第2章-数组及矩阵.doc

第二章 数组和矩阵

向量(矩阵)和数组是有区别的
向量(矩阵)是一个数学概念，数组是一个计算机名词，一组数而已。非要给数组赋予数学含义，则一维数组相当于向量,二维数组相当于矩阵，向量或矩阵是数组的子集。
向量(矩阵)的四则运算有具体的数学定义，使用通常的四则运算符号。数组运算特指数组对应元素之间的运算(也称点运算)，其运算符是在通常的运算符符前加一点作为其运算符。二者在加、减与数乘三种运算上恰好一致：
数组加减：A+B与A-B；矩阵加减：A+B与A-B，都是对应元素之间加减(不分±与.±)
数乘数组：k.*A或A.*k；数乘矩阵：k*A或A*k，都是k乘A的每个元素
但注意以下两点：
(1)向量(矩阵)的乘法、乘方和除法等运算按线性变换定义，与数组对应的运算不一样。
(2)数与矩阵加减、矩阵除法在数学没有定义，MATLAB中为简便起见定义了这两类运算；
数组运算：
数与数组加减： k+A与k-A ，k加（减）A的每个元素
数组乘数组： A.*B，对应元素相乘
数组乘方： A.^k  A的每个元素k次方， k.^A 分别以k底A的元素为指数求幂值
数除以数组： k./A和A.\k k分别被A的元素除
数组除法： 左除A.\B右除B./A，对应元素相除
矩阵运算：
数与矩阵加减：k+A与k-A，等价于k*ones(size(A))+-A %特殊的定义
矩阵乘法：A*B，按数学定义的矩阵乘法规则
矩阵乘方：A^k，k个矩阵A相乘
矩阵除法：左除A\B 右除B/A，分别为AX=B和XA=B的解
搞清楚这些区别，发现数组的运算其实很简单，值得注意的是，在实际计算中什么时候需要对变量进行数组运算，什么时候需要对变量进行向量(矩阵)运算。
比如第一章的积分表达式中的变量x就只能做数组元素。
在不考虑数学意义时数组与向量(矩阵)是一回事！
以下只讨论向量(矩阵)的运算

MATLAB提供的数据类型（如下图），有十余种之多。但所有的MATLAB变量，不管它是什么类型的，都以数组或矩阵的形式保存。矩阵是数组的二维版本。
MATLAB的数据类型
ARRAY
logical
char
numeric
函数句柄
Java类

structure
cell
double
整型
single
int8,uint8
int16,uint16
int32,uint32

说明：int8表示一个字节（8bit）
2.1 表达式
与其他程序语言类似，MATLAB提供了数学表达式功能。但是，与大多数程序语言不同的是，这些表达式主要针对矩阵进行操作。与表达式相关的内容主要包括变量、数值(常数)、运算符和函数等。
2.1.1 变量
MATLAB变量使用前不需要任何类型声明和维数说明。
命名规则同C语言，变量名最长63个字符（7.0版）
变量严格区分大小写
2.1.2数值表示
MATLAB使用传统的数值表示方法。对于比较长的数，使用科学计数法，用字母e指定以10为底的幂次。虚数用i或j作为后缀。
所有数值在内部保存为IEEE浮点标准指定的long型格式。其精度为16个小数位，范围大约为10-308~10+308。
内置常数：pi，i，j，eps，realmax，realmin，inf，NaN
2.1.3 运算符
表达式采用的算术运算符和优光规则按此顺序：
+ (加)、_ (减)、* (乘)、/ (除)、\ (左除)、^ (幂)、’ (复数共轭转置)、()(优先)
2.1.4 函数
使用help 函数名获得函数帮助
2．2构造数组
1、直接构造：用空格或逗号间隔数组元素，然后用方括号括起来：
x=[1，2，3，4，5，6]
2、增量法构造：使用冒号操作符创建数组。
a= first:end。%递增、且步长为1的数组
a=first:step:end。%指定增量步长值创建任何等差序列(数组)
3、用linspace 函数构造
x=linspace(first,last,num) %需要指定首尾值和元素总个数，步长根据 num 平均分配
2.3 构造矩阵
