵ AD∥BE（已知）
∴ CF∥BE（平行公理的推论）
∴ ∠BEC=∠2（两直线平行，内错角相等）
又 ∵ ∠ADC=∠ACD，∠BCE=∠BEC（已知）
∴ ∠1=∠ACD，∠2=∠BCE（等量代换）
又 ∵ ∠ACD+∠1+∠2+∠BCE=
∴
∴ ∠1+∠2=
∴ DC⊥CE（垂直定义）
例5 如图，已知BF平分∠ABC，∠CEB=∠CBE=65°，∠EDF=50°，求证：BC∥AF

证明：
∵ BF平分∠ABC（已知）
∴ ∠CBE=∠ABE（角平分线定义）
∵ ∠CBE=∠BEC=（已知）
∴ ∠ABF=∠BEC=（等量代换）
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠ABC+∠C=（两直线平行，同旁内角互补）
又 ∵ ∠ABC=∠ABE+∠CBE=
∴ ∠C=
∵ ∠EDF=（已知）
∴ ∠C=∠EDF（等量代换）
∴ BC∥AF（内错角相等，两直线平行）
例6 已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，求证：EC∥FB

分析：欲证EC∥FB，如果把AB作为截线可以证同位角相等或内错角相等，这是一种方法但较繁，也可以把BC作为截线用同旁内角互补。
证明：
∵ ∠3=∠4（已知）
∴ DF∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠6+∠DCB=（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠6+∠2+∠3=
∵ ∠1=∠2 ∠5=∠6（已知）
∴ ∠5+∠1+∠3=
∴ ∠FBC+∠3=180°
∴ EC∥FB（同旁内角互补，两直线平行）
说明：∠6+∠DCB=，这些步骤是有必要的，因为互补是两个角之间的关系，不能由DF∥BC直接推出∠6+∠2+∠3=，这三个角不是互补的关系。
例7 如图：AB∥EF，BC∥FG，BM，FN分别是∠ABC，∠EFG的三等分线且靠近AB、EF，求证：BM∥FN。

分析：要证明两线平行，现在只能用三线八角，但观察题目中并没有截线，所以第一步是作出截线，在这里可以把BC作为截线，或连结BF作为截线。
证明：
连结BF
∵ AB∥EF（已知）
∴ ∠ABF+∠BFE=（两直线平行，同旁内角互补）
∠ABC=∠EHC（两直线平行，同位角相等）
又 ∵ BC∥FG（已知）
∴ ∠EHC=∠EFG（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ABC=∠EFG（等量代换）
又 BM、FN分别三等分∠ABC、∠EFG
∴
∴ ∠1=∠2
又 ∵∠1+∠MBF+∠BFE=
∴ ∠2+∠MBF+∠BFE=
∴ ∠MBF+∠BFN=
∴ BM∥FN（同旁内角互补，两直线平行）
例8 如图，AD∥BC，AC平分，，CD平分，求，的度数。