MAITLAB中，二维数组称为矩阵。图形图像方面要涉及到大量的矩阵运算，比如，一幅数字图像就是—个矩阵，矩阵中的每个元素表示图像上每个像素的信息。那么针对图像所作的任何操作实质上都是针对矩阵进行的。
2.3.1 简单的创建方法
使用矩阵创建符号[ ]，用逗号或空格隔开各元素间；用分号隔开各行。必须注意各行必须具有相同的元素个数
2.3.2 构造特殊矩阵
函数
功能
ones
创建一个所有元素都为1的矩阵
zeros
创建一个所有元素都为0的矩阵
eye
创建一个对角线元素为1，其他元素为0 的矩阵
diag
根据向量创建对角矩阵
magic
创建一个方阵，所有行、列、对角线上的元素的和相等
rand
创建一个矩阵或数组，其中的元素为服从均匀分布的随机数
randn
创建一个矩阵或数组，其中的元素为服从正态分布的随机数
randpem
创建一个向量（1×n的矩阵）
注：表中的大部分函数返回double型的矩阵。但是，可以用ones，zeros和eye函数生成任何数值类型的基本数组。方法是将数据类型名作为函数的最后一个参数值（class()函数可检测数据类型）：
A=zeros(4,6);class(A) %class()返回矩阵A数据类型为 double
A=zeros(4,6,'uint32') ;class (A) %显示的数据类型为uint32的矩阵
函数示例：
A=magic(5) % 5阶魔方阵，每行、列和主对角线上的和相等。
A=rand(5)*20 %服从均匀分布的随机数的矩阵或数组，每个元素乘以20
A=[10,9,8,-7,5];
B=diag(A,-1) %以A为对角线的对角矩阵，-1表示元素放在主对角线下方
2.3.3 聚合矩阵
矩阵聚合是通过连接一个或多个矩阵来形成一个新的矩阵。
1、使用符号[ ] 聚合：表达式c=[A B]水平聚合，c=[A;B]垂向聚合。
A=ones(3,5)*6; %3×5的矩阵，元素为6
B=rand(3,5); %3×5的矩阵，元素为随机数
D=[A B] %横向(列)聚合A和B，要求A，B行数相同
C=[A;B] %垂向(行)聚合A和B，要求A，B列数相同
2、使用函数聚合
函数
描述
cat
沿指定的维聚合矩阵
horzcat
水平聚合矩阵
vertcat
垂向聚合矩阵
repmat
通过复制与蝶置来创建新矩阵
blkdiag
用已有矩阵创建块对角矩阵
函数示例：（使用cat和vertcat函数可以代替[]实现矩阵的聚合）
A=magic(3);B=[-5 -6 -9;-4 -4 -2;1 2 3 ];
cat1ab=cat(1,A,B) % 行（垂向）聚合，等价于[A;B]
cat2ab=cat(2,A,B) % 列（横向）聚合，等价于[A B]
vab=vertcat(A,B) % 行聚合，等价于[A;B]
M=[1 2;3 4];
repM=Repmat(M,2,3) %将 M 视为一个元素的m×n矩阵。
C=eye(2)*8;
blkdgabc=blkdiag(A,B,C) % 以A，B，C为块的对角矩阵
2.3.4 聚合不同类型的矩阵
聚合矩阵时，若矩阵的数据类型不同，则MATLAB会自动进行类型转换。高精度矩阵和低精度矩阵构造新矩阵时，新矩阵是低精度型的
（1）single型和double型矩阵聚合为single型。
X=[single(4.5) pi 5.73*10^300] %这也是聚合，3个1×1矩阵的聚合。
x=[ones(2)*2 ones(2,3,'single') ];class(x)%两矩阵聚合为single型。
（2）character和double型矩阵聚合为character型:
x=[‘A’ ‘B’ ‘C’ 68 69 70] %x=ABCDEF；class(x)=char
（3）logical和double型矩阵聚合为double,比较特殊:
x=[true false false pi sqrt(7)] % x=1.0000 0 0 3.1416 2.6458；class(x)=double
2.4 获取矩阵的元素
2.4.1获取单个元素
A(row，column) %返回矩阵中第row行，第column列元素
A(m) %返回矩阵中的第m元素。
注：A(m)形式按矩阵的存贮顺序访问。即行优先(行标变化最快)原则，比如一个三阶方阵的存贮顺序是a11,a21,a31,a21,a22,a23,a31,a32,a33。显然A(4)=a21。
一般对一个 m×n矩阵A(i，j)和A(p)的对应关系为：p=(j-1)* m+i。
函数sub2ind()和ind2sub()可以完成单索引p和位置(i，j)间的转换。
A=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9]
p=sub2ind(size(A),2,3) %size(A)返回矩阵A的行列值，A(2,3)为A(8)。
[row,col]=ind2sub(size(A),8) %返回A(8)的下标(2,3)。
2.4.2 获取多个元素
仔细体会冒号：，end关键字及first:step:end格式的使用。
A=magic(4)
S=A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4) %求第4列1~4行元素的和
S=sum(A(1:4,4)) %同上，求第4列1~4行元素的和
S=sum(A(:,2)) %求第2列所有元素的和
A(1:3:16)=-10 %每隔两个元素处的值改为-10，注意按存贮顺序访问
A(1:3,end)=10 %将矩阵A的1～3行中最后一个元素的值替换为10。
A(:) %按存贮顺序操作A的所有元素，此处为显示。
2.5 获取与矩阵有关的信息
矩阵信息函数
函数
功能
Length
返回矩阵最长维的长度
ndims
返回矩阵维数
numel
返回矩阵元素的个数
size
返回每一维的长度
下面这个例子演示上表中部分函数的使用。
A=rand(5)*10;
A(4:5,:)=[] %第四行，第五行各列元素全部被删除
sum(A(:))/numel(A) %计算矩阵A中所有元素求和后再算均值。
% 查找矩阵中大小介于5 和7 之间的所有元素。
if ndims(A)~=2 % ~=不等于，如果A的维数不是2 即不是矩阵，就结束程序。
return
end
[rows,cols]=size(A);
for m=1:rows %行作为外循环是符合存贮顺序的，是高效率的。
for n=1:cols
if A(m,n)>=5 && A(m,n)<=7 % &&逻辑与运算符
disp(sprintf('A(%d,%d)=%5.2f',n,m,A(m,n)));%和C相同的的输出语句sprintf
end
end
end
下表中的函数检查矩阵中的元素是否属于指定的数据类型：
数据类型检查函数
函数
功能
isa
是否属于给定类型(可代替以下各函数)
iscell
确定输入数据是否属于单元(元胞)数组
iscellstr
确定输入数据是否属于字符串元胞数组
ischar
确定输入数据是否属于字符数组
isfloat
确定输入数据是否属于浮点数组
isinteger
确定输入数据是否属于整型数组
islogical
确定输入数据是否属于逻辑数组
isnumeric
确定输入数据是否属于数值数组
isreal
确定输入数据是否属于实型值数组
isstruct
确定输入数据是否属于结构数组
下面的代码从向量中找出数组中的实数。
A=[5+7i 6/7 4.23 39j pi 9-2i];
for m=1:numel(A)
if isnumeric(A(m))&&isreal(A(m)) %matlab中logical也是用数值的，这条件不多余
disp(A(m))
end
end
判断数组A是否为字符串数组
A=['This ' 'is ' 'character']
ischar(A)
isa(A,'char') %与ischar()函数效果相同