解：∵ AD∥BC（已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ （已知） ∴
又 ∵ AC平分（已知）
∴ （角平分线定义）
∴ （等量代换）
∴ （邻补角定义）
又 ∵ DC平分（已知）
∴ （角平分线定义）
【精选练习】
一、 填空题：
1．连结两点的所有线中， 最短。
2．经过直线外一点，有 与这条直线平行。
3．在同一平面内， 的两条直线叫做平行线。
4．射线有 个端点，线段有 个端点，直线 端点
5．在平面内，两条直线的位置关系只有 和 两种。
6、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝76°，则∠BOD＝＿＿。
7．一个角的余角和它的补角的度数的比是2：5，则这个角是__________度。
8．26．36°=26° ( )′( )″
9．已知∠α=1500，则∠α的补角等于 度。
10．已知∠A是它补角的3倍，则∠A＝_________。
11．如果一个角与它的余角的比是2：7,则这个角是 度。
12．一个角的补角比它的余角的3倍少34度，那么这个角是 度。
13．当图中的∠1和∠2满足_______________时，能使OA⊥OB。（只需填上一个条件即可）
14、不在同一直线上的三点，可以确定___________条直线。
15．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后， ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D/、C/的位置上，若∠EFG=550，∠1=__________。
二、 选择题：
1．手电筒发射出去的光线，给我们的形象似( )
（A）线段 （B）射线 （C）直线 （D）折线
2．如果∠α＝500，那么∠α的补角的度数是( )
（A）300 （B） 400 （C）1200 （D）1300
3．如图，已知直线a、b被直线l所截，且a∥b，∠1＝650，那么∠2的度数是( )
（A） 1450 （B）650 （C）550 （D）35°
4．一个角的余角是550，则这个角是( )
（A）350 （B）450 （C）550 （D）1250
5．如图，直线AB，CD被直线l所截，若∠1＝∠3900，则（ ）
（A）∠2＝∠3（B）∠2＝∠4 （C）∠1＝∠4（D）∠3＝∠4
6．∠α与∠β互为余角，∠α=15030/，则∠β等于( )
（A）165030/ （B）164030/ （C）84030/ （D）74030/
7．在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为( )
(A)850 （B）750 （C）700 （D）600
8．下列命题中，真命题的个数有（ ）
① 同旁内角相等,两直线平行；
② 不相交的两条直线叫平行线；
③ 若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF；
④ 若AB⊥CD，CD⊥EF，则AB⊥EF。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
9．已知点P为直线AB外一点，则过点P且平行于AB的直线有（ ）
（A）1条 （B） 2条 （C）3条 （D） 4条
10．三条直线AB，CD，EF，如果AB∥CD，EF⊥AB，则CD与EF一定（ ）
（A）平行 （B）垂直 （C）重合 （D）不能确定
三、解答题
1．如图，直线MN∥PQ，直线GH交MN、PQ于点C、A，CD、AB分别平分∠GCN、∠QAH，
证明：直线CD⊥直线AB。

CC
E
A
B
D
1
2
2．如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB。

3．如图，中，的平分线相交于点，过作，若，
求的长度。
（3题图）

4．(08益阳) 如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
A
B
C
D
E

(1)　求∠EDB的度数；
(2)　求DE的长．

5. (08宁夏)如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD度数．

6． 已知如图，，EF⊥BC，求证：AD⊥BC。

证明：∵ （已知）
∴ HD∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
又 ∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ EF∥AD（同位角相等，两直线平行）
又 ∵ EF⊥BC（已知）
∴ AD⊥BC（如果一直线垂直两条平行线的一条直线，那么这条直线必垂直另一条直线）
【中考回顾】
1. (2009年金华市)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o，那么∠2的度数是（ ▲ ）2
1

A.32o B.58o C.68o D.60o
2. （2009年福州）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（ ）
A．160° B．150° C．70° D．60°
【关键词】互余的定义
【答案】D
3. （2009年重庆）如图，直线相交于点，．若，
则等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
C
A
E
B
F
D

【关键词】平行线的性质，对顶角
【答案】B．
4. （2009临沂）下列图形中，由，能得到的是（ ）
A
C
B
D
1
2
A
C
B
D
1
2
A．
B．
1
2
A
C
B
D
C．
B
D
C
A
D．
1
2

【关键词】平行线的性质
【答案】B
5. （2009临沂）如图，OP平分，，，
垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分
C． D．垂直平分
O

B
A
P

【关键词】角平分线的性质
【答案】D
6. （2009年济南）如图，直线与．分别相交于．．则的度数是（ ）
A． 　 B． C．　　　 D．
【关键词】平行线的性质与判定
【答案】C
7. （2009贺州）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC．OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30o时，∠BOD的度数是（　　　）．
A．60o B．120o C．60o或 90o D．60o或120o
【关键词】补角
【答案】D
30°
45°

8. （2009龙岩）将一副三角板按图中方式叠放，则角等于（　　）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【关键词】平行线的性质
【答案】D
9. （2009年邵阳市）如图AB//CD,直线EF与AB．CD分别相交于E．F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。
300
P
F
E
B
A
C
D

【关键词】平行线的性质；互余，互补；直角三角形性质
【答案】60°
10. （2009年常德市）如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C= ．

【关键词】平行线
【答案】30o
11. (2009年云南省)如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6 ，则CD＝_______________．
A
C
D
B
【关键词】线段
【答案】2
12. (2009年福建省泉州市)如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB． CD之间的距离是　　　　　　．
【关键词】两平行的距离
【答案】3