下表中的函数检查矩阵中的元素是否为指定数据结构。
数据结构检查函数
函数
功能
Isempty
确定输入数据是否为空
Isscalar
确定输入数据是否为标量
Isspace
确定输入数据是否为稀疏矩阵
Isvector
确定输入数据是否为向量
2.6 缩放和重塑矩阵
2.6.1 缩放矩阵
使用 A(i,j)=p的形式对矩阵A(m×n)的元素赋值，若i,j 超出了m,n.。矩阵会自动放大。但使用A(m)=p形式，m超出矩阵范围，则发生错误。
A=magic(4)
A(17)=3 %错误，单索引方式不能缩放矩阵
A(1,5)=3 %将A放大为 4×5矩阵，放大后未赋值的元素置零
使使用 A(i,j)=[]的形式，可以删除矩阵中的行和列，但不能删除单个元素。使用A(m)=[]形式可对矩阵元素作任意删除，但结果是将剩下的元素重构成一个行向量。
A=magic(4)
A(:,2)=[] %删除矩阵A的第二列元素
A(2,1)=[] %错误
A(5)=[] %结果 A变成了一个15元素的行向量
2.6.2 重塑矩阵
重塑矩阵函数
函数
功能
reshape
重塑矩阵
rot90
逆时针旋转矩阵90度
fliplr
沿Y轴翻转矩阵
flipud
沿X轴翻转矩阵
flipdim
沿指定方向翻转矩阵
transpose
沿主对角线翻转矩阵
ctranspose
转置矩阵
下例演示表中函数的使用。
A=[1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12]
B=reshape(A,2,6) %3×4 => 2×6重构后矩阵存贮结构不变
C= rot90(A) %将矩阵A逆时针旋转90度。
D=fliplr(A) %沿Y轴(左右)翻转矩阵
E=ctranspose(A) %等价于A’
注：转置矩阵：有点撇符 .' 和撇符 ' 两个转置符号，其中函数ctranspose和 ' 等价。对于实矩阵，二者没有区别，对于复矩阵，点撇符 .' 只转置，撇符 ' 转置后再对每元素求共轭。
2.7 导入数据
2.7.1 使用load命令导入数据
使用 load 命令可导入 .txt、.dat类型的文本文件。数据被保存在与文件名同名的矩阵中。注意，必须是矩形文本。使用 load 命令可导入.mat 类型的内存变量文件。命令中可省去扩展名.mat。
load filename
2.7.2 使用 Ipput wizard 工具
菜单：Start—Matlab—Input wizard 依提示导入MATLAB 能识别的数据。如Excel 文件、图像等。
2.8 矩阵的代数运算
1、+ －：加减运算，对应位置元素相加减
2、乘法(数学上叫叉乘)
*：叉乘，A（m×t）*B（t×n）=C（m×n）
.*：点乘，对应位置元素相乘
注：加减运算，点乘运算要求两个矩阵为同型矩阵(两个行数、列数对应相同的矩阵)
例：乘法和加法运算
A=[1 2 3; 4 5 6];
B=[1 2 3 4;5 6 7 8;8 10 11 12];
C=A*B
D=A.*A
E=A+A
3、除法运算
由于矩阵乘法不满足交换律(即A*B≠B*A),通常有以下两个方程
a*x =b，此时x=a\b（b左除a）
x*a=b，此时x=b/a（b右除a，或简称b除a）
如果a为非奇异矩阵(行列式不为零的矩阵)，则a\b和b/a可通过a的逆矩阵与b阵得到：
a\b = inv(a)*b % inv 求矩阵的逆，左乘a的逆
b/a = b*inv(a) %右乘a的逆
（另外，y.\x 和 y./x运算，两个矩阵对应位置元素作 运算）。
4、矩阵和常数的运算：矩阵中的每个元素和这个常数进行通常意义下的算术运算。
2.9 矩阵的逻辑运算
逻辑运算符
操作符
说明
等价的函数
&
逻辑与
and(x,y)
|
逻辑或
or(x,y)
~
逻辑非
not(x)
函数中的x与y可以都是矩阵或向量，也可以有一个是标量。要求它们的大小完全相同（即要求是同型矩阵）。